Toán 11 - Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác

 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(LỚP 11 & ƠN THI THPT QUỐC GIA) 
LỜI GIỚI THIỆU 
Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội 
dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác 
các em được học trong chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với các cơng thức và kiến thức nền 
tảng của lớp 10. Để giải phương trình lượng giác, điều đầu tiên các em cần là phải biết cách 
học thuộc các cơng thức biến đổi lượng giác cơ bản, tiếp theo các em cần học tập siêng năng, 
chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, từ đĩ biết phân chia các dạng tốn và kỹ 
thuật giải tương ứng để “đối phĩ” tốt với mọi loại bài về giải phương trình lượng giác trong đề 
thi. 
Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG 
GIÁC được chắt lọc, đánh máy cơng phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp 
11, học sinh ơn thi đại học mơn Tốn và quý thầy cơ giáo dạy Tốn THPT. Tài liệu được biên 
soạn tỉ mỉ, phân chia dạng tốn rõ ràng, cơng thức đầy đủ, mỗi phần đều cĩ ví dụ minh họa và 
hướng dẫn. Học sinh bị mất gốc kiến thức về lượng giác cũng cĩ thể học lại từ đầu khơng mấy 
khĩ khăn. Hy vọng rằng với cuốn tài liệu hữu ích này, các em học sinh sẽ cĩ một “cẩm nang” 
để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử. 
Tài liệu rất cĩ thể vẫn cịn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em 
học sinh và độc giả. 
Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN 
Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
ƠN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 1 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
I. TĨM TẮT LÍ THUYẾT 
1. Hàm số y = sinx 
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y) 
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] 
(Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1 s inx 1− ≤ ≤ ) 
+ Hàm y = sinx là hàm số lẻ 
(Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O). 
+ Chu kỳ T = 2pi (Vì sin(x 2 ) s inx+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2pi thì giá trị hàm 
số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2pi - tính chất này giúp vẽ đồ thị 
được thuận tiện) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn [ ]0;pi (trên nửa chu kỳ) 
00
1
π
π
20x
y = sinx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hồn với chu kỳ 2pi . Do đĩ muốn khảo 
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị 
hàm số trên đoạn [ ]0;pi (nửa chu kỳ) sau đĩ lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta được đồ thị 
trên đoạn [ ];−pi pi (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang phải 
theo trục hồnh những đoạn cĩ độ dài 2 ;4 ;6 ;...pi pi pi 
*Nhận xét: 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng k.2 ; k.2
2 2
pi pi 
− + pi + pi 
 
+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3k.2 ; k.2 , k Z
2 2
pi pi 
+ pi + pi ∈ 
 
2. Hàm số y = cosx 
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y) 
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa 
là 1 cosx 1− ≤ ≤ ) 
+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua 
trục tung Oy). 
+ Chu kỳ T = 2pi (Vì cos(x 2 ) cosx+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2pi thì giá trị 
hàm số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2pi - tính chất này giúp vẽ đồ 
thị được thuận tiện: ) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn [ ]0;pi (trên nửa chu kỳ) 
-1
1
π
π
20x
y = cosx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hồn với chu kỳ 2pi . Do đĩ, muốn 
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị 
hàm số trên đoạn [ ]0;pi (nửa chu kỳ), sau đĩ lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta được đồ 
thị trên đoạn [ ];−pi pi (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang 
phải theo trục hồnh những đoạn cĩ độ dài 2 ;4 ;6 ;...pi pi pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
3. Hàm số y = tanx 
+ TXĐ: D R \ k / k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
 (Vì cosx 0≠ ). 
+ Tập giá trị: R 
+ Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua 
gốc tọa độ O). 
+ Chu kỳ T = pi (Vì tan(x ) tan x+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm pi thì giá trị hàm số 
trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ pi ) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ) 
+∞1
π
20x
y = tanx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \ k / k Z
2
pi 
+ pi ∈ 
 
, tuần hồn với chu kỳ pi . 
Do đĩ, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo 
sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ), sau đĩ lấy đối xứng đồ thị qua gốc 
tọa độ O ta được đồ thị trên đoạn ;
2 2
pi pi 
− 
 
 (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu 
được sang trái, sang phải theo trục hồnh những đoạn cĩ độ dài ;2 ;3 ;...pi pi pi 
0 
y = tanx 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
*Nhận xét: 
+ Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng k. ; k. , k Z
2 2
pi pi 
− + pi + pi ∈ 
 
+ Hàm số khơng cĩ khoảng nghịch biến. 
+ Mỗi đường thẳng vuơng gĩc với trục hồnh, đi qua điểm k. ;0
2
pi 
+ pi 
 
 gọi là 1 đường 
tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x k.
2
pi
= + pi 
làm 1 đường tiệm cận) 
4. Hàm số y = cotx 
+ TXĐ: { }D R \ k / k Z= pi ∈ (Vì sin x 0≠ ) . 
+ Tập giá trị: R 
+ Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua 
gốc tọa độ O). 
+ Chu kỳ T = pi (Vì cot(x ) cot x+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm pi thì giá trị hàm số 
trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ pi ) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ) 
+∞
0
π
20x
y = cotx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên { }R \ k / k Zpi ∈ , tuần hồn với chu kỳ pi . Do đĩ, 
muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ 
đồ thị hàm số trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ), sau đĩ lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O 
ta được đồ thị trên đoạn ;
2 2
pi pi 
− 
 
 (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang 
trái, sang phải theo trục hồnh những đoạn cĩ độ dài ;2 ;3 ;...pi pi pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 5 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
*Nhận xét: 
+ Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng (k. ; k. ) k Zpi pi + pi ∈ 
+ Hàm số khơng cĩ khoảng đồng biến biến. 
+ Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x k.= pi làm 1 đường tiệm cận 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Lý thuyết vận dụng: 
+ Hàm số y = sinx cĩ TXĐ: D = R 
+ Hàm số y = cosx cĩ TXĐ: D = R 
+ Hàm số y = tanx cĩ TXĐ: D R \ k / k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
 (Vì cosx 0≠ ) 
+ Hàm số y = cotx cĩ TXĐ: { }D R \ k / k Z= pi ∈ (Vì sin x 0≠ ) 
BÀI TẬP: Tìm tập xác định của các hàm số sau 
1). 
25cos x s inx 7
y=
1 s inx
− +
−
 2). 2 cosx s inx 2y=
cosx
− +
3). 1 s inxy
1 cosx
+
=
−
 4). 
2
1 cosx
y
cos x
−
= 
5). x 3y 2 sin3x 3cos
x 2
+
= + +
−
 6). 2x 2xy sin 5cos
x 3 2x 1
= −
+ −
7). y t anx c otx= + 8). y tan(2x )
4
pi
= + 
9). 1 cos
.sin
xy
x x
+
=
10). 2 sin cosy x x= + +
y = cotx 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 6 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
11). 3
1 sin
tgxy
x
+
=
+
12) 2 3cot 2
3
y tgx g x pi = + − 
 
HƯỚNG DẪN 
1). Hàm số 
25cos x s inx 7
y=
1 s inx
− +
−
 xác định khi 1 s inx 0 s inx 1 x k.2 (k Z)
2
pi
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + pi ∈ 
Vậy TXĐ: D R \ k.2 ,k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
2) Hàm số 2 cosx s inx 2y=
cosx
− +
 xác định khi cosx 0 x k. (k Z)
2
pi
≠ ⇔ ≠ + pi ∈ 
Vậy TXĐ: D R \ k. ,k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
3). Vì 1 s inx 0+ ≥ và 1 cosx 0− ≥ với mọi x nên 1 sinx 0
1 cosx
+ ≥
−
 với mọi x thỏa mãn điều kiện 
1 cosx 0− ≠ . Vậy hàm số 1 s inxy
1 cosx
+
=
−
xác định khi 1 cosx 0− ≠ hay cosx 1 x k.2≠ ⇔ ≠ pi . 
Vậy TXĐ: { }D R \ k.2 ,k Z= pi ∈ 
4). Vì 1 cosx 0− ≥ và 2cos x 0≥ với mọi x nên 
2
1 cosx
0
cos x
− ≥ với x thỏa mãn điều kiện 
cosx 0 x k.
2
pi
≠ ⇔ ≠ + pi . Vậy TXĐ: D R \ k. ,k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
5). Hàm số x 3y 2 sin3x 3cos
x 2
+
= + +
−
 xác định x 2 0 x 2⇔ − ≠ ⇔ ≠ . 
Vậy TXĐ: { }D R \ 2= 
6). Hàm số 2x 2xy sin 5cos
x 3 2x 1
= −
+ −
 xác định 
x 3
x 3 0
1
2x 1 0 x
2
≠ −
+ ≠ 
⇔ ⇔ 
− ≠ ≠ 
. 
Vậy TXĐ: 1D R \ 3;
2
 
= − 
 
7). tanx xác định khi và chỉ khi x k. ,k Z
2
pi
≠ + pi ∈ , cotx xác định khi và chỉ khi 
x k. ,k Z≠ pi ∈ . 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 7 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
Vậy y t anx c otx= + xác định khi và chỉ khi x k. k.(k Z) hay x (k Z)2
2
x k.
pi ≠ + pi pi
∈ ≠ ∈
 ≠ pi
. 
TXĐ: k.D R \ , k Z
2
pi 
= ∈ 
 
8). y tan 2x
4
pi 
= + 
 
 xác định khi và chỉ khi k.2x k. hay x (k Z)
4 2 8 2
pi pi pi pi
+ ≠ + pi ≠ + ∈ . 
Vậy TXĐ: k.D R \ , k Z
8 2
pi pi 
= + ∈ 
 
9). Biểu thức 1 cos
.sin
xy
x x
+
=
 cĩ nghĩa khi và chỉ khi: x.s inx 0 x k≠ ⇔ ≠ pi 
Vậy tập xác định của hàm số là: { }D R \ k / k Z= pi ∈ 
10). Do ( ) ( )2 sin cos 1 sin 1 cos 0x x x x+ + = + + + >
Do đĩ hàm số 2 sin cosy x x= + + được xác định với mọi x. Vậy tập xác định của 
hàm số là: D = R 
11). Biểu thức 3
1 sin
tgxy
x
+
=
+
 cĩ nghĩa khi và chỉ khi: 
22
2
sin 1 2
2
x k
x k
x k
x x k
pi
pi pi
pi pi
pi
pi
pi
 ≠ + ≠ + 
⇔ ⇔ ≠ + 
 ≠ − ≠ − + 
Vậy tập xác định của hàm số là: \ /
2
D R k kpi pi = + ∈ 
 
ℕ
12). Biểu thức 2 3cot 2
3
y tgx g x pi = + − 
 
 cĩ nghĩa khi và chỉ khi : 
2 2
2
3 6 2
x k x k
x k x k
pi pi
pi pi
pi pi pi
pi
 ≠ + ≠ +  
⇔ 
 
− ≠ ≠ +
  
 Vậy tập xác định của hàm số là: 
\D D A B= ∪
 với /
2
A x x kpi pi = ≠ + 
 
 và /
6 2
B x x kpi pi = ≠ + 
 
. 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 8 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số 1 cos
sin
+
=
xy
x
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định sin 0 , .⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤx x k kpi . 
Tập xác định là { }\ ,= ∈ℝ ℤD k kpi . 
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số ( )
sin
cos
=
−
xy
x pi
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định 
( ) 3cos 0 ,
2 2
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈ℤx x k x k kpi pipi pi pi pi . 
Tập xác định là 3\ ,
2
 
= + ∈ 
 
ℝ ℤD k kpi pi . 
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số 2tan 5
3
 
= + 
 
y x pi . 
Hướng dẫn: Hàm số xác định 
2 2
cos 5 0 5 ,
3 3 2 30 5
 
⇔ + ≠ ⇔ + ≠ + ⇔ ≠ − + ∈ 
 
ℤx x k x k kpi pi pi pi pipi . 
Tập xác định là \ ,
30 5
 
= − + ∈ 
 
ℝ ℤD k kpi pi . 
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số 2 cos
1 sin
+
=
−
xy
x
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định sin 1 2 ,
2
⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤx x k kpi pi . 
Tập xác định là \ 2 ,
2
 
= + ∈ 
 
ℝ ℤD k kpi pi . 
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số 2 cos
2 sin
+
=
−
xy
x
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định sin 2⇔ ≠x (luơn thoả với mọi x). 
Tập xác định là = ℝD . 
Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số 2 sin
cos 1
+
=
+
xy
x
. 
Hướng dẫn: Ta cĩ 1 sin 1− ≤ ≤x và 1 cos 1− ≤ ≤x nên 2 sin 0+ >x và cos 1 0+ ≥x . 
Hàm số xác định ( )
2 sin 0
cos 1 ,cos 1
cos 1 0
+ ≥
⇔ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ + ∈+
 + ≠
ℤ
x
x x k kx
x
pi pi
luôn thoả
. 
Tập xác định là { }\ ,= + ∈ℝ ℤD k kpi pi . 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 9 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số 5 3cos 2
1 sin 2
2
−
=
 
+ − 
 
xy
x
pi
. 
Hướng dẫn: Ta cĩ 1 cos 2 1− ≤ ≤x nên 5 3cos 2 0− >x . 
Mặt khác 1 sin 2 0
2
 
+ − ≥ 
 
x
pi
. 
Hàm số xác định 
( )5 3cos2 0
1 sin 2
2 sin 2 1 2 2 ,
2 2 2
1 sin 2 0
2
− ≥  
 + −   
⇔ ⇔ − ≠ − ⇔ − ≠ − + ⇔ ≠ ∈   
    + − ≠ 
  
ℤ
luôn thoả
x
x
x x k x k k
x
pi
pi pi pi
pi pi
pi
. 
Tập xác định là { }\ ,= ∈ℝ ℤD k kpi . 
Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số 
2
1 cot
3
tan 3
4
 
+ + 
 
=
 
− 
 
x
y
x
pi
pi
. 
Hướng dẫn: 
Hàm số xác định 
2
sin 0
3 3 3
cos 3 0 3 ,
4 4 2 4 3
3tan 3 0 4 12 34
    + ≠ + ≠ ≠ − +      
   
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈   
   
   
− ≠ ≠ +
− ≠      
ℤ
x x k x k
x x k x k k
x k x kx
pi pi pi
pi pi
pi pi pi pi pi
pi
pi pi pipi pi
. 
Tập xác định là \ , , ,
3 4 3 12 3
 
= − + + + ∈ 
 
ℝ ℤD k k k kpi pi pi pi pipi . 
Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số 1 tan 4
2sin 2
−
=
−
xy
x
. 
Hướng dẫn: 
Hàm số xác định 
4
8 42cos 4 0
2 2 ,2 4 4sin
2 3 32 2
4 4
 ≠ +≠ + 
≠ 
  
⇔ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈  
≠  
  
≠ + ≠ + 
 
ℤ
x kx k
x
x k x k k
x
x k x k
pi pipi
pi
pi pi
pi pi
pi pi
pi pi
. 
Tập xác định là 3\ , 2 , 2 ,
8 4 4 4
 
= + + + ∈ 
 
ℝ ℤD k k k kpi pi pi pipi pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 10 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số 1 coscot
6 1 cos
+ 
= + + 
− 
xy x
x
pi
. 
Hướng dẫn: Vì 1 cos 1− ≤ ≤x nên 1 cos 0+ ≥x và 1 cos1 cos 0 0
1 cos
+
− ≥ ⇒ ≥
−
x
x
x
. 
Hàm số xác định 
sin 0
,6 6 6
2 21 cos 0
ℤ
    + ≠ + ≠ ≠ − +   ⇔ ⇔ ⇔ ∈   
  ≠ ≠
− ≠  
x x k x k
k
x k x kx
pi pi pi
pi pi
pi pi
. 
Tập xác định là \ , 2 ,
6
 
= − + ∈ 
 
ℝ ℤD k k kpi pi pi . 
Bài 11. Tìm tập xác định của hàm số 2
12 sin
tan 1
= + −
−
y x
x
. 
Hướng dẫn: Vì 1 sin 1− ≤ ≤x nên 2 sin 0+ ≥x . 
Hàm số xác định 
( )
2
2 sin 0
tan 1 4tan 1 0 , ,
cos 0
cos 0 2
ℤ
 + ≥ ≠ ± + ≠ ± 
⇔ − ≠ ⇔ ⇔ ∈  
≠  ≠ +≠
 
x x k
x
x k m
x
x kx
luôn thoả pi pi
pi
pi
. 
Tập xác định là \ , ,
4 2
 
= ± + + ∈ 
 
ℝ ℤD k k kpi pipi pi . 
Bài 12. Tìm tập xác định của hàm số 2
1 tan 2
3
cot 1
 
+ + 
 
=
+
x
y
x
pi
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định 
( )2cot 1 0
2
cos 2 0 ,3 2 12 2
3
sin 0
ℤ
 + ≠
  
+ ≠ + ≠ +   
⇔ + ≠ ⇔ ⇔ ∈   
    ≠≠  ≠
x
x k x k
x k
x kx k
x
luôn thoả
pi pi pi pi
pipi
pipi
. 
Tập xác định là \ , ,
12 2
 
= + ∈ 
 
ℝ ℤD k k kpi pi pi . 
Dạng 2: TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Lý thuyết vận dụng: 
+ Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hồn với chu kỳ T 2= pi 
Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kỳ: 2T
a
pi
= 
+ Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hồn với chu kỳ T = pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 11 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hồn với chu kỳ T
a
pi
= 
+ Nếu hàm số f(x) cĩ chu kỳ 1T , hàm số g(x) cĩ chu kỳ 2T thì hàm số y f (x) g(x)= + cĩ 
chu kỳ 1 2T k.BCNN(T ;T )= 
Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hồn với chu kỳ T = pi , tức là: 
f(x ) f(x), x (*)+ pi = ∀ và T = pi là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) 
Hướng dẫn 
HS y = f(x) = sin2x cĩ TXĐ: D = R. x D∀ ∈ , ta cĩ: 
f(x ) sin 2(x ) sin(2x 2 ) sin 2x f(x)+ pi = + pi = + pi = = . 
Giả sử cĩ số 0T sao cho: 00 T< < pi và 0f(x T ) f(x), x+ = ∀ . 
Cho x
4
pi
= , ta được: 0 0sin 2( T ) sin 2. sin( 2T ) sin 1
4 4 2 2
pi pi pi pi
+ = ⇒ + = = 
0 02T k.2 (k Z) T k. (k Z)
2 2
pi pi
⇒ + = + pi ∈ ⇒ = pi ∈ . Điều này trái với giả thiết 00 T< < pi 
Nghĩa là T = pi là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện f(x T) f(x), x+ = ∀ . 
Vậy y = sin2x là hàm số tuần hồn với chu kỳ T = pi . 
Bài 2: Tìm chu kỳ của các hàm số sau 
1). 2y 2sin 3x= 2). 2y 4cos (5x )
6
pi
= + 3). y tan(3x 2)= − 
4). y cot( 5x )
4
pi
= − + 5). xy sin x tan
3 3
pi   
= − +   
   
 6). 2 tan 4xy 1 c 8x1
1 c 8x
os
os
=
−
−
+
Hướng dẫn 
1). 2y 2sin 3x 1 cos6x= = − . Vậy hàm số đã cho tuần hồn với chu kỳ 2T
6 3
pi pi
= = 
2). 2y 4cos (5x ) 2 2cos(10x )
6 3
pi pi
= + = + + . Vậy hàm số đã cho tuần hồn với chu kỳ 
2
T
10 5
pi pi
= = 
3). y tan(3x 2)= − là hàm số tuần hồn với chu kỳ T
3
pi
= 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 12 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
4). y cot( 5x )
4
pi
= − + là hàm số tuần hồn với chu kỳ T
5 5
pi pi
= =
−
5). Ta thấy hàm số f (x) sin x
3
pi 
= − 
 
 cĩ chu kỳ 1T 2= pi . Hàm số 
xg(x) tan
3
 
=  
 
 cĩ chu kỳ 
2T 3= pi . Vậy hàm số y co chu kỳ T 6= pi 
6). Ta cĩ : 
( ) 2sin 4x .2cos 4xtan 4x 1 c 8x2 tan 4x 2sin 4x.c 4x sin8xc 4xy tan 8x1 c 8x 1 c 8x c 8x c 8x c 8x c 8x
1 c 8x
os osos
os os os os os os
os
+
= = = = = =
+ − +
+
 Vậy hàm số y cĩ chu kỳ T
8
pi
= 
Dạng 3: XÉT TÍNH CHẴN - LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Lý thuyết vận dụng: 
+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x 
thuộc D, ta cĩ x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = f(x) 
+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc 
D, ta cĩ x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = -f(x) 
BÀI TẬP: Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau 
1). y x cos5x= + 2). 2y 3 cos x sin x= + 
3). 2y sin x. sin 2x= 4). 
2
cotx
y
1 cos x
=
+
5). f (x) 3sin x 2= − 6). f (x) s cos xinx= − 
7). 2f (x) s .c x tinx os anx= + 8). f (x) sin 2x c 3xos= − 
Hướng dẫn 
1) Hàm số y f(x) x cos5x= = + cĩ TXĐ: D = R. Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . 
x D, f( x) x cos( 5x) x cos5x f(x)∀ ∈ − = − + − = + = . Vậy f(x) là hàm số chẵn. 
2) Hàm số 2y f(x) 3 cos x sin x= = + cĩ TXĐ: D = R. Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . 
2 2 2x D, f( x) 3cos( x) sin ( x) 3 cos x ( s inx) 3 cos x sin x f(x)∀ ∈ − = − + − = + − = + = . 
Vậy f(x) là hàm số chẵn. 
3) Hàm số 2y sin x. sin 2x= cĩ TXĐ: D = R. Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 13 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/ng.huubien 
2 2x D, f( x) sin ( x). sin( 2x) sin x. sin 2x f(x)∀ ∈ − = − − = − = − . Vậy 2y f(x) sin x. sin 2x= = là 
hàm số lẻ. 
4) Hàm số 
2
cotx
y f(x)
1 cos x
= =
+
 cĩ TXĐ: { }D R \ k. / k Z= pi ∈ . Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . 
2 2
cot( x) c otx
x D, f( x) f(x)
1 cos ( x) 1 cos x
−∀ ∈ − = = − = −
+ − +
. Vậy f(x) là hàm số lẻ. 
5). TXĐ: D = R. Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . Xét f ( x) f (x)f ( x) 3sin x 2
f ( x) f (x)
− ≠
− = − − ⇒ 
− ≠ −
. 
Vậy f(x) khơng là hàm chẵn cũng khơng là hàm lẻ. 
6). TXĐ: D = R. Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . Xét f ( x) f (x)f ( x) s cos x
f ( x) f (x)inx
− ≠
− = − − ⇒ 
− ≠ −
Vậy f(x) khơng là hàm chẵn cũng khơng là hàm lẻ. 
7). TXĐ: D = R. Ta cĩ x D x D∈ ⇒ − ∈ . 
Xét ( )2 2f ( x) s .c x t s .c x t f (x)inx os anx inx os anx− = − − = − + = − 
Vậy f(x) là hàm số lẻ. 
8). Vậy f(x) khơng là hàm chẵn cũng khơng là hàm lẻ. 
Dạng 4: TÌM MIN - MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Lý thuyết vận dụng: 
Ta cĩ: 1 sin(ax b) 1, x R, 1 cos(ax b) 1, x R− ≤ + ≤ ∀ ∈ − ≤ + ≤ ∀ ∈ 
BÀI TẬP: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số 
1). y 2cos(x ) 3
3
pi
= + + 2). y 4sin x= 
3). 1y 3 sin x cos x
4
= + 4). y 1 s inx 3= + −