Sáng kiến kinh nghiệm Một số định hướng giải phương trình lượng giác

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình lượng giác là vấn đề quan trọng và quen thuộc trong chương trình toán học bậc THPT cũng như trong các đề thi tuyển sinh đại học. Việc giải thành thạo phương trình lượng giác đã trở thành nhiệm vụ và cũng là mong muốn của mọi học sinh. Tuy nhiên, sự phong phú của công thức lượng giác đã gây khó khăn cho học sinh trong việc định hướng lời giải. Nếu định hướng không tốt sẽ dẫn đến biến đổi vòng vo, không giải được hoặc lời giải sẽ dài dòng, không đẹp. Cản trở này phần nào làm nản chí các em học sinh. Một số em đã sợ học và xác định bỏ phần phương trình lượng giác. Với mong muốn giúp học sinh khắc phục khó khăn này, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số định hướng giải phương trình lượng giác”. Bài viết đưa ra một số định hướng biến đổi phương trình dựa trên những dấu hiệu đặc biệt. Nhờ đó học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải của bài toán, tiết kiệm thời gian, tự tin hơn trước các phương trình lượng giác.
Nội dung sáng kiến gồm các nội dung sau:
I. Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức cơ bản 
II. Phương trình bậc 2 đối với .
III. Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung
IV. Sử dụng công thức đặc biệt
V. Thay thế hằng số bằng đẳng thức lượng giác
	Mỗi nội dung đều được trình bày rất công phu. Dấu hiệu của mỗi phương pháp được đưa ra một cách đầy đủ và cụ thể. Các ví dụ cho mỗi nội dung phong phú, đa dạng, có phân tích định hướng thể hiện rõ ràng phương pháp đang áp dụng và có lời giải chi tiết. 
Tuy đã rất cố gắng, mong muốn bài viết có chất lượng tốt nhất nhưng do hạn chế về thời gian nên không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp và cấp trên để bài viết được hoàn thiện hơn. 
Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 1 năm 2016
Phan Trọng Vĩ
B. NỘI DUNG
I. Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức cơ bản
Khi trong phương trình lượng giác xuất hiện những biểu thức có dấu hiệu cùng nhân tử chung nếu nhận dạng được ta sẽ biến đổi đúng hướng và dễ dàng giải được. Việc phát hiện nhân tử chung đòi hỏi phải nắm được những đẳng thức cơ bản. Sau đây là một số đẳng thức quen thuộc:
Nhân tử :
Nhân tử :
Nhân tử : 
Nhân tử : 
Nhân tử :
Nhân tử :
Một số đẳng thức khác:
Để thấy rõ hơn tầm quan trọng và lợi ích của các đẳng thức cơ bản trên ta xem một vài ví dụ.
Ví dụ 1.1(ĐH 2007 – KA). Giải phương trình:
	(1.1)
Phân tích: Khai triển vế trái phương trình thấy đối xứng với nên xuất hiện nhân tử . Vế phải là chứa nhân tử . Vì vậy ta có lời giải. 
Giải:
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 1.2(ĐH 2005 – KB). Giải phương trình:
	(1.2)
Phân tích: Vì trong phương trình xuất hiện nên dễ dàng nhận thấy nhân tử là.
Giải:
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 1.3. Giải phương trình:
	(1.3)
Phân tích: . Vậy phương trình chứa nhân tử .
Giải:
Giải (1.3.1): .
Giải (1.3.2): Đặt . Phương trình (1.3.2) trở thành:
.
Với 
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 1.4(ĐH 2003 – KA). Giải phương trình:
	(1.4)
Phân tích: Phương trình có chứa nên ta nghĩ đến nhân tử chung .
Giải:
ĐKXĐ: .
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 1.5(ĐH 2008 – KD). Giải phương trình:
	 (1.5)
Phân tích: Phương trình xuất hiện nên dễ thấy phương trình có nhân tử .
Giải:
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 1.6. Giải phương trình:
	(1.6)
Phân tích: Phương trình chứa , tức là chứa . Như vậy nhân tử của phương trình là . 
Giải:
Giải (1.6.1): .
Giải (1.6.2): Đặt . Phương trình (1.6.2) trở thành:
.
Với .
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 1.7. Giải phương trình:
	(1.7)
Phân tích: Nhìn vào phương trình và dựa vào các đẳng thức cơ bản dễ dàng suy ra nhân tử chung.
Giải:
ĐKXĐ: .
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 1.8. Giải phương trình:
	(1.8)
Phân tích: Trong phương trình có tức là chứa nhân tử .
Giải:
Vậy phương trình có 5 họ nghiệm.
II. Phương trình bậc 2 đối với .
	Bài viết này xét hai loại phương trình bậc 2 đối với .
Phương trình chứa : Đối với phương trình dạng này ta nhóm số hạng chứa với số hạng chứa và phần còn lại của phương trình đưa về tam thức bậc 2 đối với hoặc nhóm số hạng chứa với số hạng chứa và phần còn lại của phương trình đưa về tam thức bậc 2 đối với để tìm nhân tử chung.
Ví dụ 2.1. Giải phương trình:
	(2.1)
Phân tích: Nếu nhóm với sẽ xuất hiện nhân tử . Ta kiểm tra xem phần còn lại có nhân tử trên không? Đưa phần còn lại của phương trình về tam thức bậc hai đối với :. Phần này không chứa nhân tử . Vậy ta nhóm với sẽ có nhân tử . Phần còn lại biến đổi thành có nhân tử .
Giải:
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2.2. Giải phương trình:
	(2.2)
Giải: Ta có: 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 2.3. Giải phương trình:
	(2.3)
Giải:
ĐKXĐ: . 
Khi đó:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 2.4. Giải phương trình:
	(2.4)
Giải:
ĐKXĐ: . 
Khi đó: 
Giải (2.4.1): .
Giải (2.4.2):. Gọi là góc thỏa mãn . Phương trình (2.4.2) trở thành
.
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.
Ví dụ 2.5. Giải phương trình
	(2.5)
Giải: 
ĐKXĐ: .
PT đã cho tương đương với 
Giải (2.5.1): 
Giải (2.5.2): 
.
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
 Chú ý: Cách giải này cũng được áp dụng cho những phương trình có bậc 3. Nhóm số hạng chứa với số hạng chứa và phần còn lại của phương trình đưa về đa thức bậc 3 đối với hoặc nhóm số hạng chứa với số hạng chứa và phần còn lại của phương trình đưa về đa thức bậc 3 đối với để tìm nhân tử chung.
Ví dụ 2.6. Giải phương trình: 
	 	(2.6)
Giải:
Ta có 
Ví dụ 2.7. Giải phương trình:
	(2.7)
Giải: 
Giải (2.7.1): .
Giải (2.7.2): .
Vậy phương trình có 5 họ nghiệm.
Phương trình không chứa : Đối với loại phương trình này ta biến đổi về dạng .
Ví dụ 2.8. Giải phương trình:
	(2.6)
Giải:
Ta có:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 2.9. Giải phương trình:
	(2.7)
Giải:
ĐKXĐ: .
Khi đó:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
III. Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung
	Trong một số phương trình, việc xác định nhân tử chung khá khó khăn. Khi đó ta có thể nhẩm một số nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung. Từ đó định hướng được rõ ràng cách biến đổi phương trình.
	Ta có thể thực hiên theo các bước sau:
	Bước 1: Nhẩm nghiệm đặc biệt.
Bước 2: Kiểm tra các giá trị đặc biệt tương ứng với nghiệm tìm được ở bước 1. Từ đó xác định nhân tử chung.
	Bước 3: Nhóm theo nhân tử đã xác định.
Ví dụ 3.1. Giải phương trình:
	(3.1)
Bước 1: Nhập vào máy tính cầm tay phương trình trên:
.
Dùng lệnh shift solve, màn hình xuất hiện . Ta nhập một giá trị, ấn = và chờ kết quả. Hoặc dùng lệnh Calc để thử một số giá trị đặc biệt. Kết quả là .
Bước 2: Các giá trị đặc biệt tương ứng là:
	+ thì nhân tử sẽ là .
	+ thì nhân tử sẽ là hoặc .
	+ thì nhân tử sẽ là hoặc .
Phương trình có nghiệm nữa là , tức có nhân tử . Nhóm làm xuất hiên nhân tử tìm được. Dễ thấy nên phần còn lại của phương trình ta đưa về bậc 3 đối với , chác chắn có nhân tử .
Giải:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 3.2. Giải phương trình:
	(3.2)
Phân tích: Nhẩm nghiệm thấy phương trình có hai nghiệm đặc biệt là nên có nhân tử là .
Giải: 
Giải (3.2.1): .
Giải (3.2.2): .
Vậy phương trình có 5 họ nghiệm.
IV. Sử dụng công thức đặc biệt
	Một số công thức thường dùng:
Dấu hiệu nhân dạng phương trình giải theo phương pháp này là trong
phương trình có chứa hằng số . Hai hướng chính biến đổi phương trình loại này là:	+ Đưa phương trình về dạng hoặc .
+ Đưa về phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác.
Dạng 1: Đưa phương trình về dạng hoặc 
Ví dụ 4.1. Giải phương trình:
	(4.1)
Giải: Ta có:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 4.2. Giải phương trình: 
	(4.2)
Giải:
Ta có:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 4.3. Giải phương trình:
	(4.3)
Giải:
ĐKXĐ: . Khi đó: 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 4.4. Giải phương trình:
	(4.4)
Giải: 
Ta có:
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Dạng 2: Đưa về phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 4.5. Giải phương trình: 
Giải: 	
Ta có:	
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Nhận xét: Biểu thức dưới hàm số lượng giác là sẽ nhóm với , sẽ gắn với hoặc sẽ nhóm với , sẽ gắn với để sử dụng công thức nhân đôi đưa về phương bậc 2 đối với một hàm số lượng giác. 
Ví dụ 4.6. Giải phương trình:
	(4.6)
Giải: 
Ta có: 
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4.7. Giải phương trình:
Giải: 
Ta có:
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Ví dụ 4.8. Giải phương trình:
	(4.8)
Giải:
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4.9. Giải phương trình:
	(4.9)
Giải: 
	.
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
V. Thay thế hằng số bằng đẳng thức lượng giác
	Trong nhiều bài toán nếu thay thế khéo léo các hằng số bằng các giá trị lượng giác hay biểu thức lượng giác sẽ cho cách giải ngắn gọn. Sau đây ta đi xét một vài ví dụ.
Ví dụ 5.1. Giải phương trình:
	(5.1)
Giải : 
Đk : . Khi đó :
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. 
Ví dụ 5.2. Giải phương trình :
	(5.2)
Giải:
Đk: . Khi đó
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 5.3. Giải phương trình:
	(5.3)
Giải :
Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.
C. KẾT LUẬN
Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách logic, cụ thể và khoa học về “Một số định hướng giải phương trình lượng giác” đem lại ý nghĩa thiết thực cho việc dạy và học toán bậc trung học phổ thông. Cụ thể là:
Báo cáo đã đưa ra những dấu hiệu đặc biệt của các phương trình lượng giác giúp học sinh định hướng lời giải.
Báo cáo đã đề cập đến năm gợi ý định hướng biến đổi phương trình lượng giác. Mỗi dạng đều đưa ra phương pháp, ví dụ có lời giải chi tiết.
Báo đã phân tích từng dấu hiệu qua các ví dụ. Do đó, học sinh có thể tự học và tự tin trước những bài toán khó.
Qua việc áp dụng sáng kiến vào dạy học trong nhiều năm, tôi nhận thấy những gợi ý này thật sự bổ ích. Từ việc áp dụng những định hướng biến đổi phương trình lượng giác, học sinh không còn sợ mà còn xem phương trình lượng giác là phần gỡ điểm trong các đề thi. Do đó các em thấy yêu và hứng thú học toán hơn. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Vĩnh yên, ngày 20 tháng 2 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Phan Trọng Vĩ
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đại số và giải tích 11 nâng cao- NXB Giáo dục – 2011- Nhiều tác giả - 227 trang.
2. Lượng giác - Đẳng thức và Phương trình Tập 1 - NXB Giáo dục - Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng. 
3. Phương trình lượng giác – NXB Giáo dục – Trần Phương.
4. Đề thi thử đại học của các trường THPT trong cả nước.