Tài liệu Tự ôn luyện thi môn Toán Lớp 12

NGUYỄN ðỨC TUẤN 
TỰ ƠN LUYỆN THI 
MƠN TỐN 
Hà nội, 1 - 2005 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 1 
Chương 1: Phương trình và bất phương trình 
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 
I. Cách giải 
 1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b ∈IR. 
• Nếu a ≠ 0 thì phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = - 
a
b
. 
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vơ nghiệm. 
• Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈IR. 
2) Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 
• Nếu ∆= b2 – 4ac < 0 phương trình vơ nghiệm. 
• Nếu ∆ = 0 phương trình cĩ nghiệm kép == 21 xx - 
a2
b
. 
• Nếu ∆ > 0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt =2,1x 
a2
b ∆±−
. 
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm 
 1) ðịnh lí Viét : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 cĩ hai nghiệm 21 x,x thì 
 S = =+ 21 xx - 
a
b
 và P = =21 x.x 
a
c
. 
 2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 cĩ hai nghiệm: 
Trái dấu ⇔ 0
a
c
< Cùng dấu ⇔ 




>
≥∆
0
a
c
0
Cùng dương 









>−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
 Cùng âm 









<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0
III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai 
 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta cĩ 
 1. ðịnh lí thuận: 
• Nếu ∆ = b2 – 4ac 0 với ∀ x. 
• Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - 
a2
b
. 
• Nếu ∆ > 0 khi đĩ f(x) cĩ hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và 
a.f(x) > 0 với x ngồi ]x;x[ 21 . 
a.f(x) < 0 với 21 xxx << . 
2. ðịnh lí đảo: Nếu tồn tại số α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam thức cĩ hai nghiệm phân biệt 
và số α nằm trong khoảng hai nghiệm đĩ: 21 xx <α< . 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 2 
IV. Ứng dụng 
1. ðiều kiện để f(x) = ax2 + bx + c khơng đổi dấu với mọi x 
 f(x) > 0 với ∀ x 










<∆
>



>
==
⇔
0
0a
0c
0ba
 f(x) ≥ 0 với ∀ x 










≤∆
>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba
 f(x) < 0 với ∀ x 










<∆
<



<
==
⇔
0
0a
0c
0ba
 f(x) ≤ 0 với ∀ x 










≤∆
<



≤
==
⇔
0
0a
0c
0ba
2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α 
• ðiều kiện để f(x) cĩ hai nghiệm phân biệt và 21 xx <α< là: a.f(α ) < 0. 
• ðiều kiện để f(x) cĩ hai nghiệm phân biệt và α nằm ngồi khoảng hai 
nghiệm: 



>α
>∆
0)(f.a
0
- Nếu α nằm bên phải hai nghiệm: α<< 21 xx ⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
- Nếu α nằm bên trái hai nghiệm: 21 xx <<α 







>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
• ðiều kiện để f(x) cĩ hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm 
nằm ngồi đoạn [ βα; ] là: f( α ).f(β ) < 0. 
3. ðiều kiện để f(x) cĩ nghiệm thỏa mãn x > α : 
• Trường hợp 1: f(x) cĩ nghiệm 21 xx <α< ⇔ a.f( α ) < 0. 
• Trường hợp 2: f(x) cĩ nghiệm 21 xx <<α ⇔ 







<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0
• Trường hợp 3: f(x) cĩ nghiệm 21 xx <=α




<α
=α
⇔
2
S
0)(f
( Làm tương tự với trường hợp x < α và khi xảy ra dấu bằng) 
Ngồi ra ta chú ý thêm định lí sau: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục. Khi đĩ điều kiện để 
phương trình f(x) = m cĩ nghiệm là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 3 
Bảng tĩm tắt định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai 
Nếu 0<∆ 
Nếu 0=∆ 
Nếu 0>∆ 
 a.f(x) > 0 với ∀ x 
a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - 
a2
b
a.f(x) > 0 với x ngồi ]x;x[ 21 
a.f(x) < 0 với 21 xxx << 
Bảng tĩm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α 
ðiều kiện để f(x) = ax2 + bx + c cĩ hai nghiệm phân biệt và 
α nằm giữa khoảng hai nghiệm 
21 xx <α< 
α nằm ngồi khoảng hai nghiệm 



>α
>∆
0)(f.a
0
α<< 21 xx α<< 21 xx 
 a.f( α ) < 0 







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0







>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình 08mx)4m(2x 22 =+++− cĩ 2 nghiệm dương. 
Ví dụ 2. Xác định a để biểu thức 3a3x)1a(2x)1a( 2 −+−−+ luơn dương 
Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình m2xx2 ≥−+ nghiệm đúng với mọi x. 
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình m2mxx2 ++ = 0 cĩ hai nghiệm 21 x,x thỏa mãn 
 -1< 21 xx < 
Ví dụ 5. Tìm m để phương trình 01m2mx2x 22 =−+− cĩ nghiệm thỏa mãn 
 4xx2 21 ≤≤≤− 
Ví dụ 6. Cho phương trình 2m3x)2m(x 2 −+++ =0 
Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 
Ví dụ 7. Tìm m để phương trình 02mmx2x 2 =++− cĩ nghiệm lớn hơn 1 
Ví dụ 8. Tìm m để phương trình 02m2m9mx6x 22 =+−+− cĩ nghiệm 3xx 21 ≤≤ 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 4 
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ 
 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI 
I. Phương trình trùng phương 0a,0cbxax 24 ≠=++ (1) 
ðặt t = 2x ≥ 0 phương trình (1) trở thành: at2 + bt + c = 0 (2) 
• PT (1) cĩ nghiệm khi và chỉ khi (2) cĩ ít nhất một nghiệm khơng âm. 
• PT (1) cĩ đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) cĩ đúng một nghiệm dương. 
• PT (1) cĩ đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) cĩ một nghiệm bằng 0 và một 
nghiệm dương. 
• PT (1) cĩ đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) cĩ hai nghiệm dương phân 
biệt. 
Ví dụ 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0. 
a)Tìm các giá trị của m để phương trình vơ nghiệm. 
b)Tìm các giá trị của m để phương trrình cĩ 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 2. Tìm m sao cho đồ thị hàm số y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8 
cắt trục hồnh lần lượt tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D với AB = BC = CD. 
II. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối 
1) Các dạng cơ bản: 
| a | = b 



±=
≥
⇔
ba
0b
 | a | = | b | ba ±=⇔ 
| a | ≤ b 



≤
≥
⇔ 22 ba
0b
 | a | ≥ b 








≥
≥
<
⇔
22 ba
0b
0b
| a | ≥ | b | 22 ba ≥⇔ 
Ví dụ 1. Giải phương trình | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1. 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x2 - | 4x – 5 | < 0. 
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x. 
Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. 
Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |. 
2)Phương pháp đồ thị: 
a) Cách vẽ đồ thị hàm số y = | f(x) | khi đã biết đồ thị hàm số y = f(x). 
 - Chia đồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh (1) và 
phần đồ thị nằm phía dưới trục hồnh (2). 
- Vẽ phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị (2) qua trục hồnh được phần đồ thị 
(3). 
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là đồ thị gồm phần đồ thị (1) và phần đồ thị (3) vừa 
vẽ. 
 b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao điểm của đường thẳng 
nằm ngang y = h(m) với đồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình cĩ tham số ta tách riêng 
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ đồ thị hàm số y = g(x) và đường thẳng y = h(m) rồi áp 
dụng định lí trên để biện luận. 
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 cĩ 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 5 
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 
I.Các dạng cơ bản 
Dạng 1: )x()x(f1n2 ϕ=+ , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ )x(ϕ ]2n+1 
Dạng 2: )x()x(fn2 ϕ= , n ∈ N* ⇔ 



ϕ=
≥ϕ
n2)]x([)x(f
0)x(
Dạng 3: 





ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f , 





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f 
 Dạng 4: 










ϕ>
≥ϕ



<ϕ
≥
⇔ϕ>
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f , 










ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f 
Ví dụ 1. Giải phương trình 1x23x2x2 +=+− 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x12xx 2 <−− 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình x26x5x2 2 −>−+ 
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm 3mxx2mx 2 −+=− 
II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ khơng cơ bản 
1) Phương pháp lũy thừa hai vế: 
- ðặt điều kiện trước khi biến đổi 
- Chỉ được bình phương hai vế của một phương trình để được phương trình tương đương 
(hay bình phương hai vế của một bất phương trình và giữ nguyên chiều) nếu hai vế của chúng 
khơng âm. 
- Chú ý các phép biến đổi căn thức AA2 = . 
Ví dụ 5. Giải phương trình 4x31x +−=+ 
Ví dụ 6. Giải bất phương trình x78x23x −+−≥+ 
Ví dụ 7. Giải bất phương trình 15x5x3 >+− 
Ví dụ 8. Giải bất phương trình x1x2x ≤+−+ 
Ví dụ 9.Giải phương trình 2x21x6x8x2 22 +=−+++ 
Ví dụ 10.Giải bất phương trình 1x1x3x23x4x 22 −≥+−−+− 
2)Phương pháp đặt ẩn phụ: 
 - Những bài tốn cĩ tham số khi đặt ẩn phụ phải tìm tập xác định của ẩn mới. 
 - Chú ý các hằng đẳng thức 222 bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba 22 −+=− ,  
Ví dụ 11.Giải bất phương trình x2x71x10x5 22 −−≥++ 
Ví dụ 12.iải phương trình 47x1x7x28x =+−+++++ 
Ví dụ 13.Giải phương trình 4x415x42x2x 2 −+−=−++ 
Ví dụ 14.Giải phương trình 
x
2x2x3
x
4
x9
2
2
2 −+
=+ 
Ví dụ 15.Giải bất phương trình 4
x2
1
x2
x2
5
x5 ++<+ 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 6 
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG 
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1 
1)Khái niệm: Là hệ mà mỗi phương trình khơng đổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x. 
 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 
 3)Cách giải: 
Biến đổi hệ phương trình về dạng: Hệ đã cho ⇔



=
=+
Py.x
Syx
 (1) 
Khi đĩ x, y là nghiệm của phương trình: 0PStt2 =+− (2) 
Nếu ∆ = S2 – 4P > 0 thì phương trình (2) cĩ hai nghiệm t1 ≠ t2 nên hệ phương trình (1) cĩ hai 
nghiệm phân biệt (t1, t2), (t2, t1). 
Nếu ∆ = 0 thì phương trình (2) cĩ nghiệm kép t1 = t2 nên hệ (1) cĩ nghiệm duy nhất (t1, t2). 
ðiều kiện để hệ (1) cĩ ít nhất một cặp nghiệm (x, y) thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 





≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S2
Ví dụ 1.Giải hệ phương trình 



=+
=+
26yx
2yx
33 




=+
=+
35yyxx
30xyyx



=++
=−−
1xyyx
3xyyx
22 
Ví dụ 2.Tìm m để hệ sau cĩ nghiệm




+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2



=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22 
II. Hệ phương trình đối xứng loại 2 
 1)Khái niệm: Là hệ phương trình mà trong hệ phương trình ta đổi vai trị x, y cho nhau 
thì phương trình nọ trở thành phương trình kia. 
 2)Tính chất: Nếu (xo, yo) là một nghiệm của hệ thì (yo, xo) cũng là nghiệm của hệ. 
 3)Cách giải: 
 Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được phương trình cĩ dạng: 
 (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 hoặc f(x,y) = 0. 
Ví dụ 3.Giải các hệ phương trình 




=+
=+
x40yxy
y40xyx
23
23




=−
=−
22
22
x4xy
y4yx






+=
+=
x
1
xy2
y
1yx2
2
2
Ví dụ 4.Tìm m để hệ sau cĩ nghiệm: 




=−+
=−+
m1xy2
m1yx2




+−=
+−=
mxxy
myyx
2
2
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 7 
Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC 
I. Hệ vơ tỷ 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 




=+
=++
4yx
28xy2yx 22
Ví dụ 2. Giải và biện luận 




=−
=++
ayx
axyyx
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 




=−−+
=−++
1xyxy
2yxyx
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 




=+−
=−−
2yx2
2y2x
Ví dụ 5. Tìm m để hệ cĩ nghiệm 




=++
=++
1x1y
my1x
II. Hệ hữu tỷ 
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình 







=++
=+
−+
22
y
x4yx
1
x
y2
1yx
3
22
22
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 



=−
=−
2)yx(xy
7yx 33
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 




+=+
+=+
)x1(5y1
x16yy4x
22
33
Ví dụ 9. Tìm a để hệ cĩ nghiệm 



=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình 




=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22
Ví dụ 11.Tìm m để hệ cĩ hai nghiệm phân biệt: 



=+−
=+
2x2yx
myx
22 
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình 




=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình 




+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33
========================================================== 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 8 
Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit 
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
I. Phương trình lượng giác cơ bản 
 Khi giải các phương trình lượng giác cuối cùng dẫn đến phép giải các phương trình 
lượng giác cơ bản. Ta cần ghi nhớ bảng sau đây: 
Phương trình ðiều kiện cĩ nghiệm ðưa về dạng Nghiệm 
sinx = m 1m1 ≤≤− sinx = sin α 



pi+α−pi=
pi+α=
2kx
2kx
cosx = m 1m1 ≤≤− cosx = cos α α± + k2 pi 
tgx = m mọi m tgx = tg α α + k pi 
cotgx = m mọi m cotgx = cotg α α + k pi 
 Ở bảng trên k nhận mọi giá trị nguyên ( Zk ∈ ) . ðơn vị gĩc thường dùng là radian. 
ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các gĩc đặc biệt. ðường 
trịn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn. 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 9 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
 a) sin3x = 
2
2
; b) sin(2x - 
5
pi ) = 1; c) sin( pix ) = 0. 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
 a) cos2x = cos
5
pi
; b) cos(3x - 
3
pi ) = cos(x + 
2
pi ); c) cosx = sin(2x + 
4
pi ). 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 0)
3
8
xcos
3
(cos2 =pi−pi . 
Ví dụ 4. Giải phương trình: )xsin3cos()xsincos( pi=pi 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 1)x2(sinxcos 22 =− 
II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , 0ba 22 ≠+ 
 Chia hai vế của phương trình (1) cho 22 ba + , ta được: 
 (1) ⇔ 
222222 ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
 (2) 
 ðặt 
22 ba
a
+
= sin ϕ ; 
22 ba
b
+
 = cos ϕ . 
 Khi đĩ phương trình lượng giác cĩ dạng: cos(x - ϕ ) = 
22 ba
c
+
 (3) 
 Phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi: 222
22
cba1
ba
c ≥+⇔≤
+
 Khi đĩ tồn tại [ ]pi∈α ;0 sao cho 
22 ba
c
cos
+
=α nên ta cĩ: 
 (1) ⇔ α=ϕ− cos)xcos( ⇔ pi+α±ϕ= 2kx ; Zk ∈ 
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. 
Ví dụ 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 
a) Giải phương trình với m = - 3 . 
b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm. 
Ví dụ 8. Giải phương trình: 1xsin3xcosxsin32xcos 22 =++ 
Ví dụ 9. Tìm α để phương trình sau cĩ nghiệm x ∈ IR: 
 2)xsin(xcos3 =α++ 
Ví dụ 10. Giải phương trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin +=− 
Ví dụ 11. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm 


 pi
∈
2
;0x : 
 cos2x – msin2x = 2m – 1 
Ví dụ 12. Giải phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 
Ví dụ 13. Giải phương trình: 0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos 22 =+−− 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 10 
III. Phương trình đẳng cấp, phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 
1) Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sinx và cosx: 
Khái niệm: Một phương trình sau khi biến đổi về cosx, sinx mà ở tất cả các số 
hạng cĩ tổng số mũ của cosx và của sinx hoặc đều là số tự nhiên chẵn hoặc đều là số tự 
nhiên lẻ thì phương trình đĩ được gọi là “ đẳng cấp” đối với cosx và sinx. Gọi k là số lớn 
nhất trong các tổng số mũ nĩi trên được gọi là bậc của phương trình. 
 Cách giải: - Xét trường hợp cosx = 0 thử vào phương trình 
- Khi 0xcos ≠ chia hai vế phương trình cho coskx sau đĩ đặt 
ẩn phụ t = tgx. 
Ví dụ 14. Giải phương trình: 2sin3x = cosx 
Ví dụ 15. Giải phương trình: xsin2)
4
x(sin3 =pi+ 
Ví dụ 16. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm: 
 msin2x + cos2x + sin2x +m = 0. 
Ví dụ 17: Tìm m để phương trình sau cĩ đúng hai nghiệm x nằm trong khoảng 




 pipi
−
2
;
2
:
 3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0. 
 2) Phương trình đối xứng sinx và cosx: 
Khái niệm: Một phương trình sau khi biến đổi về cosx, sinx mà các số hạng cĩ 
chứa tổng (cosx ± sinx ) hoặc chứa tích cosx.sinx được gọi là phương trình đối xứng đối 
với cosx và sinx. Ví dụ phương trình: 0cxsin.xcosb)xsinx(cosa =++± . 
 Cách giải: ðặt t = sinx + cosx, ta cĩ 2t ≤ . Khi đĩ: sinx.cosx = 
2
1t2 −
 Nếu đặt t = sinx - cosx, ta cĩ 2t ≤ . Khi đĩ: sinx.cosx = 
2
t1 2−
Ví dụ 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). 
a) Giải hệ phương trình với m = - 1. 
b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 
Ví dụ 19. Giải phương trình: x2sin
2
3
xcosxsin1 33 =++ 
Ví dụ 20. Giải phương trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1 33 =++ 
Ví dụ 21. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm 


 pipi
∈
4
3
,
4
x : 
 .mxsinxcos 33 =+ 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 11 
IV. Phương trình đưa về dạng tích 
Các phương trình lượng giác khơng cĩ dạng như những phương trình đã trình bày ở các 
mục trước, người ta thường nghĩ tới phân tích chúng thành những phương trình cơ bản. 
 Việc phân tích thành tích thực chất là đi tìm thừa số chung của các số hạng cĩ trong 
phương trình. ðể làm được điều đĩ, chúng ta cần phải thành thạo các cơng thức lượng giác, các 
hằng đẳng thức đại số đáng nhớ và cũng cần phải cĩ kinh nghiệm nhìn nhận mối quan hệ giữa 
các số hạng cĩ trong phương trình. 
• Thử các nghiệm đặc biệt như 1xsin ±= , 
2
1
xsin ±= , 1xcos ±= , 
2
1
xcos ±= 
và phương trình cĩ chứa thừa số (cosx ± sinx). Sử dụng đẳng thức sin2x + cos2x 
= 1. 
• Dùng các cơng thức biến đổi như hạ bậc, biến đổi tổng thành tích , biến đổi tích 
thành tổng, hàm số lượng giác của hai gĩc cĩ liên quan đặc biệt. Chú thêm một 
số biến đổi sau đây: 
x2sin
2
tgxgxcot =+ , x2gcot2tgxgxcot =− , 
x2sin
1
x2gcotgxcot =− 
• ðặt các nhân tử chung (nhân tử chung suy ra từ nghiệm đã thử được). 
Tham khảo thêm bảng họ các biểu thức cĩ nhân tử chung. 
f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x) 
sinx sin2x, tgx, tg2x, ... 
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ... 
1+cosx 
2
x
cos2 , 
2
xgcot 2 , sin2x, tg2x 
1-cosx 
2
x
sin 2 , 
2
x
tg2 , sin2x, tg2x 
1+sinx 
cos2x, cotg2x, )
2
x
4
(cos2 −pi , )
2
x
4
(sin 2 +pi 
1-sinx 
cos2x, cotg2x, )
2
x
4
(cos2 +pi , )
2
x
4
(sin 2 −pi 
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx 
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx 
Ví dụ 1.Giải phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 
Ví dụ 2.Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 
2
3
Ví dụ 3.Giải phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = 
2
1 ( cos2x + cos4x). 
Ví dụ 4.Giải phương trình: 2sin3x + cos2x + cosx = 0 
Ví dụ 5.Giải phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 
Ví dụ 6.Giải phương trình: x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+
Ví dụ 7.Giải phương trình 





−
pi
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin 22 . 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
Tự ơn luyện thi đại học mơn tốn 
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 12 
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 
I. Các kết quả cơ bản 
 1) Hàm số mũ: y = ax, .1a0 ≠< 
• Tập xác định: IR. 
• Tập giá trị: IR+. (đồ thị luơn nằm phía trên trục hồnh) 
• Khi a > 1 hàm số đồng biến. 
 Khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
• Dạng đồ thị: 
 2) Hàm số logarit: y = logax , .1a0 ≠< 
 a) Các tính chất: 
• Tập xác định: IR* (x > 0 ). 
• Tập g