Ôn tập hè Toán (dùng cho học sinh mới tuyển vào lớp10)

Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
1 
ÔN TẬP HÈ NĂM 2015 
(Dùng cho học sinh mới tuyển vào lớp10) 
A. ĐẠI SỐ 
I. Căn thức – Biến đổi căn thức. 
 Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau: 
a) 3x b) 2x c) 3 1x  d)   2 3x x  e) 23x x f) 2 5x  g) 23 1x 
h) 
3
2
x
x


 i) 
1
7 14x 
 k) 
2
1
5 6x x 
. 
Bài 2. Tìm x biết: 
a) 24 2 1x x  b) 21 4 4 15x x   c) 2 6 9 3 3x x x    d) 4 7x  e) 
2 3
2
1
x
x



; 
 f) 
2 3
2
1
x
x



 g) 2 25 3 5 0x x    h) 2 16 2 4 0x x    i) 9 3x x   ; 
k) 1 7 4x x    l)    1 2x x x x   m)    2 2 1 2x x x x x x     ; 
 n)   1 2 3 9x x x     . 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: 
a)
14 7 15 5 1
: ;
1 2 1 3 7 5
A
  
      
 b)
2 3 6 8 16
;
2 3 4
B
   

 
c) 6 2 5 13 48 .D     
 Bài 4. Cho biểu thức 
1 1 1 1
:
1 21 1
a
P
aa a a
  
          
a) Rút gọn P ; b) Tính P biết 
1
4
a  ; c) Tìm a để P nhận giá trị nguyên. 
Bài 5. Cho biểu thức 
3
1 2
x
P
x


 
a) Rút gọn P ; b) Tính giá trị của P với  4 2 3x   ; c) Tính giá trị nhỏ nhất của P . 
Bài 6. Xét biểu thức 
2 2
1
1
a a a a
A
a a a
 
  
 
a) Rút gọn A ; b) Biết 1a  , hãy so sánh A với A ; c) Tìm a để 2;A  d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A . 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
2 
Bài 7. Cho biểu thức 
2 2 2 2 2 2
1 :
a a b
M
a b a b a a b
 
   
    
. 
a) Rút gọn M; b) Tính giá trị của M với 
3
2
a
b
 ; c) Tìm điều kiện của ,a b để M < 1. 
Bài 8. Cho biểu thức 
1 2
1 : .
1 1 1
a a
A
a a a a a a
   
               
a) Rút gọn A ; b) Tìm các giá trị của a sao cho 1A ; c) Tính giá trị của A khi 
2013 2 2012a   . 
Bài 9. Cho biểu thức 
2 1 1
1: .
11 1
x x x
A
xx x x x
   
       
a) Rút gọn A ; b) So sánh A với 1. 
Bài 10. Cho biểu thức 
 2 2 11 1
: .
1
x xx x x x
B
xx x x x
   
      
a) Rút gọn B ; b) Tìm x để 0B  ; c) Tìm x để B . 
II. Hàm số và đồ thị 
1. Hàm số bậc nhất 
Bài 1. Cho hàm số  4 6y m x m    , ( m là tham số thực ). 
a) Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến, nghịch biến; 
b) Tìm m biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm  1;2A  . Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được; 
c) Chứng tỏ với m vừa tìm được thì đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 2. Cho hai đường thẳng    2: 2 2; ' : 2 1d y m x d y m m x      . 
a) Hai đường thẳng , 'd d có trùng nhau không ? 
b) Tìm các giá trị của m để d song với 'd . 
Bài 3. Cho ba đường thẳng 1 2 3: 2 3; : 3 2; : 5.d y x d y x d y kx k        Tìm k để 1 2 3, ,d d d đồng quy. 
Bài 4. Cho ba đường thẳng      1 2 3: 1; : 1; : 1 1 1, 1 .d x y d x y d k x k y k k          
a) Xác định k để 1 3d d 
b) Tìm k để 1 2 3, ,d d d đồng quy. 
Bài 5. Cho hàm số 7y ax  . Xác định a biết: 
a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng 3 3y x  ; 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
3 
b) Khi 1 5x   thì 5 6y   ; 
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm  2;3A  . 
Bài 6. Cho hàm số y ax b  . Xác định ,a b biết: 
a) Đồ thị hàm số đi qua    2;0 , 0; 1M N  ; 
b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng 3 1y x  , đi qua điểm  2;3P . 
Bài 7. Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm      2;3 , 1; 3 , 0; 1A B C   . 
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ,A B ; 
b) Chứng minh , ,A B C thẳng hàng. 
Bài 8. Cho ba đường thẳng 1 2
1
: 2 2; : 2
2
d y x d y x

    . 
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ; 
b) Gọi 1 2 1 2, ,A d oy B d ox C d d      . Xác định tọa độ các điểm , ,A B C . 
Tính chu vi, diện tích, các góc của ABC . 
2. Hàm số bậc hai 
Bài 1. Cho hàm số  2 26 12y m m x   . 
a) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; 
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm  1;5A . 
 Bài 1. Cho Parabol   2: 2P y x . 
a) Vẽ  P ; 
b) Tìm giá trị của ,a b để đường thẳng :d y ax b  tiếp xúc với  P và đi qua điểm  0; 2A  ; 
c) Tìm đường thẳng 1d tiếp xúc với  P và đi qua điểm  1;2B ; 
d) Tìm giao điểm của  P với đường thẳng 2 1y x  . 
 Bài 2. Cho Parabol  
2
:
4
x
P y

 và đường thẳng :d y x m  
e) Vẽ  P ; 
f) Biện luận theo m số giao điểm của  P và d ; 
g) Xác định m để đường thẳng 1d song song với d và cắt  P tại điểm có hoành độ là -4; 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
4 
h) Xác định m để đường thẳng 2 1d d và đi qua giao điểm của 1d và  P . 
Bài 3. Cho Parabol   2:P y x và đường thẳng :d y x m  
 Xác định m để  P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho độ dài 3 2AB  . 
Bài 4. Cho Parabol   2:P y x và đường thẳng : 2d y mx  . Gọi ,A B là các giao điểm của  P và 
d .Xác định m để độ dài AB nhỏ nhất. 
Bài 5. Cho    2 2: 2 2 3P y x m x m m     và đường thẳng   :d y x  . 
a) Chứng minh  d luôn cắt  P ; 
b) Giả sử  d luôn  P tại M, N. Tìm tọa độ M, N; 
c) Chứng minh độ dài MN không đổi. 
III. Phương trình bậc hai và định lí Viet. 
Bài 1. Gọi 1 2,x x là các nghiệm của phương trình 
2 3 7 0.x x   Tính: 
a) 2 21 2 ;A x x  c) 1 2 ;C x x  e) 
3 3
1 2 ;E x x  
b) 
1 2
1 1
;
1 1
B
x x
 
 
 d)    1 2 2 13 . 3 ;D x x x x   f) 
4 4
1 2 .F x x  
Bài 2. Chứng minh rằng 1 2,x x là các nghiệm của phương trình 
2 0,( 0)ax bx c a    thì 
  2 1 2ax bx c a x x x x     
Bài 3. Cho phương trình  2 2 1 0.x m x m    
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm 1 2,x x với mọi m ; 
b) Với 0,m  lập phương trình ẩn y thỏa mãn 1 1 2 2
2 1
1 1
; .y x y x
x x
    
Bài 4. Cho phương trình  2 2 1 4 0.x m x m     
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu; 
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ; 
c) Chứng minh rằng biểu thức    1 2 2 11 1M x x x x    không phụ thuộc vào m . 
Bài 5. Tìm m để phương trình : 
a)  2 2 1 0x x m    có hai nghiệm dương phân biệt; 
b)  23 2 2 1 0mx m x m    có hai nghiệm âm; 
c)    2 21 2 1 2 1 0m x m x m      có hai nghiệm trái dấu; 
d)  23 4 2 1 0x x m    có hai nghiệm phân biệt < 2; 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
5 
e) 2 1 0x mx   có ít nhất 1 nghiệm 2. 
Bài 6. Cho phương trình  2 22 1 3 0.x m x m     
a) Giải phương trình với 1;m   
b) Tìm m để phương trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia. 
Bài 7. Cho phương trình  2 4 3 3 0.x m x m     
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại; 
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 
3 3
1 2 0.x x  
Bài 8. Cho phương trình   21 2 2 0.m x mx m     
a) Giải phương trình khi 1;m  
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm. 
Bài 9. Cho phương trình  2 2 1 4 0.x m x m    
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó; 
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tìm nghiệm còn lại; 
c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu); 
d) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương ( cùng âm); 
e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia; 
f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 22 2;x x   
g) Xác định m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x sao cho 
2 2
1 2 1 22 2A x x x x   nhận giá trị nhỏ nhất. 
Bài 10. Cho phương trình  2 3 2 1 0.x m x m     
a) Giải phương trình với 1;m  
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x sao cho 1 2P x x  đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá 
trị nhỏ nhất. 
Bài 11. Cho phương trình bậc hai 2 1 0.x mx m    Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2,x x sao cho 
 
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
Q
x x x x


  
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
Bài 12. Cho   2:P y x và đường thẳng   2: 3d y x m  . 
a) Chứng minh rằng d và  P luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt; 
b) Có 1 2,y y là tung độ các giao điểm của  d và  P Tìm m để 1 2 1 211y y y y  . 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
6 
IV. Phương trình – Hệ phương trình. 
1. Phương trình 
Bài 1. Giải các phương trình sau đây: (Phương trình quy về bậc hai) 
a) 4 3 210 25 36 0x x x    b) 4 29 24 16 0x x x    c) 4 217 52 0x x   d) 4 23 22 45 0x x   ;
 e)  
2
2 24 4 12 0x x x x     f) 2 22 3 0x x x x     g)    
2
2 23 2 3 1 5 2 3 3 24 0x x x x       
 h) 2 23 5 3 7x x x x     i) 3 28 20 28 10 0x x x    k)  
2
4 22 4 1x x x   . 
Bài 2. Giải các phương trình sau đây:(Phương trình chứa ẩn ở mẫu) 
 a) 2;
1 2
x x
x x
 
 
 b) 2
2
21
4 6 0;
4 10
x x
x x
   
 
 c) 2
2
1 1
4 16 23 0x x
x x
   
       
   
; 
 d) 
2
1 1 2 1
1
x x
x x x x
 
 
 
; e) 
2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
x x
x x x x
 
   
 f)
2
2
5 3
4 0
5
x x x
x x x
 
  
 
g) 
2 2
2 2
2 3 2 2
8
9 3 2
x x x
x x x
  
 
  
. 
Bài 3. Giải các phương trình sau đây:(Phương trình đối xứng bậc chẵn, lẻ) 
a) 4 3 210 27 110 27 10 0x x x x     b) 4 3 210 11 10 1 0x x x x     
c) 5 4 3 22 3 5 5 3 2 0x x x x x      d) 5 4 3 22 3 3 2 1 0x x x x x      . 
Bài 4. Giải các phương trình : ( Dạng     x a x b x c x d m     với a d b c   ) 
a)     1 3 5 7 15x x x x     b)     4 5 7 8 4x x x x     
c)      210 12 15 18 2x x x x x     d)      22 3 8 12 4x x x x x     . 
Bài 5. Giải các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 
a) 21 3x x x    ; b) 22 2 1 2 3x x x x      ; b) 2 21 4 4 3x x x x     . 
Bài 6. Giải các phương trình : ( Dạng    
4 4
x a x b c    ) 
a)    
4 4
3 1 626x x    b)    
4 4
6 4 626x x    
Bài 7. Giải các phương trình : 
a) 
5 1
15 15 2 15 ;
3 3
x x x   b) 3 31 7 2x x    ; c ) 4 12x x  ; 
 d) 29 24 16 4x x x     e) 1 7 12x x x     f)  2 22 2 3 9 3 11x x x x     
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
7 
g)  3 25 1 2 2x x   h) 2 10 21 3 3 2 7 6x x x x       i) 2 25 6 7x x    . 
Bài 8. Giải các phương trình : 
 a) 3 345 16 1x x    ; b) 3 3 31 2 2 3x x x     c) 2 24 4 8 16 5x x x x      
 d) 4 1 3 6 1 8 1x x x x        e)   1 3 1 3 2x x x x       ; 
 f) 3 2 33 20x x  g)   21 2 1 1 1 3 1x x x x x         h) 2 24 4 3 5 14x x x x     . 
2. Hệ phương trình 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau đây: 
a) 
4 3 5
;
4 6
x y
x y
 

 
 b) 
1 1 3
4
;
1 1 2
6 5 15
x y
x y

 


  

 c)
3 1
17
;
2 5
2
x x y
x x y

  

  
 
 d) 
2 5 27
5 2
3 4
1 6 5
3 7
y x y
x
x y x
y
 
  

   

e) 
3 2 4 2 3
2 2 2 1
x y
x y
    

   
 f) 
1
2 3 7
x y
x y
  

 
 g) 
1 3
7
1 2
2 5
4
1 2
x y
x y
x y

   

  
  
 h) 
2 2
5 1 3 2 7
2 4 8 4 5 4 4 13
x y
x x y y
    

     
. 
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau đây: 
a) 
2
1 0
;
3 0
x y
x xy
  

  
 b) 
2 2
2 2
4 4 8 0
;
4 4 8 0
x y x y
x y x y
     

    
 c)
2
2 2 0
;
2 0
x y
y x
  

 
 d) 
   
2
2 2
3 1
.2
2 3
3
x y x y xy
x y x y
      


    

Bài 3. Cho hệ phương trình: 
2
3 5
mx y
x my
 

 
 ( m là tham số). 
a) Giải hệ phương trình khi 1m  ; b) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm thoả mãn: 
2
2
1
3
m
x y
m
   

Bài 4. Cho hệ phương trình 
4 10
4
mx y m
x my
  

 
 ( m là tham số). 
a) Giải hệ khi 2m  ; b) Giải và biện luận theo m ; 
c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm  ;x y thỏa mãn: 0, 0x y  ; 
d) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất  ;x y sao cho 2 2S x y  đạt giá trị nhỏ nhất. 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
8 
Bài 5. Cho hệ phương trình 
 1 3 1
2 5
m x my m
x y m
   

  
( m là tham số). 
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m ; 
b) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất  ;x y thỏa mãn: 0, 0x y  ; 
c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất  ;x y sao cho 2 2P x y  đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 6. Cho hệ phương trình 
2
2 1
x my
mx y
 

 
( m là tham số). 
a) Với nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất  ;x y thỏa mãn: 0, 0x y  ; 
b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà S x y  đạt GTLN. 
Bài 7. Cho hệ phương trình 
2 2
2 2
6
x xy y m
x xy y m
  

   
. 
a) Giải hệ phương trình với 1m  ; b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
V. Bất đẳng thức. 
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
2 1
1
A
x x
 

 với 0 1x  . 
Bài 2. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
4( ) ( )( )( ) .xy yz zx x y y z z x x y y z z x           
 
Bài 3. Cho các số thực x, y thoả mãn x > y > 0 và 2 2 6 .x y xy  Tính giá trị của biểu thức: 
x y
P
x y



. 
Bài 4. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 1ab bc ca   . Chứng minh rằng: 
22 2 2 2 2 2
1 1 1 9
( )a b ca ab b b bc c c ca a
  
      
Bài 5. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 
9
4
abc  . Chứng minh rằng: 
3 3 3a b c a b c b c a c a b        
Bài 6. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
1 1
1 2( )
P
abc ab bc ca
 
  
. 
Bài 7. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh: 
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
9 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
ab c bc a ca b
ab bc ca
ab c bc a ca b
  
     
     
Bài 8. Cho phương trình  2 0 0ax bx c a    có hai nghiệm thuộc đoạn  0;2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
2 2
2
8 6
4 2
a ab b
P
a ab ac
 

 
. 
Bài 9. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d-¬ng vµ tÝch xyz = 1. Chøng minh 
r»ng:
1 1 1
1
x y 1 y z 1 x z 1
  
     
. 
Bài 10. Cho  , , 0;1x y z và 
3
2
x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2.P x y z   
Bài 11.Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 3 34( ) 15P a b c abc    . 
Bài 12.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 4a b c   . Chứng minh rằng: 3 3 34 4 4 2 2a b c   . 
Bài 13.Cho các số thực ,x y thỏa mãn 
2 2 1x y  . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
23M xy y  . 
Bài 14.Cho , , ,a b c d là các số thực. Chứng minh rằng  2 2 2 2a b c d a b c d      . Dấu đẳng thức xảy ra ? 
Bài 15. Cho , 0; 1a b a b   . Chứng minh 
1 1 4
1 1 3a b
 
 
. 
Bài 16. Chứng minh 2 2 2 3 2( ), , , .x y z x y z x y z        
Bài 17. Cho , 0x y  thỏa mãn 
7
2
x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
18 1
.
2
K
x y
  
Bài 18. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 
3
4
a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức
3 3 3
1 1 1
.
3 3 3
P
a b b c c a
  
  
Bài 19. Cho , , 0a b c  thỏa mãn 1a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
.
ab bc ca
P
c ab a bc b ca
  
  
Bài 20. Cho , , 0a b c  thỏa 3ab bc ca   .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
.
3 3 3
ab bc ca
P
c a b
  
  
Trường THPT Liễn Sơn Giáo viên: Trần Quyết 
10 
B. Hình Học 
1. Tam giác 
Bài 1. Cho hình vuông , , ,ABCD E BC AI AE I DC   . Gọi K là trung điểm của IE . 
a) Chứng minh ABE ADI  ; b) Tính CDK 
Bài 2. Cho , , ,ABC AB AC E AC D AB    sao cho ,AD AE K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: 
;BE CD KBD KCE    . 
Bài 3. Cho hình vuông ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của , ,AB BC I DN CM  . Chứng minh 
MC DN . 
Bài 4.Cho tam giác , 20 , 15 , 25ABC AC cm BC cm AB cm    . 
 a) Tính độ dài đường cao CH của ABC ; b) Gọi CD là phân giác trong của ACH . Chứng minh BCD cân; 
c) Chứng minh: 2 2 2 2 2 23 2BC CD BD CH BH DH     . 
Bài 5. Cho tam giác ,ABC M là trung điểm của BC , trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA . 
a) Chứng minh AC BE ; b) , ,I AC K BE IA EK   . Chứng minh , ,I M K thẳng hàng. 
Bài 6. Cho tam giác ,ABC vuông tại A , BD là phân giác trong góc ABC . Trên BC lấy điểm E sao cho 
BE BA . Chứng minh:  
1
a) ; b) ; c)
2
AD DE ABD EDC AE BD   . 
Bài 7. Cho tam giác ,ABC AB AC  , BN là phân giác trong góc ABC . Gọi O là giao điểm của 3 đường phân 
giác trong, từ A kẻ tia vuông góc với BN cắt BC tại H . Chứng minh  AOC AHC . 
Bài 8. Cho tam giác ,ABC trung tuyến BM ,G là trọng tâm, K BM sao cho 
2
GK
MK  . Gọi N là trung 
điểm của CK ; I GN AC  . 
a) Chứng minh rằng 
1
3
CI AC ; b) ,P AG BC Q KP CG    . Chứng minh , ,B Q N thẳng hàng. 
Bài 9. Cho tam giác ,ABC vẽ ABD vuông cân tại B ,hai điểm ,A D khác phía so với BC . BCG vuông cân 
tại B , hai điểm ,C G khác phía so với AB . Chứng minh GA DC . 
Bài 10. Cho tam giác ,ABC vuông tại A , đường cao AH , ,D E lần lượt là trung điểm của ,BH AH . Chứng 
minh CI AD . 
Các bài toán về Hình thang, Hình bình hành, Hình chữ nhật, Hình thoi, Hình vuông, 
Đường tròn, Bài toán tổng hợp thầy sẽ gửi vào tuần tới! 
Các em học sinh lưu ý: Các dạng bài tập thầy soạn là nền tảng để các em có thể học tốt 
chương trình Toán lớp 10. Thầy đề nghị các em ôn tập thật nghiêm túc để đạt kết quả cao.