Sáng kiến kinh nghiệm Tham số trong phương trình và bất phương trình vô tỉ

SKKN : THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH 
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.
 GV : VŨ HỮU VIÊN .
 Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu
C.NỘI DUNG :
 Lời giải cho các bài toán sau đây chỉ cần vận dụng các kiến thức cơ bản trong chương trình đại số lớp 10, trong đó tư tưởng hàm số và đồ thị được tiếp cận và khai thác một cách thích hợp.
Vấn đề 1. Giải và biện luận phương trình, bất phương trình vô tỉ:
 Đây là một nhiệm vụ tối thiểu phải hoàn thành của học sinh, vấn đề là nên đưa ra các bài tập ở mức độ thích hợp với từng đối tượng.
Bài toán 1: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
 a) 	b) c) 
Phân tích: Nhóm bài tập nói ở đây không yêu cầu về điều kiện của ẩn khi biến đổi tương đương. Mục đích kiểm tra kiến thức cơ bản, có thể lồng ghép nhiều dạng trong một.
 (1)
TH1: : phương trình (1) vô nghiệm; TH2: 
Câu 1.a: Yêu cầu kiến thức đơn giản
Câu 1.b: Kết hợp với kiến thức về phương trình bậc 2 thu gọn, không điều kiện.
Câu 1.c: Kết hợp với kiến thức về phương trình ax = b, không điều kiện.
Bài toán 2: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:
 a) b)
 c) d)* 
Phân tích: Các bài tập đều có yêu cầu về điều kiện của ẩn ở các mức độ khác nhau. Tuy nhiên, sau bước biến đổi tương đương ; chỉ đưa đến phương trình bậc nhất, hoặc bậc hai có nghiệm đặc biệt, không “làm khó” học sinh.
Vấn đề còn lại là chọn cách trình bày thích hợp.
Giải: 
* Xét câu 2.a: .
Biện luận: 1) pt 2.a có tập nghiệm . 	 
 2) : pt 2.a có tập nghiệm . 
* Câu 2.b và 2.c trình bày tương tự, với yêu cầu cao hơn.
* Xét câu 2.d: 
Biện luận (1) : a) : (1) vô nghiệm.
 b) . 
Kết luận : - Với m = 0: nên tập nghiệm 2.d là 
Với (1) vô nghiệm nên tập nghiệm 2.d là ; 
 - Với : (1) có nghiệm nên tập nghiệm 2.d là 
Bài toán 3: Giải và biện luận theo tham số m các bất phương trình sau:
 a) c) d) 
Giải: Với lập luận cơ bản sau
 	 và 	
Các câu 3.a và 3.b chỉ yêu cầu ở mức độ vận dụng hai phép biến đổi trên.
Câu 3.c là bài toán “ hai trong một”, kiểm tra được kiến thức kép. 
.	 
Xét câu 3.d)* 
Bài toán sẽ đơn giản hơn nếu là . Tuy nhiên ta có thể đưa bài toán về dạng “dễ chịu” hơn với việc đặt ẩn phụ: . Bài toán trở thành: . 
Tiếp theo cần so sánh 0 và 1 – m2 để có tập nghiệm theo t. Từ đó suy ra tập nghiệm theo x.
Vấn đề về ẩn phụ sẽ được bàn tiếp ở phần sau.
Bài toán 4: Giải và biện luận theo tham số m các bất phương trình sau:
 a) 
Giải: Câu 4.a nếu làm như sau: 
Thì việc biện luận (I) là đơn giản, nhưng đối với (II) là quá phức tạp. 
Có thể vận dụng kết hợp giữa ẩn phụ và tính chất hàm số bậc hai :
Đặt  ;Bất phương trình trở thành :.
Xét hàm số trên khoảng , với bảng biến thiên : 
 Ta có thể biện luận đơn giản hơn như sau :
a)  : bpt vô nghiệm.
b)  : Hoành độ các giao điểm của (d) : y = m và (P): y = f(t) là 
+ Với nên tập nghiệm theo t là , suy ra tập nghiệm theo x là 
+ Với nên tập nghiệm theo t là , suy ra tập nghiệm theo x là .
Việc sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số kết hợp với phép toán đại số cho ta một phương pháp “ tích hợp” rất thú vị.
Câu 4 hoàn toàn có thể thực hiện tương tự: 	 
Giải: Đặt  ;Bất phương trình trở thành :.
Cũng với ý tưởng tích hợp đó cho bài toán tiếp sau đây:	 
Bài toán 5: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình, bất phương trình sau:
 a) 	 	 
Phân tích: Việc chọn biểu thức trong câu 5.a để đặt điều kiện, cũng như việc chọn các biểu thức ở hai vế cho thích hợp ở câu 5.b là cần thiết để bài toán không phức tạp quá mức; cho học sinh còn có hứng thú giải quyết bài toán một cách trọn vẹn.	 
Vấn đề 2. Một số bài toán chứa tham số khác:
2.1 Tìm tất cả giá trị của tham số để hai phương trình, bất phương trình tương đương, hoặc là hệ quả.
Phương pháp: giải trực tiếp bằng biến đổi đại số hoặc gián tiếp vận dụng chiều biến thiên của hàm số.
Bài toán 6: Tìm tất cả giá trị của tham số m sao cho
 (1) tương đương với (2).
Giải: (1) có tập xác định là tập rỗng nên (1) vô nghiệm. Vậy bài toán trở thành tìm m để (2) vô nghiệm.
 (2): . Lập bảng biến thiên 
 của hàm số trên khoảng .ĐS:. 	 
Bài toán 7: (1) là hệ quả của (2)
Giải: Tập xác định của (2) là D = [1;2].
Sử dụng phương pháp so sánh: 
 ta suy ra (2) có tập nghiệm là S = [1;2].
Vậy bài toán tương đương: Tìm m để (1) có tập nghiệm chứa S, hay (1) thoả với mọi giá trị x thuộc [1;2].
Biến đổi (1): 
Với , ( dùng phương pháp miền giá trị hàm số)
Bài toán tương đương: Tìm m sao cho bất phương trình thoả với mọi . 
Lập bảng biến thiên của hàm số , kết quả .
Một số bài toán phát triển từ bài toán 7:
Bài toán 8: (1) tương đương với (2)
Giải: (2) có nghiệm duy nhất x = 3 ( dùng đánh giá như bài 7)
Điều kiện cần: (1) có nghiệm x = 3 , suy ra m = 12. 
Điều kiện đủ: Giải phương trình 
Vậy không có m thoả yêu cầu bài toán.
Bài toán 9: (1) là hệ quả của (2)
Giải: (2) có nghiệm duy nhất x = 3 ( dùng đánh giá như bài 7)
Vậy bài toán tương đương: x = 3 là nghiệm của (1) (3)	 
2.2 Tìm tất cả giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có một số nghiệm, khoảng nghiệm thoả tính chất theo yêu cầu:	 
Bài toán 10: Tìm m sao cho phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
* Phân tích: . Đây là dạng bài toán ứng dụng đồ thị hàm số quen thuộc, cần chú ý chọn sao cho hoành độ điểm cực trị của hàm số thuộc miền xét để đa dạng hoá tình huống.
Lập bảng biến thiên ( hoặc vẽ đồ thị) và cho kết quả.
Có thể mở rộng bài toán với yêu cầu: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (*).
Bài toán 11: Tìm m sao cho phương trình (*) có đúng hai nghiệm.
Phân tích: .
Đặt , từ chiều biến thiên của hàm số trên khoảng ta có tập giá trị của t là và tương ứng (t - x) là tương ứng (1 – 1) ( song ánh)
Như vậy, bài toán tương đương: Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng . Tiếp tục dùng phương pháp hàm như trên.
Lưu ý: bài toán rất phức tạp nếu tương ứng (t - x) không đơn thuần là (1-1), yêu cầu này chỉ nên dành cho đối tượng học sinh khá giỏi.
 Trong chương trình đại số 10, học sinh chỉ được biết về chiều biến thiên của hàm đa thức bậc 1, 2. Khi thực hiện yêu cầu bài toán theo hướng sử dụng hàm, một số bài có thể là hàm phân thức hữu tỉ, xét chiều biến thiên của chúng là điều quá sức đối với học sinh lớp 10. Có thể dùng kỹ thuật “ đa thức hoá”như sau:	 	 
Bài toán 12: Cho bất phương trình ( ẩn ): . Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.
Giải: Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật “ đa thức hoá” 
*(1)
* không là nghiệm của (1) với mọi m, vậy (1) 
* Đặt ; (1) trở thành: 
* Xét hàm số ; có tập giá trị là .
Kết luận: bất phương trình có nghiệm .
Bài toán 13: Tìm m sao cho bất phương trình thoả với mọi x thuộc tập xác định.
Giải: Tập xác định của bất phương trình là D = [1;5].
Trên D, ta có , dấu = chỉ tại x = 2.
Với mọi m, x = 2 là một nghiệm
Bài toán đưa về việc tìm m để thoả 
Sử dụng phương pháp hàm với kỹ thuật đa thức hoá : .
, với 
, với .
 Hàm số trong có giá trị lớn nhất là 8. Vậy là giá trị cần tìm.
Bài toán 14: Tìm m sao cho bất phương trình có đúng một nghiệm nguyên. 
Giải: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ:
	* xác định . Vậy nghiệm nguyên của bất phương trình chỉ có thể thuộc tập 
{-1;0;1}.
* Vậy bài toán tương đương với: Tìm m để chỉ một trong 3 số -1; 0; 1 là nghiệm của bất phương trình (*)
Với , bài toán (*) tương đương với
.
D.KẾT LUẬN :
Như vậy, với việc chọn lọc các bài toán với mức độ thích hợp và đa dạng về cách giải quyết, học sinh được củng cố sâu về kiến thức, rèn luỵên về kỹ năng và phát triển tư duy toán học. Giúp các em không những chỉ giải quyết được các vấn đề của tham số trong phương trình đại số mà còn các lãnh vực khác của toán học cũng như trong cuộc sống.
 Vũng tàu, 30 /1/ 2015.
Người viết: Vũ Hữu Viên