Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp dạy học chứng minh định lí

PHẦN I. MỞ ĐẦU
 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Cùng với việc dạy học các khái niệm, việc dạy học các định lí toán học có vị trí then chốt trong bộ môn, vì nó cung cấp vốn kiến thức cơ bản cho học sinh, qua đó giáo dục rèn luyện con người theo mục đích của bộ môn.
việc dạy học các định lí ở trường THCS phải nhằm đạt các yêu cầu sau đây:
 1) Làm cho học sinh thấy nhu cầu phải chứng minh, thấy sự cần thiết phải suy luận chính xác, chứng minh chặt chẽ ( với mức độ thích hợp).
 2) Phát triển năng lực suy luận và chứng minh, từ chổ hiểu được trình bày lại được những chứng minh đơn giản, đến chổ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh của những định lí ngày càng phức tạp, giúp học sinh nắmđược nội dung định lí, những điểm mấu chốt, căn bản trong chứng minh, tránh việc thu nhận các định lí một cách hình thức.
 3) Làm cho học sinh nắm được hệ thống các định lí, mối liên hệ giữa định lí này và định lí khác; từ đó có khả năng vận dụng các định lí vào việc giải các bài tập và giải quyết các vấn đề thực tế.
 Trên dây là những nhu cầu và sự cần thiết khi dạy các định lí toán học vì vậy tôi quyết định chọn đề tài này để nghiên cứu.
 II. THỰC TRẠNG:
 Trong quá trình dạy và học, sự truyền đạt và sự tiếp thu khi dạy và học các định lí giữa thầy và trò còn rất hạn chế. Tôi thấy các em còn rất lúng túng hoặc sợ sệt khi gặp phải bài chứng minh. Các em thường né tránh hoặc chứng minh một cách vụng về, không tìm ra được phương hướng để chứng minh dẫn đến bế tắc dẫn đến học sinh không thích học hình cũng như không thích học các bài toán chứng minh, cho nên các định lí thường được học một cách áp đặt dẫn đến không nhớ được lâu. Đó là tình trạng thường gặp ở các học sinh trung học cơ sở. Vì thế qua bài viết này tôi cũng rất hy vọng nó có thể giúp ích được phần nào cho các đồng nghiệp của mình trong quá trình giảng dạy các nội dung định lí.
PHẦN II. NỘI DUNG
 I. LÀM CHO HỌC SINH THẤY SỰ CẦN THIẾT PHẢI CHỨNG MINH:
 1.Để phát huy tính tự giác và tích cực của học sinh trong việc học tập các định lí, điều đầu tiên là, phải làm cho các em nhận thức rõ sự cần thiết phải chứng minh các định lí đó. Yêu cầu này đặt ra rất rõ khi học sinh bắt đầu học hình học.
 Trong đại số lớp 7 đã có một vài định lí được chứng minh( như “tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” – đại số 7 trang 29, tập 1), nhưng các định lí này khá cụ thể, học sinh dễ thấy ý nghĩa và tác dụng của nó, nên ít boăn khăn về cách suy luận để đi đến định lí đó. Trái lại khi mới học hình học, học sinh gặp ngay việc chứng minh nhiều định lí mà sự đúng đắn của chúng đối với các em là “hiển hiên”, “còn chứng minh làm gì nữa?”. Một hôm tôi đã nghe hai học sinh nói chuyện với nhau: “Hôm nay cô giáo mang lên lớp hai tam giác bằng nhau, một cái màu xanh, một cái màu đỏ, rồi loay hoay một lúc trên bảng để nói rằng hai tam giác ấy bằng nhau”.
 Một tình huống tương tự. xét bài tập sau đây: 
 Chứng minh định lí: “ Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại O và góc xOy vuông thì các góc yOx’,x’Oy’, y’Ox đều là góc vuông.” ( Hình học 7, chương 1, bài 53 trang 102).
 Đây là một bài tập trong sách giáo khoa, yêu cầu học sinh điền vào chỗ trống như sau:
 (theo Gt và căn cứ vào...)
 = 900 (căn cứ vào...)
 4) = (vì...)
 5) = 900 ( căn cứ vào...)
 6) = (vì...)
 7) = 900 (căn cứ vào...)
 Chúng tôi đã cho một số học sinh làm lại bài tập này ( viết lại chứng minh định lí), ngay hôm sau giáo viên đã cho các em làm và sửa bài tập trên lớp. Nhưng tỉ lệ làm được rất thấp. Khi trao đổi riêng nhiều em chỉ vào hình vẽ và nói: “góc xOy bằng 900 thì góc x’Oy kề bù với nó thì phải bằng 900, còn lại là các góc đối đỉnh, nhưng sách cứ phải nói vòng vòng”. Nhưng các em chưa hiểu hết chứng minh là phải có căn cứ và phải có lập luận chặt chẽ.
 Có thể thấy rằng chương trình sách giáo khoa của chúng ta có một điều bất hợp lí là yêu cầu chứng minh hình học quá chặt chẽ ngay từ lớp 7; học sinh chưa thể thấy được sự cần thiết phải chứng minh như vậy và do đó trong công việc của giáo viên ở đây rất khó khăn, trong nhiều trường hợp là bất lực!
 2. Xuất phát từ những yêu cầu của thực tế và một biệp pháp giúp học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh. Ví dụ, trước khi chứng minh định lí về trường hợp bằng nhau “góc – cạnh – góc” (g.c.g) của hai tam giác, có thể cho học sinh bài tập thực tế:
 Đứng từ điểm B ở bên này bờ sông muốn đo khoảng cách từ B đến A bên
 kia bờ sông. Người ta có thể làm như sau: Lấy điểm C, D sao cho C,D,B thẳng hàng và DC = CB; Kẻ DM sao cho , rồi trên lấy E sao cho A, C, E thẳng hàng. DE = AB. Vì sao có thể kết luận được như vậy?
 Phân tích để học sinh thấy rằng ở đây hai tam giác ABC và EDC có BC=DC; ; ; để có thể kết luận được DE = AB ta tìm cách chứng minh hai tam giác ABC và tam giác EDC bằng nhau. 
 3. Đối với một số định lí, nên làm cho học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh để có được một kết luận chính xác, tổng quát, thay thế cho việc tính toán hay đo đạc từng trường hợp cụ thể. 
 Ví dụ: Trước khi chứng minh định lí về tổng các góc của một tam giác, có giáo viên cho mỗi học sinh vẽ một tam giác tùy ý, đo các góc của tam giác ấy rồi cộng lại. sau khi học sinh cho các kết quả: 1780, 1810, 1800, 1790,...giáo viên mới cho học sinh thấy rằng: các kết quả rất gần với nhau, kết quả đúng bao giờ cũng là 1800 ; ta cần chứng minh điều này để không cần thiết phải đo trong từng trường hợp cụ thể, mà có kết quả chính xác hơn.
 4. Việc chọn ví dụ và vẽ hình cũng giúp học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh. Chẳng hạn, để chứng minh rằng: “ góc ngoài của một tam giác lớn hơn góc trong không kề với nó” , nếu ta vẽ hình với góc C là tù (hình a), thì học sinh có thể cho rằng có gì cần phải chứng minh đâu, vì góc tù bao giờ cũng lớn hơn góc nhọn ( góc A và góc B là hai góc nhọn). Vì vậy phải vẽ hình góc ngoài là góc nhọn (hình b); lúc đó việc góc ngoài ở C lớn hơn góc A và góc B không phải là điều hiển nhiên nữa.
 5. Để giúp học sinh thấy sự cần thiết phải chứng minh, chứ ,không phải dựa vào sự đúng đắn của hình vẽ thông qua mắt nhìn, nên cho học sinh thấy rằng đôi khi hình vẽ “đánh lừa” mắt ta, là cho ta đánh giá nhiều vấn đề sai sự thật. Các ảo ảnh hình học, sau đây là một số ví dụ có tác dụng tốt về mặt này.
Đoạn thẳng nào dài hơn: XY hay YZ? AB hay CD?
Các đường nằm ngang Có phải đường tròn không?
có song song không?
Đâu là hình vuông?
 II. NÊU RÕ NỘI DUNG CỦA ĐỊNH LÍ:
 1. Một yêu cầu rất quan trọng của việc dạy học các định lí là làm cho học sinh nắm vững nội dung định lí:
- Giả thiết của định lí là gì? (cái gì đã cho?)
- Kết luận của định lí là gì ? (cái gì phải chứng minh?)
 Học sinh phải tập cho quen dùng kí hiệu để ghi vắn tắt nội dung của định lí giúp cho việc chứng minh định lí và sử dụng định lí được dễ dàng. Ghi vắn tắt , nhưng đầy đủ và chính xác.
 Ví dụ: Định lí về đường trung bình của tam giác ở lớp 8 ( đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy), học sinh phải viết được:
GT
DABC
DA = DB (D AB)
EA = EC (E AC) 
KL
DE//BC và DE = 
 Khi ghi giả thiết, không ghi “DE là đường trung bình của tam giác”, mà nên ghi cụ thể như trên ( theo định nghĩa đường trung bình của tam giác), dễ cho việc sử dụng khi chứng minh và nên ghi rõ “D AB”, “E AC”.
 2. Phải tập cho học sinh phân tích các ý trong định lí:
 Ví dụ: Đối với định lí: “ Những số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ các số đó mới chia hết cho 5” ( toán 6 tập 1), học sinh phải nắm được 3 ý:
 - Tất cả các số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
 - Tất cả các số tận cùng bằng 5 đều chia hết cho 5.
 - Tất cả các số khác, không tận cùng bằng 0 mà cũng không tận cùng bằng 5, đều không chia hết cho 5.
 Học sinh cần chú ý các từ “hoặc” và “chỉ”.
 Đối với định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:
 a) Chúng bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù;
 b) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù”
 học sinh phải biết tách ra thành ba phần:
 - Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau;
 - Hai góc tù có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau;
 - Một góc nhọn và một góc tù có cạnh tương ứng song song thì bù nhau.
 Không yêu cầu học sinh phải học thuộc lòng nguyên văn cách phát biểu định lí trong sách giáo khoa. Nên khuyến khích học sinh, trên cơ sở nắm được các ý của định lí, nắm được nội dung của giả thiết và kết luận, phát biểu định lí khác chút ít với cách phát biểu trong sách giáo khoa ( dù có thể dài) nhằm chống lối học vẹt và phát triển ở học sinh năng lực diễn đạt độc lập những ý nghĩ của mình.
 Ví dụ: định lí dấu hiệu chia hết cho 9: “Những số mà tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9” (toán 6 tập 1) học sinh có thể phát biểu theo nhiều cách khác, chẳng hạn như:
- Tất cả các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 đều chia hết cho 9 và tất cả các số khác thì không chia hết cho 9.
- Nếu một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì nó chia hết cho 9 và ngược lại, nếu một số chia hết cho 9 thì nó có tổng các chữ số chia hết cho 9.
 - Một số chia hết cho 9 khi nó có tổng các chữ số chia hết cho 9 và không chia hết cho 9 khi nó có tổng các chữ số không chia hết cho 9.
 Sau đây là một vài cách phát biểu khác nhau của một số định lí trong hình học 7:
 - “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia”, “Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này cũng vuông góc với đường thẳng kia.”
 - Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.”, “Một tam giác ,có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì đó là tam giác vuông.”, “Một tam giác là vuông nếu nó có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy”.
 Mặt khác cần cho học sinh phân tích sai lầm, thiếu sót trong phát biểu định lí như: “Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong của nó:, “Hai góc có cạnh tương ứng song song thì bằng nhau”, “Trong một tam giác cân, Phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến”...
 III. DẠY HỌC CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ:
 1. Ta biết rằng phép chứng minh một mệnh đề T là một dãy mệnh đề:
 T1T2......TN – 1TNT (*)
 ( T là mệnh đề cuối cùng của dãy), trong đó mỗi m,ệnh đề Ti (i = 1,...,n) là tiền đề, giả thiết, định lí đã biết ( đã được chứng minh) hoặc là mệnh đề được suy ra từ một mệnh đề đứng trước nó (trong dãy) bằng một quy tắc suy luận.
 Ta sẽ gọi mỗi mệnh đề Tk (1 < k ≤ n) của dãy (*) mà không phải là tiên đề, giả thiết hoặc định lí đã biết là một mệnh đề trung gian đề chứng minh T( nếu không có mệnh đề trung gian nào thì phép chứng minh chỉ có một khâu).
 Nhiều công trình nghiên cứu cho thấy rằng học sinh trung học cơ sở, nhất là học sinh đầu cấp, có thể hiểu được những chứng minh đơn giản, theo nghĩa là :
Dãy (*) gồm rất ít mệnh đề, không có hoặc chỉ có một mệnh đề trung gian (nói cách khác, phép chứng minh chỉ gồm một hoặc hai khâu)
Mệnh đề trung gian và T được suy ra bằng chứng minh trực tiếp (không phải là chứng minh gián tiếp, chứng minh bằng phản chứng).
Học sinh thường gặp khó khăn, có khi đến mức không khắc phục nổi, với những chứng minh mà dãy (*) gồm nhiều mệnh đề trung gian (có nhiều khâu), và với phép chứng minh bằng phản chứng.
 2. để giúp học sinh hiểu và dần dần biết chứng minh, nên trình bày (và yêu cầu học sinh trình bày lại) các chứng minh thành dãy các mệnh đề (*), mỗi mệnh đề có ghi chú rõ do đâu mà có (căn cứ)
 Ví dụ 1 : chứng minh hằng đẳng thức :
 (a + b)2 = a2 +2ab + b2
Mênh đề
Căn cứ
1.(a + b)2 = (a+b).(a+b)
2. =a.(a+b)+b(a+b)
3. =aa + ab + ba + bb
4. =aa + ab + ab + bb
5. =aa + 2ab + bb
6. =a2 + 2ab + b2
1. theo định nghĩa lũy thừa
2. theo luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng
3. theo luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng
4. theo luật giao hoán của phép nhân
5. theo định nghĩa của hệ số 
6. theo định nghĩa của lũy thừa
 Ví dụ 2: Chứng minh định lí “Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau”.
 GT: AB//CD, ADC = BCD
 KL: AC = BD
Chứng minh:
Mênh đề
Căn cứ
1. AD = BC
2. ADC = BCD
3.CD = CD
4. DADC = DBCD
5.AC = BD
1. theo định lí đã biết (trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau)
2. giả thiết
3. hiển nhiên
4. từ 1,2,3 và trường hợp bằng nhau (c.g.c) của hai tam giác.
5. từ 4 (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
 Chứng minh định lí trên còn có thể trình bày cách khác:
 (1) AD = BC (định lí đã biết)
 (2) ADC = BCD (giả thiết)
 (3) CD = CD (hiển nhiên)
Từ (1), (2) và (3) => DADC = DBCD (c.g.c) => AC = BD
 Ví dụ 3: Chứng minh định lí:
 “Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”.
 Trong sách giáo khoa hình học 8 trang 79 định lí được chứng minh như sau:
GT
Hình thang ABCD (AB//CD)
AE = ED, BF = FC
KL
EF//AB, EF//CD
Chứng minh: Gọi K là giao điểm các đường thẳng AF và DC.
 DFBA và DFCK có:
 (đối đỉnh)
 BF = CF (giả thiết)
 (so le trong,AB//DK)
Do đó DFBA = DFCK (g.c.g), suy ra AF = FK và AB = CK
E là trung điểm của AD, F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của DADK, suy ra EF//DK (tức EF//CD và EF//AB) và EF=DK.
Mặt khác DK = DC + CK = DC + AB. Do đó EF=
 Cách trình bày này ngắn gọn ( trong sách giáo khoa có thể là cần thiết), nhưng nếu giáo viên giảng nguyên như vậy thì nhiều học sinh sẽ không hiểu được: “EF là đường trung bình của tam giác ADK” suy ra được từ đâu? Từ AF = FK và AB = CK? còn DK = DC + CK hay DK = DC + AB là do đâu?
 Vì vậy giáo viên cần giảng giải cách chứng minh kỹ hơn, chẳng hạn như:
AB // CD (gt) => (1)
 BF = CF (giả thiết ) (2)
 (đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) => DFBA = DFCK (g.c.g)
 => AF = FK (4) và AB = CK (5)
Từ EA = ED (gt) và(4) => EF//DK (//AB) và EF=DK (6)
Từ (5)=>DK = AB + CD (7)
Từ (6) và (7) => EF= (đpcm).
 Cách trình bày này có vẻ dài nhưng nó giúp học sinh thấy rõ căn cứ của mỗi kết luận, mối liên hệ giữa mệnh đề này với mệnh đề khác trong chứng minh. Điều này càng thể hiện trực qua hơn nếu ta dùng sơ đồ như sau:
AB//CD
FB=FC
 , (gt) (đối đỉnh)
 DFBA = DFCK (g.c.g)
 ß
EA=ED
 (gt) AF = FK AB = CK
 EF//DK (//CD) DK = CD + AB
 3. Trong số học, có nhiều định lí được công nhận, không chứng minh. Ví dụ định lí : “Nếu hai số a và b đều chia hết cho m (m ≠ 0) thì tổng a + b cũng chia hết cho m (toán 6 tập 1).
 Bên cạnh đó, có một số định lí được coi như được chứng minh bằng cách suy luận trên một ví dụ tiêu biểu. Chẳng hạn các định lí về dấu hiệu chia hết ch 2,5,9,3 (toán 6 tập 1) được giải thích trên ví dụ cụ thể; lập luận trên số cụ thể đó có thể áp dụng cho bất kì số nào có tính chất tương tự. 
 Khi dạy học các định lí này, nên cho học sinh lập luận trên một số cụ thể, khác với số trong sách giáo khoa. Đối với học sinh khá giỏi, có thể cho các em chứng minh tổng quát.
 4. Điều hết sức quan trọng là giúp học sinh hiểu được ý chính của chứng minh, vì sao phải chứng minh mệnh đề trung gian này, vì sao phải vẽ thêm đường này, vì sao phải biến đổi một biểu thức nào đó ra dạng khác v.v... Trong nhiều trường hợp, có thể áp dụng phương pháp tìm tòi trong việc dạy học định lí
 Chú ý rằng do yêu cầu phải trình bày gọn, theo khuôn khổ có hạn của cuốn sách, sách giáo khoa thường không thể giải thích ý chính của mỗi chứng minh được; điều này phải do giáo viên quan tâm thực hiện thường xuyên.
 Khi dạy định lí : “Tổng số đo ba góc của của tam giác bằng 1800” cần hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ và thấy được rằng: để chứng minh định lí, ta phải vẽ một góc bằng tổng ba góc của tam giác. Điều hợp lí là giữ nguyên một góc đã có sẵn (góc C chẳng hạn) và vẽ hai góc kề với góc C (một góc chung cạnh CA, một góc chung cạnh CB với góc C) lần lượt bằng hai góc A và B .
 Để vẽ một góc bằng góc A và kề với góc C, ta có thể vẽ tia CD sao cho góc ACD bằng góc A lúc đó CD//AB. Do CD//AB nên để vẽ tiếp góc kề với góc C (có chung góc C cạnh BC) mà bằng góc B, ta chỉ cần xét tia đối của tia CD ( hình trên). Đó là ý chính chứng minh trong sách giáo khoa (hình học 7). Việc lấy trung điểm M của cạnh AC, rồi lấy điểm D trên tia BM sao cho M là trung điểm của BD (hình b) chỉ là một cách để dựng góc ACD kề với góc C và bằng góc A.
 Ta cũng có thể vẽ hai góc kề với góc C và bằng góc A, góc B theo cách khác hoặc từ C vẽ đường thẳng song song với AB (hình sau)
 Công tác thực hành hoặc thí nghiệm cũng có thể giúp gợi ý về cách chứng minh một định lí. Trong ví dụ trên đây về tổng các góc của một tam giác, trước khi chứng minh ta cho học sinh kiểm nghiệm định lí như sau: Từ một hình tam giác ABC bằng bìa các em cắt các góc B và C rồi ghép kề lại với góc A như trong hình b, từ đó các em nhận xét rằng ở A ta có một góc bẹt. Cách kiểm nghiệm này gợi ra cách chứng minh định lí: Từ A vẽ đường thẳng song song với BC...
 Trên đây là một ví dụ về cách dẫn dắt học sinh hiểu được lí do vẽ các đường phụ trong chứng minh một định lí. Điều này có thể làm được trong rất nhiều trường hợp. Sau đây là hai ví dụ khác.
 Xét dịnh lí:
 “ Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy (chương 1 hình học 8, tập 1)
 Để chứng minh định lí này trong sách giáo khoa đã chứng minh như sau:
GT
DABC,AD=DB, AE=EC
KL
DE//BC, DE=
 Chứng minh: Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF.
DAED = DCEF(c.g.c, học sinh tự chứng minh)
ÞAD = CF và .
Ta có AD = DB (gt) và AD = CF nên DB = CF.
Ta có , hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // CF, tức BD//CF, do đó DBCF là hình thang
 Hình thang DBCF có hai đáy BD và CF bằng nhau nên hai cạnh bên DF, BC song song và bằng nhau.
 Do đó DE//BC, .
 Có lẽ trong môn hình học ở trung học cơ sở không có định lí nào khó chứng minh đối với học sinh hơn là định lí về tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác:
 “Ba trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm”(hình học 7 tập 2)
 Học sinh không sao hình dung nổi (kể cả học sinh giỏi) việc chứng minh mệnh đề trung gian: hai trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G với. Có lẻ nên phát biểu định lí dưới dạng:
 “Ba trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách mỗi đỉnh một khoảng bằng trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
 Cách phát biểu này thống nhất cách phát biểu các định lí về tính chất các phân giác và đường trung trực của tam giác, đặt luôn ra cho học sinh một điều cụ thể phải chứng minh. Để chứng minh hay AG= 2GM và BG = 2GN, điều dễ hiểu là ta lấy trung điểm I của AG và trung điểm K của BG và thêm đoạn thẳng IK.
 5. Kí hiệu và hình vẽ là công cụ đắc lực giúp cho việc chứng minh, nhưng có thể làm cho học sinh hiểu vấn đề một cách hình thức, không nắm được ý chính của chứng minh.
 Sau đây là một ví dụ khá tiêu biểu mà giáo viên dễ kiểm tra lại. Ta hãy chú ý đến định lí : “Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau”.(chương 1, hình học 8, tập 2)
 Khi dạy học các định lí, phải chú ý thay đổi các kí hiệu, các hình vẽ , tập cho học sinh có thói quen khi học các định lí thì tự mình chứng minh lại với kí hiệu và hình vẽ khác trong sách giáo khoa.
 6. Phép chứng minh bằng phản chứng là vấn đề quá khó đối với học sinh ,đặc biệt là do cấu trúc giáo trình hình học, rất nhiều định lí được chứng minh bằng phản chứng ngay từ lớp 6. Thực ra ngay từ tiểu học, học sinh đã gặp vài bài toán giải bằng phương pháp phản chứng, ví dụ các bài toán về điền số (các lâp luận đại loại như: “ không thể bằng 5, vì nếu a bằng 5 thì vô lí”) hoặc bài toán đơn giản sau đây:
“Bạn An có 15 hòn bi xanh, đỏ, vàng; số bi đỏ gấp 7 lần số bi vàng. Hỏi bạn An có bao nhiêu bi mỗi màu?”
Giải: số bi vàng không thể là 2 vì nếu có hai bi vàng thì sẽ có 2.7 = 14 bi đỏ và tổng số bi nhiều hơn 15. Vậy chỉ có một bi vàng từ đó có 7 bi đỏ và 15 – 1 – 7 = 7 bi xanh.
Những bài tập loại này khó đối với học sinh tiểu học nói chung, tuy vậy các em còn có thể nhận thức được vì nó gắn với những đối tượng khá cụ thể. Nhưng mới bắt đầu học hình học có hệ thống ở lớp 7 và cũng ngay sau khi được học về “chứng minh định lí” ( chương 1, hình học 7), học sinh đã gặp những lập luận như: “Đó là điều trái với kết luận của bài toán” hoặc “do đó nếu giả sử a và b có điểm chung thì chúng ta đi đến kết luận (1) và (2) mâu thuẫn với nhau. Vậy a và b không có điểm chung nào. Đó là điều p