Phương pháp giải một số dạng bài tập Khảo sát hàm số trong kỳ thi tuyển sinh đại học

2 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP 
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH 
Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu 
A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2axy bx cx d    
* ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 
* ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2,x x khi đó 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình 
y’=0 
* ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương 
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại 1 2,x x thì 
1 2'( ) '( ) 0f x f x  
+ Phân tích '( ). ( ) ( )y f x p x h x  . Từ đó ta suy ra tại 1 2,x x thì 1 1 2 2( ); ( ) ( )y h x y h x y h x    
là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là: 
1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với 
đường thẳng y=ax+b 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện k=a 
2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng 
y=ax+b 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện k= 1
a
 
Ví dụ 1) Tìm m để   3 2 7 3f x x mx x    có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông 
góc với đường thẳng y=3x-7. 
Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  2'( ) 3 2 7 0f x x mx    có 2 nghiệm phân biệt 
2 21 0 21m m       . Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 
    21 1 2 7. 21 3
3 9 9 9
mf x x m f x m x            
. Với 21m  thì f’(x)=0 có 2 nghiệm x1, x2 
phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2. 
3 
Do 1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
  
 nên 
 
 
2
1 1
2
2 2
2 7(21 ) 3
9 9
2 7(21 ) 3
9 9
mf x m x
mf x m x
    

    

. 
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình    22 7: 21 39 9
my m x     
Ta có  
 2 2 2
21 21 21
3 7 2 3 4521 .3 1 21
9 2 2
m m m
y x
m m m
    
  
        
       
 
3 10
2
m   
3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc  
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện tank  
Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23  mxxxy (1) với m là tham số thực 
Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. 
Giải: 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
' 9 3 0 3m m       3 2 1 23 2 ( 1). ' ( 2) 2
3 3 3
m my x x mx x y x           
Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình 
3
2)2
3
2( mxmy 
Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai 




 







3
6;0,0;
)3(2
6 mB
m
mA 
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB 
6 6
2( 3) 3
9 36; ;
2 2
m m
m
m m m
 
 

     
Với m = 6 thì OBA  so với điều kiện ta nhận 
2
3
m 
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ 
tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là 
9 ( )
2 2tan 45 1 2 1
33 ( )
2
m Lmk
m TM
  
         
  

4 
4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b 
một góc  
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Giải điều kiện tan
1
k a
ka




Ví dụ ) Tìm m để   3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)f x x m x m m x m m        có đường thẳng đi qua 
CĐ, CT tạo với 
1 5
4
y x  một góc 450. 
Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra: 
0
1 1 5 31
14 4 4 4 445 1 1
1 1 3 54 41 . 1
4 4 4 4 4
k kk kktg k
k kk k
                     
             
3
5
5
3
k
k
 
 
 

Hàm số có CĐ, CT 2 2( ) 3 6( 1) (2 3 2) 0f x x m x m m        có 2 nghiệm phân biệt 
2 3 5 3 53( 3 1) 0
2 2
m m m m
    
              
   
 (*) 
Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có     21 2( ) ( 1) . ( ) 3 1 ( 1)3 3f x x m f x m m x m        
với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị tại
x1,x2. 
Do 1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
  
 nên 
   
     
2
1 1
2
2 2
2 ( 3 1) 1
3
2 3 1 1
3
f x m m x m
f x m m x m
       

       
Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình      22: 3 1 13y m m x m

        
Ta có   tạo với 1 5
4
y x  góc 450  22 3 1 13 m

 m    
kết hợp với điều kiện (*) ta có 3 15
2
m  
5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao 
cho tam giác OAB có diện tích cho trước 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu 
+ Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y. 
+ /
1 .
2MAB M AB
S d AB 
Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết 
5 
Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2y x mx   cắt 
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.
Giải: Có: 2' 3 3y x m  có 2 nghiệm phân biệt khi 0m  . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ 
thị hàm số là    ;2 2 , ; 2 2M m m x N m m x   
- Phương trình đường thẳng MN là: 2 2 0mx y   
- Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ2. . .sin 1IABS IA IB AIB  , 
dấu bằng xảy ra khi 0ˆ 90AIB  , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 1
2
Do vậy ta có pt:  
2
2 11 1 3 3, 1 ; 1
2 22 24 1
m
d I MN m m
m

       

 Ví dụ 2) Cho hàm số 3 3 2y x mx   
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện 
tích bằng 18 , trong đó  1;1I 
Lời giải: Ta có  2 2' 3 3 3y x m x m    . Để hàm số có CĐ và CT 0m  
Gọi A, B là 2 cực trị thì    ;2 2 ; ;2 2A m m m B m m m   
PT đường thẳng đi qua AB là:    42 2 2 2
2
m my m m x m y mx
m

       
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là  
2
2 1
;
4 1
m
d I AB
m



 độ dài đoạn 34 16AB m m  
Mà diện tích tam giác IAB là 3
2
2 1118 4 16 18
2 4 1
m
S m m
m

   

      
  
2 23 2
3 2 2
4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18
4 4 18 0 2 4 4 9 0 2
m m m m m m
m m m m m m m
       
           
6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính 
giá trị 1 2;y y ) 
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB 
7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính 
giá trị 1 2;y y ) 
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại 
cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b 
6 
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 3f x x x m x m    có CĐ và CT đối xứng nhau qua 
  1 5:
2 2
y x  . 
Giải: Hàm số có CĐ, CT   3 26 0f x x x m     có 2 nghiệm phân biệt 
2 29 3 0 3 3m m m         . 
thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:    
2
21 2( ) 1 ( ) 3
3 3 3
mf x x f x m x m      
với 3m  thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1, x2. 
Do 
 
 
1
2
0
0
f x
f x
 

 
 nên 
   
   
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2 3
3 3
2 3
3 3
my f x m x m
my f x m x m

    

     
. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT 
có phương trình    
2
22: 3
3 3
md y m x m    
Các điểm cực trị    1 1 2 2; , ;A x y B x y đối xứng nhau qua    
1 5:
2 2
y x d      và trung 
điểm I của AB phải thuộc (d) 
 
 
2
2
2
2 3 2; 1 03 0
( 1) 02 1 53 .1 .1
3 3 2 2
Im x m
m
m mmm m
     
    
      

 Ví dụ 2) Cho hàm số  3 23 2 my x x mx C    
Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
cách đều đường thẳng : 1 0d x y   
Giải: 
Ta có 2 2' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m        (1) 
Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3m  
Giả sử    1 1 2 2; , ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (Cm), ( 1 2,x x là 2 nghiệm của (1)). 
Vì 1'. 2 1 2
3 3 3 3
x m my y x           
   
 và    1 2' ' 0y x y x  nên phương trình đường thẳng đi 
qua A,B là  2 1 2 '
3 3
m my x d     
 
. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2 
trường hợp sau: 
TH1: (d’) cùng phương với (d)
92 1 1
3 2
m m     
 
 (không thỏa mãn) 
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là: 
7 
1 2
1 2
1
2
2
x xx
y yy m
  

  

. Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m     (thỏa mãn). 
Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 
8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, 
min 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính 
giá trị 1 2;y y ) 
+ Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp 
đạo hàm để tìm max, min 
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 1
3
f x x mx x m     có khoảng cách giữa các điểm CĐ, 
CT là nhỏ nhất.
Giải: Do   2 2 1 0f x x mx     có 2 1 0m    nên f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và 
hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là .    1 1 2 2; , ;A x y B x y 
Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:    21 2 2( ) . ( ) 1 13 3 3f x x m f x m x m
       
 
Do 1
2
( ) 0
( ) 0
f x
f x
 
  
 nên 
 
 
2
1 1 1
2
2 2 2
2 2( ) 1 1
3 3
2 2( ) 1 1
3 3
y f x m x m
y f x m x m
        
  

          
Ta có          22 2 2 22 22 1 2 1 2 1 2 14 19AB x x y y x x m x x         
   
 
22 2
2 1 1 2
22 2
44 1 1
9
4 4 2 134 4 1 1 4 1
9 9 3
x x x x m
m m AB
          
                  
Min AB= 2 13
3
 xảy ra  m=0 
9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước 
+ Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt 
+ Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình y’=0 
Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 1
3
f x x mx mx    đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn 
1 2 8x x  
8 
Giải: Hàm số có CĐ, CT 2( ) 2 0f x x mx m     có 2 nghiệm phân biệt 
   2 0 0 1m m m m        
với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với
x1+x2=2m và x1x2=m. 
Ta có BPT: 21 2 1 28 64x x x x     
 2 2 21 2 1 24 4 4 64 16 0
1 65 1 65
2 2
x x x x m m m m
m m
         
    
        
   

thoả mãn điều kiện    0 1m m  
Ví dụ 2) Cho hàm số 13 23  mxxxy
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm )
4
11;
2
1(I đến đường thẳng nối 
điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất 
Giải: Ta có mxxy  63' 2 . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt 
30'  m (0,25 điểm) 
- Chia đa thức y cho y’ ta có 1
3
)2
3
2()
3
1
3
('  mxmxyy . Lập luận suy ra đường thẳng đi 
qua cực đại cực tiểu là  1
3
)2
3
2(  mxmy . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường 
thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là )2;
2
1(A (0,25 điểm) 
- Hệ số góc của đường thẳng IA là 
4
3
k . Hạ IH vuông góc với  ta có 
4
5
/   IAdIH I 
Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm) 
- Suy ra 
3
412
3
2

k
m 1 m (0,25 điểm) 
Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1) 4 1y x mx m x m m       (C) 
Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại O
Giải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt: 
2 2 1' 3 6 3( 1) ' 9 0
1
x m
y x mx m
x m
 
           
 (0,25 điểm) 
Ta có 1 1'( ) 2 3 1
3 3
y y x m x m     Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì 
( 1; 3); ( 1; 1)A m m B m m    (0,25 điểm) 
Suy ra 2
1
( 1; 3); ( 1; 1) 2 2 4 0
2
m
OA m m OB m m m m
m
 
          
 
 (0, 25 điểm) 
Kết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2 
9 
Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số  3 2 21 1 . 33y x m x m x2    có cực đại 1x , cực 
tiểu 2x đồng thời 1 2;x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh 
huyền bằng 5
2
. 
Giải: 
Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2' 3; ' 0 3 0y x mx m y x mx m          
Hàm số có cực đại 1x , cực tiểu 2x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT ' 0y  có 2 
nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó. 
2
2
0 4 0 2 2
0 0 0 3 2
0 3 33 0
m m
S m m m
P m mm
       
 
          
        
 (*) 
Theo Viet ta có: 1 2 2
1 2 3
x x m
x x m
 

 
. Mà 
   22 2 2 21 2 1 2 1 25 142 4 5 2 4 3 52 2x x x x x x m m m             
Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị 
14
2
m  thỏa yêu cầu bài toán. 
B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: 4 2axy bx c   . 
*) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt 
+ Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau 
khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt
khác không. 
VD: 4 22 2 2y x mx   thì 3 2' 4 4 ' 0 0y x mx y x x m          điều kiện là m<0 
*) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), 1 1 2 1( ; ); ( ; )B x y C x y thì điều đặc biệt là tam giác 
ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán) 
*) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là: 
1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều 
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt 
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính 
các véc tơ: , ,
  
 AB AC BC
+ Tam giác ABC vuông cân . 0 AB AC 
 
+ Tam giác ABC đều AB BC 
2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước
+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt 
+ Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A. 
Tính các véc tơ: , ,AB AC BC
  
10 
+ Kẻ đường cao AH. 
+ 1 .
2ABC
S AH BC 
+ Giải điều kiện 
Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 42 2x mx m m   có CĐ, CT lập thành tam giác đều 
Giải: f’(x)=  2 24 0 0x x m x x m      
Hàm số có CĐ, CT  f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt  m>0 
Với m>0 thì f’(x)=0 
 
 
 
4 2
1
4
2
4 2
3
; 2
0 0; 2
; 2
x m B m m m m
x A m m
x m C m m m m
      

   

    
Suy ra BBT của hàm số y=f(x) 
ABC đều 2 2
2 2
00 mm
AB AC AB AC
AB BC AB BC


    
   
  
4 4 3
3
4
0
0
3
3 0
4
m m
m m m m m
m m
m m m

 
       
   
Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 22 2 4y x mx m    , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có 
3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. 
Giải: Mxđ: D R . Có 3' 4 4y x mx  
3 2' 0 4 4 0 0y x mx x x m        . Hàm số có 3 cực trị 0m  (*) 
Gọi      2 2 20;2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m    là 3 điểm cực trị 
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A 
Kẻ AH BC có 21 . 2 2 2 2 . 1
2ABC B A B
S AH BC y y x m m m         . Đối chiếu 
với điều kiện (*) có 1m  là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 3) Cho hàm số  4 2 22 1 1.y x m x m     Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị 
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải:  3 2 2 2' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m        
hàm số có 3 cực trị 1 1m    . Khi đó tọa độ điểm cực đại là  0;1A m , tọa độ hai điểm 
cực tiểu là    2 2 2 21 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m     
diện tích tam giác ABC là    221 ; . 1 12ABCS d A BC BC m    . Dấu “=” xày ra khi 0m  
ĐS: 0m  
11 
Ví dụ 4) Cho hàm số 4 22 2y x mx   có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m 
để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua 
5 5
3 9;D   
 
Giải: Có  3' 4 4 0 0; 0y x mx x x m m        . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P) 
ngoại tiếp các điểm cực trị là      2 2 3 90;2 , ; 2 , ; 2 , ;5 5A B m m C m m D
       
 
. 
Gọi  ;I x y là tâm đường tròn (P) 
     
2 2
2 2
2 2 2 2 22 2
3 1 0
2 2 0; 1; 0( ), 1
2 2
x yIA ID
IB IC x y x m x y m L m
IB IA x m y m x y
     
          
          
Vậy 1m  là giá trị cần tìm. 
Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận 
*) Xét hàm số ( )y f x .Giả sử 0 0( ; )M x y là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng 
0 0 0'( )( )y f x x x y   (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn 0y theo 
dạng 0( )f x ) 
Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số 2 1
1
xy
x



 khi đó điểm M có toạ độ là 
0
0
0
2 1( ; )
1
xM x
x


*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là 0'( )k f x 
*) Đường thẳng  bất kỳ có hệ số góc k đi qua 0 0( ; )M x y có dạng 0 0( )y k x x y   . Điều kiện 
để  là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm 
0 0( ) ( )
'( )
k x x y f x
k f x
  


 Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm số
y=f(x) 
*) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương 
trình theo (1) 
*) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là 
1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: 
+ Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng 
0 0 0'( )( )y f x x x y   (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x 
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên 0'( )k f x a  . Giải phương trình tìm 0x
sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 
12 
Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là 
'( ) '( )A B
A B
f x f x
x x



Ví dụ 1) Cho hàm số 2 1
1
xy
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến 
cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2) 
Giải : Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 0( 1)x   , PTTT là    
0
2
00 0
2 11
11
xy
xx x x

 
 
Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với 
AB hoặc trùng với AB. 
Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:
 
  00 02
00
211 1 1
11
xx x
xx
     

Suy ra phương trình tiếp tuyến là 1
4
5y
4
x  
Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì tiếp tuyến có hệ số góc là 
 
0
2
00
02 ( 4) 11 1
24 ( 2) 1
x
k
xx
  
          
Với 0 0x  ta có PTT