Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
z
.
x
.
0
y
.M
.
.
Tọa độ của véctơ
	Cho hệ tọa độ Oxyz và . Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực 
(x, y, z) sao cho . Ta gọi bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của và kí hiệu là : hoặc 
	Vậy : 
	Từ định nghĩa trên ta suy ra : 
Tọa độ của điểm
Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M. Ta gọi tọa độ của là tọa độ của điểm M. Như vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm và kí hiệu là  hoặc nếu : .
Vậy theo định nghĩa trên, ta có : 
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Khi đó
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Khi đó .
Cho . Khi đó 
Các công thức
Cho hai véctơ . Khi đó : 
Tích vô hướng của hai véctơ : 
Độ dài của véctơ :
 ; 
Côsin của góc giữa 2 véctơ : 
 cùng phương với 
Khoảng cách giữa hai điểm
Gọi I là trung điểm AB 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 
Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (), nghĩa là thì 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với .
Tính chu vi tam giác ABC.
Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B.
Tìm tọa độ điểm F sao cho A là trọng tâm tam giác BCF .
Tính góc A của tam giác ABC.
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết . Tìm tọa độ tất cả các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho . Chứng minh rằng : .
Bai 4 : Tìm cách đều 2 điểm .
Bài 5 : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.
Bài 6 : Cho. Tìm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho tam giác ABM vuông cân tại A.
Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho . Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho : 
 đạt giá trị nhỏ nhất.
 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 8 : Cho . Tìm sao cho nhỏ nhất.
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . Tìm M thuộc (Oxz) sao cho nhỏ nhất.
BÀI TOÁN 2: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa : 
Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ.
Tích có hướng của hai véctơ và là một véctơ, kí hiệu là , 
và được xác định như sau : 
Tính chất
 cùng phương với 
 vuông góc với cả hai véctơ và 
Các ứng dụng
Xét sự đồng phẳng của ba véctơ
Ba véctơ đồng phẳng 
4 điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện 
Tính diện tích tam giác : 
Tính thể tích hình hộp : 
Tính thể tích tứ diện : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho 
Chứng minh ba véctơ không đồng phẳng.
Chứng minh ba véctơ đồng phẳng.
Bài 2 : Ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng :
Bài 3 : Cho 4 điểm 
Chứng minh 4 điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh A.
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết, còn đỉnh D nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D nếu tứ diện ABCD có thể tích bằng 5. (ĐH Văn Hóa HN-1997)
Bài 5 : Cho ba điểm với a, b, c > 0.
Chứng tỏ rằng tam giác ABC không thể là tam giác vuông.
Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c. (ĐH Mỹ Thuật 1999)
BÀI TOÁN 3 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Véctơ được gọi là véctơ pháp tuyến của mp nếu giá của vuông góc với mp , viết tắc là .
Nếu hai véctơ và không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mp (ta còn gọi hai véctơ và là cặp véctơ chỉ phương của mp ) thì mp nhận làm véctơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Mặt phẳng đi qua và có VTPT có phương trình tổng quát là : 
Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng : (1) với 
A
C
B
x
y
z
O
Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mp và mp đó có một VTPT là .
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ O và cắt Ox 
tại , cắt Oy tại , cắt Oz tại 
có phương trình là : .
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và .
 cắt 
 // 
d
Chùm mặt phẳng
Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của
 hai mặt phẳng và được gọi là một chùm mặt phẳng
Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
 và .
Khi đó nếu (P) là mặt phẳng chứa (d) thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
 qua và nhận làm véctơ pháp tuyến.
 qua và vuông góc với BC biết .
 qua và song song với mặt phẳng .
 qua và vuông góc với trục Ox.
 là mặt phẳng trung trực của cạnh AB với .
 qua và chứa trục Oz.
 chứa AB và song song với CD biết 
 qua , song song với trục Oy và vuông góc với mp .
 qua 2 điểm và vuông góc với mặt phẳng .
 qua và vuông góc với hai mặt phẳng ; .
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu vuông góc của lên các trục tọa độ.
Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 4 : Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho .
Bài 5 : Viết phương trình mặt phẳng qua và cách một khoảng lớn nhất.
Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Bài 7 : Viết phương trình mặt phẳng qua và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
 có giá trị nhỏ nhất.
 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 8 : Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng (P) biết 
(P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng , và đi qua điểm 
(P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng, và song song với mặt phẳng .
(P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng, và vuông góc với mặt phẳng .
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho .
Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng tỏ ABCD là một tứ diện.
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và chia tứ diện ra làm 2 phần có thể tích bằng nhau.
Bài 10 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
 và 
 và 
 và 
Bài 11 : Hãy xác định giá trị của m, n để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau
 và 
 và 
Bài 12 : Cho , .
 Với giá trị nào của m thì : 
(P) song song (Q)
(P) trùng (Q)
(P) cắt (Q)
Bài 13 : Với giá trị nào của m thì ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng
, , .
BÀI TOÁN 4 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
d
Véctơ chỉ phương của đường thẳng
Véctơ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với d.
Nhận xét : 
Một đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương, các véctơ này cùng phương với nhau.
Nếu là một VTCP của đường thẳng d thì cũng là một VTCP của đường thẳng d .
Hai véctơ và không cùng phương và cùng vuông góc với đường thẳng d thì là một VTCP của d.
Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
d
.
Đường thẳng 
Phương trình tham số của d là : 
Nếu thì phương trình chính tắc của d là : 
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau
d qua và có VTCP là .
d qua hai điểm .
d qua và song song với BC biết .
d qua và song song với đường thẳng 
d qua và song song với trục Ox.
d qua và vuông góc với mặt phẳng .
d qua và vuông góc với cả hai đường thẳng , 
d qua vuông góc với và nằm trong mặt phẳng .
d qua và song song với hai mặt phẳng , .
d là giao tuyến của hai mặt phẳng và .
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau 
 qua và vuông góc với 
 qua và song song với hai đường thẳng và 
 chứa và song song với 
 chứa và .
Bài 3 : Cho đường thẳng và mặt phẳng 
Chứng tỏ rằng đường thẳng d cắt mặt phẳng . Tìm tọa độ giao điểm I của d và .
Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng .
Bài 4 : Cho và . Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng .
Bài 5 : Cho mặt phẳng và hai đường thẳng 
Viết phương trình đường thẳng nằm trên (P), đồng thời cắt cả và .
Bài 6 : Cho điểm và đường thẳng 
Tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d.
Bài 7 : Cho hai điểm và mặt phẳng 
Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
tìm tọa độ điểm sao cho nhỏ nhất. (Dự Bị A-2007)
Bài 8 : Cho hai điểm và 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặ phẳng (OAB)
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho nhỏ nhất. (ĐH D-2007)
Bài 9 : Cho hai đường thẳng và 
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng .
Xác định điểm A trên và B trên sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Bài 10 : Cho và hai đường thẳng  ; 
Viết phương trình đường thẳng qua A cắt và vuông góc với .
Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt cả và .
Viết phương trình đường vuông góc chung của và .
Bài 11 : Cho mặt phẳng , đường thẳng và điểm .
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P).
Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng (P). 
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc và cắt đường thẳng .
Bài 12 : Viết phương trình đường thẳng qua và cắt cả hai đường thẳng 
 và 
Bài 13 : Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt cả hai đường thẳng và 
Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng d qua , song song với mặt phẳng và cắt đường thẳng .
.
.
A
B
Bài 15 : Viết phương trình đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng 
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng và .
Giả sử 
.
.
A
B
.
 và chéo nhau 3 véctơ không đồng phẳng
 .
 và cắt nhau 
 3 véctơ đồng phẳng và 2 véctơ không cùng phương
.
B
.
A
 song song 
.
d
 trùng 
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng 
Đường thẳng 
Mặt phẳng (P) có VTPT là 
.
d
M.
d cắt (P) 
d song song với (P) 
d chứa trong (P) 
BÀI TOÁN 5 : 	KHOẢNG CÁCH
.M
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm và mặt phẳng .
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là : 
Chú ý : 
Nếu (P) song song với (Q) thì với 
Nếu đường thẳng a song song với thì với 
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
.M
.
A
Cho điểm và đường thẳng qua A và có VTCP là .
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là :
.
.
A
B
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau và .
Giả sử 
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và là : 
Bài 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) biết : 
 và .
 và .
Bài 2 : Cho hai mặt phẳng và 
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 3 : Tìm điểm M trên trục Oz cách đều điểm và mặt phẳng .
Bài 4 : Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai mặt phẳng và .
Bài 5 : 
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách điểm một khoảng bằng .
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng .
Bài 6 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d biết :
 và 
 và 
Bài 7 : Cho hai đường thẳng và .
Chứng minh và chéo nhau. Tính khoảng cách giữa và . (Cao Đẳng Y Tế I -2006)
Bài 8 : Cho hai đường thẳng  ; và điểm 
Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua .
Lập phương trình mặt phẳng đi qua và song song với .
Tính khoảng cách giữa và . (Cao Đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi-2006)
Bài 9 : (ĐH A-2005) Cho và mặt phẳng .
Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặy phẳng (P) bằng 2.
Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với d. 
Bài 10 : (ĐH A-2004) Trong không gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết . Gọi M là trung điểm SC.
Tính khoảng cách giữa SA và BM. 
Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN 
Bài 11 : (ĐH A-2009) Cho mặt phẳng và hai đường thẳng
  ; ĐS : 
Tìm điểm M trên sao cho khoảng cách từ M đến bằng khoảng cách từ M đến (P) 
BÀI TOÁN 6 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
Định nghĩa
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm , bán kính R. Khi đó phương trình của mặt cầu (S) là : 
Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau : 
(S) có tâm và .
(S) có tâm và đi qua .
(S) có đường kính là AB biết .
(S) có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .
Giải : 	
Nhận dạng phương trình mặt cầu.
Phương trình thỏa điều kiện là phương trình của mặt cầu có tâm, bán kính .
Ví dụ : Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính (nếu có)
.
.
Giải : 	
Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết 
Giải : Gọi (S) :.
Thế tọa độ 4 điểm A; B; C; D vào phương trình mặt cầu (S), ta được : 
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu và mặt phẳng 
Ta có (S) có tâm và bán kính R. Đặt 
Nếu thì (P) và (S) không có điểm chung.
Nếu thì (P) tiếp xúc với (S). Khi đó (P) gọi là tiếp diện của (S)
Nếu thì (P) và (S) cắt nhau theo một giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và bán kính 
Bài tập : 
Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với . Tìm tọa độ tiếp điểm.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết .
Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu .
Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm , có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng .
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mp (Oxz) và đi qua 3 điểm .