Ôn học sinh giỏi môn Hình học 8

TỨ GIÁC:
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối BA lấy 1 điểm E, trờn tia đối của CB lấy 1 điểm F sao cho EA = FC.
Chứng minh rằng tam giỏc FED vuụng cõn.
Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD, gọi I là Trung điểm FE. Chứng minh rằng O,C,I thẳng hàng 
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. (AC>AB),Đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ cú chứa AH vẽ hỡnh vuụng AHKE.
 Chứng minh rằng > 450.
Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giỏc ABP vuụng cõn.
Gọi Q là đỉnh thứ tư của Cho hỡnh bỡnh hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh rằng H,I,E thẳng hàng.
Chứng minh rằng HE//QK
Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh BC lấy 1 điểm tựy ý. Đường thẳng vuụng gúc với AM tại M cắt CD tại E và AB tại F. Chứng minh rằng MA = FE
Cho hỡnh vuụng ABCD; điểm E thuộc cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC. Biết = 450 .Chứng minh rằng chu vi tam giỏc CFE bằng nửa chu vi hỡnh vuụng ABCD 
Cho hỡnh vuụng ABCD; điểm E thuộc cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC sao cho chu vi tam giỏc CFE bằng nửa chu vi hỡnh vuụng ABCD . Chứng minh rằng = 450
Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú đỏy CD = 9 cm,AB = 4 cm,cạnh xiờn BC = 13 cm. Trờn cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Đường thẳng vuụng gúc với BC tại M cắt AD tại N.
Chứng minh rằng : điểm N nằm trờn tia phõn giỏc gúc ABM.
Chứng minh rằng : BC2 = BN2 + ND2 + DC2
Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD 
 Cho cỏc điểm E và F nằm trờn cỏc cạnh AB và BC của hỡnh bỡnh hành ABCD sao cho FA = EC. Gọi I là giao điểm của FA và EC. Chứng minh rằng ID là phõn giỏc của 
Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc B tự . Kẻ BM và BN lần lượt vuụng gúc với cỏc cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng . Tớnh cỏc gúc hỡnh thoi
Cho hỡnh thang ABCD cú độ dài 2 đỏy là AB = 5 cm và CD = 15 cm, độ dài 2 đường chộo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Chứng minh rằng ACE là tam giỏc vuụng tại A.
Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD.
Ở bờn ngoài hỡnh bỡnh hành ABCD vẽ 2 hỡnh vuụng ABEF và ADGH .Chứng minh :
AC = FH; AC ^ FH.
CEG là tam giỏc vuụng cõn. 
Cho tam giỏc ABC cú BC = a và đường cao AH = h.Từ một điểm trờn AH vẽ đườnh thẳng song song với BC cắt AB và AC tại P và Q.Vẽ và QR vuụng gúc với BC.
a.Tớnh diện tớch PQRS theo a, h, x (AM = x).
b.Xỏc định vị trớ M trờn AH để diện tớch này lớn nhất?
Cho tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại O.Kớ hiệu S là diện tớch. Cho SAOB = a2 ;   SCOD = b2 với a , b là 2 số cho trước.Hóy tỡm GTNN của SABCD?
Cho tam giỏc ABC cõn tại A với A là gúc nhọn; CD là đường phõn giỏc gúc ACB, Qua D kẻ đường thẳng vuụng gúc với CD; đường nay cắt đường thẳng CB tại E , Chứng minh rằng BD = EC
Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. điểm M di động trờn cạnh AB; N di động trờn cạnh AD sao cho chu vi tam giỏc AMN khụng đổi và bằng 2a.Xỏc định vị trớ của MN để diện tớch tam giỏc CMN đạt giỏ trị lớn nhất và tớnh giỏ trị lớn nhất đú 
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A.Lấy điểm M tựy ý trờn cạnh AC. Kẻ tia Ax vuụng gúc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứngvới C qua H. Kẻ tia Ky vuụng gúc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tớnh 
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cỏc tia đối của CB và DC, lấy cỏc điểm M,N sao cho DN =BM. Cỏc đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F . Chứng minh rằng :
Tứ giỏc ANFM là hỡnh vuụng.
Điểm F nằm trờn tia phõn giỏc của gúc MCN và gúc FCA = 900 
Ba điểm B,O,D thẳng hàng và tứ giỏc BOFC là hỡnh thang ( O là trung điểm FA) 
Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh CD, lấy M bất kỡ. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F . Chứng minh rằng MA FE
Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 300.Dựng bờn ngoài tam giỏc đều BCD. Chứng minh rằng AD2 = AB2 + AC2
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hỡnh chiếu vuụng gúc của H trờn cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng AO BI 
Cho tam giỏc ABC cõn tại A, lấy cỏc điểm E và K lần lượt trờn cỏc tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng EK > BC
Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD) cú AC = 6cm; = 450. O là giao điểm của 2 đường chộo.Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD
 Cho tứ giỏc lồi ABCD. Qua trung điểm của đường chộo BD dựng đường thẳng song song với đường chộo. AC , đường thẳng này cắt đoạn thẳng AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giỏc thành 2 phần cú diện tớch bằng nhau
Cỏc đường chộo của tứ giỏc lồi ABCD vuụng gúc với nhau. Qua Trung điểm cỏc cạnh AB và AD kẻ những đường vuụng gúc theo thứ tự với cỏc cạnh CD và CB. Chứng minh rằng 2 đường thẳng vuụng gúc này và đường thẳng AC đồng quy
Cho tam giỏc ABC cú BC = 15 cm,AC = 20 cm, AB = 25 .
Tớnh độ dài đường cao CH của tam giỏc ABC .
Gọi CD là dường phõn giỏc của tam giỏc ACH Chứng minh rằng tam giỏc BCD cõn.
Chứng minh rằng BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 +DH2 
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn và M là điểm nằm trờn cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. Xỏc định vị trớ của điểm M trờn BC để tống BE + CF lớn nhất
Cho tam giỏc ABC . Trờn AB lấy điểm D sao cho BD = 3 DA. Trờn CB lấy điểm E sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD .Chứng minh rằng FD = FC
Trong tất cả cỏc hỡnh chữ nhật cú chiều dài đường chộo khụng đổi d,hóy tỡm hỡnh cú diện tớch lớn nhất?
Trờn cạnh AB của hỡnh vuụng ABCD ,ngưũi ta lấy điểm E tựy ý . Tia phõn giỏc của gúc CDE cắt BC tại K. Chứng minh rằng AE + KC = DE
Cho hỡnh chữ nhật ABCD,kẻ BH ^ AC tại H.Gọi M và K lần lượt là trung điểm AH và CD. Chứng minh BM ^ MK
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG - ĐỊNH LÍ TA LẫT
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD (AC>BD). Vẽ CEAB và FC AD. Chứng minh rằng : AB.AE + AD.AF = AC2
Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh là a. Gọi M,N lần lượt là Trung điểm của AB và BC . Cỏc đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I . Chứng minh rằng :
tam giỏc CIN vuụng 
Tớnh diện tớch tam giỏc CIN theo a.
Tam giỏc AID cõn.
Cho hỡnh thang ABCD (BC//AD) với = . Tớnh độ dài đường chộo AC, biết rằng 2 đỏy BC và AD theo thứ tự cú độ dài 12m, 27m.
Cho tam giỏc ABC , M là Trung điểm của cạnh BC. Từ 1 điểm E trờn cạnh BC ta kẻ Ex//AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.Chứng minh rằng :FE + EG = 2 AM
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD ,trờn Đường chộo AC lấy I. Tia DI cắt đường thẳng AB tại M,cắt đường thẳng BC tại N. 
a. Chứng minh rằng : 
b.Chứng minh rằng ID2= IM.IN 
Cho tam giỏc ABC , đường phõn giỏc trong của C cắt cạnh AB tại D. Chứng minh rằng CD2 < CA.CB
Cho tam giỏc ABC , BD và CE là 2 đường cao của tam giỏc ABC . DF và EG là 2 đường cao của tam giỏc ADE. Chứng minh rằng 
Hai tam giỏc ADE và ABC đồng dạng.
FG//BC
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD với đường chộo AC > BD. Gọi E và F lần lượt là chõn đường vuụng gúc kẻ từ C đến cỏc đường thẳng AB và AD; gọi G là chõn dường vuụng gúc kẻ từ B đến AC.
Chứng minh rằng 2 tam giỏc CBG và ACF đồng dạng 
Chứng minh rằng : AB.AE + AD .AF = AC2
Cho tam giỏc ABC (AB < AC). Hai Đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
 So sỏnh và 
So sỏnh 2 đoạn thẳng BD và CE.
Chứng minh rằng 2 tam giỏc ADE và tam giỏc ABC đồng dạng
Cho hỡnh thang ABCD cú đỏy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chộo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC ở P. Chứng minh rằng MP//DC
Trong tam giỏc ABC Kẻ trung tuyến AM. K là 1 điểm trờn AM sao cho:, BK cắt AC tại N.
 Tớnh diện tớch tam giỏc AKN, biết diện tớch tam giỏc ABC là S.
Một đường thẳng qua K cắt cỏc cạnh AB và AC lần lượt tại I và J. Chứng minh rằng .
Lấy 1 điểm O trong tam giỏc ABC. Cỏc tia AO,BO,CO cắt BC,AC,AB lần lượt tại P,Q,R. Chứng minh rằng :
Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về 1 phớa AB cỏc tia Ax và By vuụng gúc với AB. Lấy C trờn Ax, D trờn By sao cho gúc COD = 900 .
Chứng minh rằng tam giỏc ACO đồng dạng với tam giỏc BDO.
Chứng minh rằng CD = AC + BD.
Kẻ OM vuụng gúc CD tại M, gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh rằng MN//AC
Cho tam giỏc ABC với AB = 5 cm,AC = 6 cm BC = 7 . Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC , O là giao điểm của 2 tia phõn giỏc trong của tam giỏc ABC . Chứng minh rằng GO//AC
Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = , trờn tia đối của tia CD lấy N sao cho CN = . I là giao điểm của tia AM và BN. Chứng minh rằng 5 điểm A,B,I,C,D cựng cỏch đều 1 điểm 
Cho tam giỏc ABC ,trung tuyến CM, Qua điểm Q trờn AB vẽ đường thẳng d song song với CM, Đường thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh nếu QA.QB = QP.QR thỡ tam giỏc ABC vuụng tại C 
Trờn cỏc cạnh AB.BC.CA của D ABC cục định lấy M,N,P sao cho: = = = k (k>0).
 a.Tớnh SD MNP theo SD ABC  và theo k
 b. Tớnh k sao cho SD MNP đạt giỏ trị nhỏ nhất? 
Cho tam giỏc ABC (AB=AC) cú gúc ở đỉnh bằng 200; cạnh đỏy là a ; cạnh bờn là b . Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2
Cho 4 điểm A,E,F,B theothứ tự ấy trờn 1 đường thẳng . Trờn cựng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng ABCD ; FGHE.
Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng cỏc tam giỏc OHE và OBC đồng dạng .
Chứng minh rằng cỏc đường thẳng CE và FD cựng đi qua O.
Cho tam giỏc ABC cú AB = 4,BC = 6,CA = 8. Cỏc đường phõn giỏc trong AD và BE cắt nhau tại I.
Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng BD và CD. 
Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC . Chứng minh rằng IG//BC suy ra độ dài IG 
Cho DABC cú Â = 300. Dựng bờn ngoài D BCD đều. Chứng minh AD2 = AB2 + AC2.(Bài 18-giải theo cỏch khỏc)
Cho hỡnh vuụng ABCD , trờn BC lấy M sao cho : . Trờn tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho . Cạnh AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại K . Gọi H là hỡnh chiếu của M trờn AC. Chứng minh rằng K,M,H thẳng hàng.
Cho hỡnh thang ABCD cú 2 đỏy là AB = 2a; CD = a. Hóy xỏc định vị trớ điểm M trờn đường thẳng CD sao cho Đường thẳng AM chia hỡnh thang thành 2 phần cú diện tớch bằng nhau.
Cho tam giỏc ABC (BC<AB). Từ C vẽ dường vuụng gúc với phõn giỏc BE tại F và cắt AB tại K; vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G . Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của GE
Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc = 600 . Gọi M là 1 điểm thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N.
Chứng minh AB2 = DM.BN.
BM cắt DN tại P . Tớnh 
Cho DABC,điểm M nằm trờn cạnh BC,Chứng minh : MA.BC < MC.AB + MB.AC.
Cho tam giỏc ABC cõn tại A ( < 900 ).Từ B kẻ BM vuụng gúc với AC. Chứng minh rằng : .
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O. Gọi M,N lầnlượt là Trung điểm của BO,AO. lấy điểm F trờn cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng :
	a. 
 b. 
Cho tam giỏc ABC (AB=BC). Trờn cạnh AC chọn điểm K nằm giữa A và C. Trờn tia đối của tia CA lấy E sao cho : CE = AK. Chứng minh :BK + BE > BA + BC
Cho tam giỏc ABC đều. Gọi M là 1 điểm bất kỳ nằm trong tam giỏc . Chứng minh rằng tống cỏc khoảng cỏch từ M đến 3 cạnh của tam giỏc cú giỏ trị khụng đổi khi M thay đổi vị trớ trong tam giỏc 
Cho tam giỏc ABC , qua 1 điểm O tựy ý trong tam giỏc , ta kẻ cỏc đường AO,BO,CO cắt BC,CN,AB lần lượt tại M,N, và P. Chứng minh rằng : 
Cho D ABC cú 2 đường cao BD và CE. Chứng minh 	 = 
Cho D ABC cú 2 đường phõn giỏc AD.Chứng minh : AD2= AB.AC - DB.DC
Cho tam giỏc ABC( < 900 ). Bờn ngoài tam giỏc dựng cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFG. Dựng hỡnh bỡnh hành AEIG. Chứng minh rằng .
	a. ABC = GIA CI = BF.
 b. Ba đường thẳng AI,BF,CD đồng quy
Cho tam giỏc ABC , gọi D là Trung điểm AB. Trờn cạnhAC lấy điểm E sao cho AE = 2EC. Gọi O là giao điểm của CD và BE. Chứng minh rằng 
Diện tớch tam giỏc BOC = Diện tớch tam giỏc AOC.
BO = 3EO.
Cho tam giỏc ABC . Một đường thẳng song song với BC cắt AC tại E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng SC2= SE.SA
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Trờn cạnh AB và CD lần lượt lấy cỏc điểm M và K sao cho AM = CK. Trờn AD lấy điểm P tựy ý. Đoạn thẳng MK lần lượt cắt PB và PC tại E và F . Chứng minh rằng SFEP = SBME + SCKF 
Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỡ thuộc đoạn AC. Tia Bx AC. Trờn tia Bx lần lượt lấy cỏc điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC.
Chứng minh rằng CD = AE và CD AE.
Gọi M, N lần lượt là Trung điểm của AE, CD. Gọi I là Trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cỏch từ điểm I đến AC khụng đổi khi B di chuyển trờn đoạn AC.
Tỡm vị trớ của điểm B trờn đoạn AC sao cho tổng diện tớch 2 tam giỏc ABE và BCD cú giỏ trị lớn nhất . Tỡm giỏ trị lớn nhất này theo m
Cho hỡnh vuụng ABCD.Trờn cạnh AB lấy M.Vẽ BH vuụng gúc với CM.Nối DH.
Vẽ HN ^DH. Chứng minh :
D DHC ∽ D NHB
AM.NB = NC.MB
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Gọi M,N là Trung điểm của BC,AD, Gọi K là điểm nằm giữa C và D. Gọi P,Q theo thứ tự là cỏc điểm đổi xứng của K qua tõm M và N.
Chứng minh rằng Q,P,A,B thẳng hàng.
Gọi G là giao điểm của PN và QM. Chứng minh rằng GK luụn đi qua điểm I cố định khi K thay đổi trờn đoạn CD
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Về phớa ngoài của tam giỏc ta vẽ cỏc hỡnh vuụng ABDE và ACGH.
Chứng minh rằng BCHE là hỡnh thang cõn.
Kẻ đường cao AK của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng cỏc đường thẳng AK, DE, GH đồng quy
Cho tứ giỏc ABCD. Đường thẳng qua A song song với BC, cắt BD tại P và đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại Q.Chứng minh PQ//CD
Cho tam giỏc ABC . Trờn cạnh BC,CN lần lượt lấy cỏc điểm M,N,P. lần lượt đặt diện tớch cỏc tam giỏc ANP,MBP,MNC,ABC, là S1,S2,S3,S.
Chứng minh: 
Chứng minh: S1.S2.S3 
Cho tứ giỏc ABCD cú AC = 10 cm, BD = 12 Chứng minh. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại O, biết = 300.Tớnh diện tớch tứ giỏc ABCD
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú đường phõn giỏc BD cắt đường cao AH tại I.
Chứng minh tam giỏc ADI cõn.
Chứng minh AD.BD = BI.DC.
Từ D kẻ DK BC tại K. tứ giỏc ADKI là hỡnh gỡ?
Hướng dẫn giải
phần tứ giác
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn tia đối BA lấy 1 điểm E, trờn tia đối của CB lấy 1 điểm F sao cho EA = FC.
Chứng minh rằng tam giỏc FED vuụng cõn.
b. Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD, gọi I là Trung điểm FE. Chứng minh rằng O,C,I thẳng hàng
HD: a/ C/m : DADE = DCDF 
ị DE = DF ; 
 b/ C/m : OB = OD; CB = CD; IB = ID
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. (AC>AB),Đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ cú chứa AH vẽ hỡnh vuụng AHKE.
 Chứng minh rằng > 450.
Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giỏc ABP vuụng cõn.
Gọi Q là đỉnh thứ tư của Cho hỡnh bỡnh hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh rằng H,I,E thẳng hàng.
Chứng minh rằng HE//QK
HD:
b.C/m : DAHB = DAEP
c.C/m : ABQP là hình vuụng
H; I ;K cách đờ̀u AK
d. C/m DAQK vuụng ( Tính chṍt t/tuyờ́n = ẵ cạnh)
Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh BC lấy 1 điểm tựy ý. Đường thẳng vuụng gúc với AM tại M cắt CD tại E và AB tại F. Chứng minh rằng MA = FE
HD:
Kẻ EG // BC.C/m : DAME= DEGF.
Cho hỡnh vuụng ABCD; điểm E thuộc cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC. Biết = 450 .Chứng minh rằng chu vi tam giỏc CFE bằng nửa chu vi hỡnh vuụng ABCD 
HD GIẢI:
Lṍy ID = BE.C/m EF = IF 
Cho hỡnh vuụng ABCD; điểm E thuộc cạnh BC,điểm F thuộc cạnh CD sao cho chu vi tam giỏc CFE bằng nửa chu vi hỡnh vuụng ABCD . Chứng minh rằng = 450 . 
HD :
C/m : DAID = DAEB;DAIF = DAEF
 Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú đỏy CD = 9 cm,AB = 4 cm,cạnh xiờn BC = 13 cm. Trờn cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Đường thẳng vuụng gúc với BC tại M cắt AD tại N.
Chứng minh rằng : điểm N nằm trờn tia phõn giỏc gúc ABM.
Chứng minh rằng : BC2 = BN2 + ND2 + DC2
Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD 
HD :
b.C/m N nằm trờn tia p/g ị DBNC vuụng
c.Tính BH = 12cm
Cho cỏc điểm E và F nằm trờn cỏc cạnh AB và BC của Cho hỡnh bỡnh hành ABCD sao cho FA = EC. Gọi I là giao điểm của FA và EC. Chứng minh rằng ID là phõn giỏc của gúc AIC 
HD: SDAFD = SDCED = SABCD ị DH = DK
Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc B tự . Kẻ BM và BN lần lượt vuụng gúc với cỏc cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng . Tớnh cỏc gúc hỡnh thoi
 HD: DIMN đều ị = 300 ị = 750 ị = 1500 
Cho hỡnh thang ABCD cú độ dài 2 đỏy là AB = 5 cm và CD = 15 cm, độ dài 2 đường chộo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Chứng minh rằng ACE là tam giỏc vuụng tại A.
Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD.
HD:
 a.Tớnh AE ; CE ,sử dụng định lớ PItago đảo
 b. 3 tam giỏc AED; ADB;ACB cú cựng diện tớch ị SABCD = SDCAE
Ở bờn ngoài hỡnh bỡnh hành ABCD vẽ 2 hỡnh vuụng ABEF và ADGH .Chứng minh :
AC = FH; AC ^ FH.
CEG là tam giỏc vuụng cõn. 
HD: a.DACB = DFHA (c-g-c) 
 b.DGDC = DCBE (c-g-c) .Dựa vào t/c 2 gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc (đảo)
Cho tam giỏc ABC cú BC = a và đường cao AH = h.Từ một điểm M trờn AH vẽ đườnh thẳng song song với BC cắt AB và AC tại P và Q.Vẽ và QR vuụng gúc với BC.
a.Tớnh diện tớch PQRS theo a, h, x (AM = x).
b.Xỏc định vị trớ M trờn AH để diện tớch này lớn nhất?
HD: a.SABC = SDAPQ + SBPQC (Đặt PQ = y)
 ị y = ị SPQRS = x.(h - x)
b.x + (h - x) = h (khụng đổi) ị x.(h - x) lớn nhất khi x = h - x ị x = 
Cho tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại O.Kớ hiệu S là diện tớch. Cho SAOB = a2 ;   SCOD = b2 với a , b là 2 số cho trước.
 Hóy tỡm GTNN của SABCD?
HD: = = ị SAOD .SBOC =a2b2
Áp dụng ( x + y)2 ³ 4xy
 ịSAOD + SBOC ³ 4SAOD .SBOC = 2. 
 ị SABCD ³ ( + )2 .
Dấu bằng xảy ra khi SAOD = SBOC ị AB//CD
Cho tam giỏc ABC cõn tại A với A là gúc nhọn; CD là đường phõn giỏc gúc ACB, Qua D kẻ đường thẳng vuụng gúc với CD; đường nay cắt đường thẳng CB tại E , Chứng minh rằng BD = EC 
HD:
Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. điểm M di động trờn cạnh AB; N di động trờn cạnh AD sao cho chu vi tam giỏc AMN khụng đổi và bằng 2a.Xỏc định vị trớ của MN để diện tớch tam giỏc CMN đạt giỏ trị lớn nhất và tớnh giỏ trị lớn nhất đú 
HD: SCMN = (a2 - SAMN) Ê a2.
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A.Lấy điểm M tựy ý trờn cạnh AC. Kẻ tia Ax vuụng gúc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứngvới C qua H. Kẻ tia Ky vuụng gúc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với AB. Tớnh .
HD: I là trực tõm DMBD ị MI ^BD
CD ^ BDị = 450.
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cỏc tia đối của CB và DC, lấy cỏc điểm M,N sao cho DN =BM. Cỏc đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F . Chứng minh rằng :
Tứ giỏc ANFM là hỡnh vuụng.
Điểm F nằm trờn tia phõn giỏc của gúc MCN và gúc FCA = 900 
Ba điểm B,O,D thẳng hàng và tứ giỏc BOFC là hỡnh thang ( O là trung điểm FA) .
HD: c. OA = OC; = DC; BA = BC.
b.Kẻ FK ^ BC; FH ^ CD ; CKFH là hỡnh vuụng
Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn cạnh CD, lấy M bất kỡ. Cỏc tia phõn giỏc của cỏc gúc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F . 
 Chứng minh rằng MA FE
HD: DK = BE; DADE = DAIF ( Ilà giao điểm AM và EF)
 Cho tam giỏc ABC cú gúc A = 300.Dựng bờn ngoài tam giỏc đều BCD. Chứng minh rằng AD2 = AB2 + AC2
HD:Dựng D đều ADE ị + = 2700
Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú H là trung điểm cạnh BC. Gọi I là hỡnh chiếu vuụng gúc của H trờn cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng AO BI 
HD:M là trung điểm CI ;MH // BI ị O là trực tõm DAMH
Cho tam giỏc ABC cõn tại A, lấy cỏc điểm E và K lần lượt trờn cỏc tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng EK > BC.
HD: BC = MN ; OE > OM
 Cho hỡnh thang cõn ABCD (AB//CD) cú AC = 6cm; 
 = 450. .O là giao điểm của 2 đường chộo.Tớnh diện tớch hỡnh thang ABCD 
HD: = 450
 Cho tứ giỏc lồi ABCD. Qua trung điểm của đường chộo BD dựng đường thẳng song song với đường chộo. AC , đường thẳng này cắt đoạn thẳng AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giỏc thành 2 phần cú diện tớch bằng nhau 
HD: SCAE = SCAO ;ị SABCE = SABC + SCAO = SABO + SBCO = (SBCD + SABD) = SABCD
*E ẽ Đoạn AD .Khụng đỳng
Cỏc đường chộo của tứ giỏc lồi ABCD vuụng gúc với nhau. Qua Trung điểm cỏc cạnh AB và AD kẻ những đường vuụng gúc theo thứ tự với cỏc cạnh CD và CB. Chứng minh rằng 2 đường thẳng vuụng gúc này và đường thẳng AC đồng quy/
HD: E là trung điểm AC ị H là trực tõm D MPE
Cho tam giỏc ABC cú BC = 15 cm,AC = 20 cm, AB = 25 .
Tớnh độ dài đường cao CH của tam giỏc ABC .
Gọi CD là dường phõn giỏc của tam giỏc ACH Chứng minh rằng tam giỏc BCD cõn.
Chứng minh rằng BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 +DH2 
HD: D ABC vuụng tại C;
( + ) = ( + ) = 1V
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn và M là điểm nằm trờn cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. Xỏc định vị trớ của điểm M trờn BC để tống BE + CF lớn nhất.
HD: BE + CF Ê BC ị Max(BE + CF) = BC khi
E º Fº M Û AM ^ BC
 Cho tam giỏc ABC . Trờn AB lấy điểm D sao cho BD = 3 DA. Trờn CB lấy điểm