Toán 10 - Giá trị lượng giác của một cung

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
Gía trị lượng giác của cung
Lý thuyết và ví dụ.
Định nghĩa. 
Trên đường tròn lượng giác cho cung 
có số đo=(còn viết =) 
Tung độ của điểm M gọi là sin
của và kí hiệu là 
Hoành độ của điểm gọi là 
côsin của và kí hiệu là 
.
Nếu , tỉ số gọi là tang của và kí hiệu là (người ta còn dùng kí hiệu tg)
Nếu , tỉ số gọi là côtang của và kí hiệu là (người ta còn dùng kí hiệu cotg)
Các giá trịđược gọi là các gía trị lượng giác của cung .
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
CHÚ Ý
Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
Nếu thì các giá trị lượng giác của góc chính là các giá trị
lượng giác của góc đó đã được học ở chương II, Hình học lớp 10.
Ví dụ 1: Tính ;sin;.
Giải: (vẽ hình)
Cách 1: 
Điểm cuối của cung là A.
Điểm cuối của cung-90 là B.
Điểm cuối của cung là C.
Điểm cuối cùng của cung là D
Điểm cuối cùng của cung là E
Hệ quả.
 và xác định với mọi Hơn nữa, ta có
Ví dụ 1: 
Vì nên ta có:
Với mọi mà đều tồn tại và sao cho và 
Ví dụ 2: Có tồn tại hay không để 
Giải:
Vì tồn tại 
 không tồn tại 
xác định với mọi 
Thật vậy, không xác định khi và chỉ khi tức là điểm cuối của cung.
 xác định với mọi 
Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM = trên đường tròn lượng giác (vẽ hình 49/SGK/142)
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
 Góc phần tư
Giá trị lượng giác
I
II
III
IV
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Ví dụ 3: Cho <<.Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
Giải: Với << ta xác định điểm cuối cùng của các cung: thuộc các cung phần tư nào, từ đó xác định dấu nhờ bảng xác định dấu.
Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
0
0
1
1
0
0
1
Không xác định
Không xác định
1
0
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG.
Từ định nghĩa của và hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.
Ý nghĩa hình học của 
Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại và vecto đơn vị 
Cho cung lượng giác có sô đo là Gọi là giao điểm của với trục (vẽ hình 50/144)
Giả sử không trùng với . Vì ta có Từ đó suy ra:
 (1)
	Vì và nên từ (1) suy ra:
	Khi trùng thì và Vậy
tan
 được biểu diễn bởi độ dài đại số của vecto trên trục Trục được gọi là trục tang.
Ý nghĩa hình học của cot
Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc tại B và vecto đơn vị bằng 
Cho cung lượng giác có số đo là .
Gọi là giao điểm của và trục (vẽ hình 51/144).
Lí luận tương tự mục trên, ta có
 được biểu diễn bởi độ dài đại số của vecto trên trục Trục được gọi là trục côtang.
?1. Cho Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÙNG MỘT CUNG.
Chứng minh công thức 4,5,6:
Công thức 6, suy ra công thức 2 và 3.
Công thức 4: 
Công thức 5: 
Bài tập minh họa:
Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi biết các giá trị lượng giác.
Cho Tính .
Giải: 
Vì điểm cuối của cung thuộc cung phần tư thứ IV (vẽ hình minh họa)
Vậy 
Cho Tính các giá trị lượng giác còn lại.
Giải: .
Vì điểm cuối của cung thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II. Ở cả hai cung phần dư này ta đều có .
Vì: 
Vậy 
Cho và Tính các giá trị còn lại.
Giải: .
Vì: 
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức biết một giả thiết cho trước.
Cho Tính:
.
.
.
Giải:
Áp dụng hằng đẳng thức: Ta có:
Vì: 
Áp dụng hằng đẳng thức trên ta có: 
Ta có:
Cho Tính:
Giải:
Áp dụng đẳng thức: ta có:
Cho Tính giá trị biểu thức.
Giải: Vì nên .
Vì cả tử và mẫu đều là biểu thức bậc nhất nên ta chia cả tử và mẫu cho :
Chia cả tử và mẫu cho .
.
Chia cả tử và mẫu cho 
Chia cả tử và mẫu cho 
Cho Tính giá trị biểu thức:
Giải: Vì 
Chia cả tử và mẫu cho 
Chia cả tử và mẫu cho :
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức.
Chứng minh các đẳng thức sau.
.
Giải: 
Biến đổi vế trái:
Biến đổi vế trái:
Biến đổi vế trái:
Biến đổi vế trái:
Chứng minh các đẳng thức sau:
.
Giải:
Dạng 4: Rút gọn biểu thức.
Nhận xét: Các bài rút gọn biểu thức thường khó hơn bài chứng minh vì ta chưa biết đích đến. Khi làm các bài này, thường ta sử dụng công thức: 
và khi ta gặp cùng một bài ta xử lý như sau:
Còn nếu bài chỉ có và thì ta chuyển:
Rút gọn các biểu thức sau:
.
Giải:
Cách 1: Sử dụng công thức: 
 ( Vì )
Cách 2: 
Rút gọn biểu thức:
Rút gọn các biểu thức sau: