Năm mươi bài tập Hình học lớp 9 ôn thi vào lớp 10

NĂM MƯƠI BÀI TẬP HÌNH HỌC
LỚP 9 ÔN THI VÀO LỚP 10
Baøi 1: Cho DABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc taïi hai ñieåm M vaø N.
Chöùng minh:BEDC noäi tieáp.
Chöùng minh: goùc DEA=ACB.
Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.
Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
Chöùng toû: AM2=AE.AB.
 Giôïi yù:
1.C/m BEDC noäi tieáp:
C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng.
2.C/m goùc DEA=ACB.
Do BECD ntÞDMB+DCB=2v.
Maø DEB+AED=2v
ÞAED=ACB
3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø ñöôøng thaúng xy (Hình 1)
 y
 A
 x
 N
 E D
 M O
 B C
Hình 1
 Ta phaûi c/m xy//DE.
 Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB=sñ cung AB.
Maø sñ ACB=sñ AB. Þgoùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt)
ÞxAB=AED hay xy//DE.
 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
Do xy//DE hay xy//MN maø OA^xyÞOA^MN.^OA laø ñöôøng trung tröïc cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây)ÞDAMN caân ôû A ÞAO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
 5.C/m :AM2=AE.AB.
Do DAMN caân ôû A ÞAM=AN Þcung AM=cung AN.Þgoùc MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung
 ÞDMAE ∽D BAMÞÞ MA2=AE.AB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
CỔNG THÔNG TIN  KHÁCH SẠN HÀNG ĐẦU
SẦM SƠN – THANH HÓA KÍNH CHÀO QÚY KHÁCH
ĐẶT PHÒNG TRỰC TIẾP  KHÁCH SẠN
TỪ 1 SAO ĐẾN 5 SAO ( FLC SẦM SƠN)
KÍNH MỜI QUÝ KHÁCH TRUY CẬP NGAY TRANG WEB
WWW.KHACHSANSAMSON.NET-
 WWW.DULICHSAMSON.NET
Chúng tôi cam kết với du khách tất cả số điện thoại và TKNH của khách sạn, nhà hàng chính xác 100%
Baøi 2: 
 Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’ taïi I.
 1.Töù giaùc ADBE laø hình gì?
 2.C/m DMBI noäi tieáp.
 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD.
 4.C/m MC.DB=MI.DC
 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 Gôïi yù:
1.Do MA=MB vaø AB^DE taïi M neân ta coù DM=ME.
ÞADBE laø hình bình haønh.
Maø BD=BE(AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE) vaäy ADBE ;laø hình thoi.
2.C/m DMBI noäi tieáp.
BC laø ñöôøng kính,IÎ(O’) neân Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt)
ÞBID+DMB=2vÞñpcm. 
 D
 I
 A M O B O’ C
 E
Hình 2
 3.C/m B;I;E thaúng haøng.
 Do AEBD laø hình thoi ÞBE//AD maø AD^DC (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)ÞBE^DC; CM^DE(gt).Do goùc BIC=1v ÞBI^DC.Qua 1 ñieåm B coù hai ñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC ^B;I;E thaúng haøng.
 ·C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; DEID vuoâng ôû IÞMI laø ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ÞMI=MD.
 4. C/m MC.DB=MI.DC.
 haõy chöùng minh DMCI∽ DDCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén cung MI do DMBI noäi tieáp)
5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 -Ta coù DO’IC Caân Þgoùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp ÞMIB=MDB (cuøng chaén cung MB) DBDE caân ôû B Þgoùc MDB=MEB .Do MECI noäi tieáp Þgoùc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI)
Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB ÞMIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vaäy MI ^O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) ÞMI laø tieáp tuyeán cuûa (O’).
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 3:
 Cho DABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho AM<MC.Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính CM;ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D;AD keùo daøi caét (O) taïi S. 
C/m BADC noäi tieáp.
BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
 Gôïi yù:
1.C/m ABCD noäi tieáp:
C/m A vaø D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng..
2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
·Haõy c/m AMEB noäi tieáp.
·Goùc ABM=AEM( cuøng chaén cung AM)
Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD)
Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD)
 D S
 A M
 O
 B E C
Hình 3
 ÞAEM=MED.
 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
 -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB)
 -Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS)
 -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD)
 DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS)
ÞGoùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
 Vaäy goùc ADB=SCAÞñpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 4: 
 Cho DABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao cho AM>MC.Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD caét (O) taïi S.
C/m ADCB noäi tieáp.
C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m: Goùc ASM=ACD.
Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m ba ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy.
 Gôïi yù:
1.C/m ADCB noäi tieáp:
Haõy chöùng minh:
Goùc MDC=BDC=1v
Töø ñoù suy ra A vad D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng
2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
·Do ABCD noäi tieáp neân
 A
 S D
 M 
 B E C
Hình 4
 ÞABD=ACD (Cuøng chaén cung AD)
 ·Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD)
 ·Do MC laø ñöôøng kính;EÎ(O)ÞGoùc MEC=1vÞMEB=1v ÞABEM noäi tieápÞGoùc MEA=ABD. ÞGoùc MEA=MEDÞñpcm
 3.C/m goùc ASM=ACD.
 Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD)
 Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)ÞSMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vaäy Goùc A SM=ACD.
 4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi 2)
 5.Chöùng minh AB;ME;CD ñoàng quy.
 Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minh 3 ñieåm K;M;E thaúng haøng.
 ·Do CA^AB(gt);BD^DC(cmt) vaø AC caét BD ôû MÞM laø tröïc taâm cuûa tam giaùc KBCÞKM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KM^BC.Maø ME^BC(cmt) neân K;M;E thaúng haøng Þñpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
 Baøi 5:
 Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB<AC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Keû ñöôøng cao AD vaø ñöôøng kính AA’.Goïi E:F theo thöù töï laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B vaø C xuoáng ñöôøng kính AA’.
C/m AEDB noäi tieáp.
C/m DB.A’A=AD.A’C
C/m:DE^AC.
Goïi M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh MD=ME=MF.
 Gôïi yù:
 A
 N E 
 O I
Hình 5
 B D M C
 F
 A’
 1/C/m AEDB noäi tieáp.(Söû duïng hai ñieåm D;E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn AB)
 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chöùng minh ñöôïc hai tam giaùc vuoâng DBA vaø A’CA ñoàng daïng. 
 3/ C/m DE^AC.
 Do ABDE noäi tieáp neân goùc EDC=BAE(Cuøng buø vôùi goùc BDE).Maø goùc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DE^AC.
 4/C/m MD=ME=MF.
 ·Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB ÞMN//AC(Tính chaát ñöôøng trung bình)
Do DE^AC ÞMN^DE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây)ÞMN laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ÞME=MD.
 · Goïi I laø trung ñieåm AC.ÞMI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình)
ÞA’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C).
Do ADFC noäi tieáp ÞGoùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ÞGoùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Maø ABA’=1vÞMI^DF.Ñöôøng kính MI^daây cung DFÞMI laø ñöôøng trung tröïc cuûa DFÞMD=MF. Vaäy MD=ME=MF.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 6: 
 Cho DABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BC vaø AC.P laø trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE.
 1/C/m MFEC noäi tieáp.
 2/C/m BM.EF=BA.EM
 3/C/M DAMP∽DFMQ.
 4/C/m goùc PQM=90o.
 Giaûi:
1/C/m MFEC noäi tieáp:
(Söû duïng hai ñieåm E;F cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng CM)
2/C/m BM.EF=BA.EM
 ·C/m:DEFM∽DABM:
Ta coù goùc ABM=ACM (Vì cuøng chaén cung AM)
 A M
 F
 P
 B E C
Hình 6
 Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM).
ÞGoùc ABM=FEM.(1)
Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).ÞGoùc AMB=FME.(2)
Töø (1)vaø(2) suy ra :DEFM∽DABM Þñpcm.
3/C/m DAMP∽DFMQ.
 Ta coù DEFM∽DABM (theo c/m treân)Þ maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) Þ vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø DEFM∽DABM)
Vaäy: DAMP∽DFMQ.
4/C/m goùc:PQM=90o.
 Do goùc AMP=FMQ ÞPMQ=AMF ÞDPQM∽DAFM Þgoùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1vÞMQP=1v(ñpcm).
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 7:
 Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC laáy ñieåm D sao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi ñieåm thöù hai F;Tieáp tuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G.
C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy.
C/m DBFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.
C/m GEFB noäi tieáp.
Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F
1/C/m BGEC noäi tieáp:
-Söû duïng toång hai goùc ñoái
-I laø trung ñieåm GC.
2/·C/mDBFC vuoâng caân:
Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o (tính chaát hình vuoâng)
ÞGoùc BCF=45o.
Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Þñpcm.
·C/m F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBDC.ta C/m F caùch ñeàu caùc ñænh B;C;D
Do DBFC vuoâng caân neân BC=FC.
 A
 B O C
 F I
 D
Hình 7
 G E
Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung;
Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED).ÞDBFE=DE FD ÞBF=FDÞBF=FC=FD.Þñpcm.
3/C/m GE FB noäi tieáp:
 Do DBFC vuoâng caân ôû F ÞCung BF=FC=90o. Þsñgoùc GBF=Sñ cung BF=.90o=45o.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF)
Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)ÞGoùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2vÞGoùc GBF+FEG=2v ÞGEFB noäi tieáp.
4/ C/m· C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ÞGoùc BFG=BEG maø BEG=1vÞBFG=1v.Do DBFG vuoâng caân ôû FÞGoùc BFC=1v.ÞGoùc BFG+CFB=2vÞG;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân :Do GBC=GDC=1vÞtaâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø FÞG naèn treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD. ·Deã daøng c/m ñöôïc Iº F.
Baøi 8:
Cho DABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troøn ôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm treân cung nhoû BC).
C/m BDCO noäi tieáp.
C/m: DC2=DE.DF.
C/m:DOIC noäi tieáp.
Chöùng toû I laø trung ñieåm FE.
1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai goùc ñoái)
2/C/m:DC2=DE.DF.
Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc D chung.
SñgoùcECD=sñ cung EC(Goùc giöõa tieáp tuyeán vaø moät daây)
Sñ goùc E FC=sñ cung EC(Goùc noäi tieáp)Þgoùc ECD=DFC.
ÞDDCE ∽DDFCÞñpcm.
3/C/m DOIC noäi tieáp:
 A
 F
 O I
 B C
 E
 D
Hình 8
Ta coù: sñgoùc BAC=sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1)
Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau);OD chungÞDBOD=DCODÞGoùc BOD=COD
Þ2sñ goùcDOC=sñ cung BC Þsñgoùc DOC=sñcungBC (2)
Töø (1)vaø (2)ÞGoùc DOC=BAC.
Do DF//ABÞgoùc BAC=DIC(Ñoàng vò) ÞGoùc DOC=DICÞ Hai ñieåm O vaø I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng nhauÞñpcm
4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF:
Do DOIC noäi tieáp Þ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD)
Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)ÞGoùc OID=1v hay OI^ID ÞOI^FE.Baùn kính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EFÞI laø trung ñieåmEF.
 ÐÏ(&(ÐÏ 
Baøi 9:
 Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(M¹A vaø M¹B),keû daây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAN.
C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
C/m:NQ.NA=NH.NM
C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ.
Haï ñoaïn thaúng MP vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.
 Giaûi:Coù 2 hình veõ,caùch c/m töông töï.Sau ñaây chæ C/m treân hình 9-a.
Hình 9b
Hình 9a
 M
 P
A I H B
 Q O
 N
1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.(Tuyø vaøo hình veõ ñeå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau:-Cuøng laøm vôùi hai ñaøu moät goùc vuoâng.
 -Toång hai goùc ñoái.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xeùt hai Dvuoâng NQM vaø DNAH ñoàng daïng.
3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch:
Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân ôû M
Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vôùi goùc ANH)
 Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)Þñpcm
4/ xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.
 Ta coù 2SDMAN=MQ.AN
 2SDMBN=MP.BN.
 2SDMAN + 2SDMBN = MQ.AN+MP.BN
 Ta laïi coù: 2SDMAN + 2SDMBN =2(SDMAN + SDMBN)=2SAMBN=2.=AB.MN
Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Maø AB khoâng ñoåi neân tích AB.MN lôùn nhaát ÛMN lôùn nhaátÛMN laø ñöôøng kính
ÛM laø ñieåm chính giöõa cung AB.
Baøi 10:
 Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán chung ngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö ôøng troøn taâm (I).Tieáp tuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai ñöôøng troøn ôû E.	
1/ Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng ôû A.	
2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minh N;E;F;A cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . 
3/ Chöùng toû : BC2= 4 Rr
4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;r 
Giaûi:
1/C/m DABC vuoâng: Do BE vaø AE laø hai tieáp tuyeán caét nhau neânAE=BE; Töông töï AE=ECÞAE=EB=EC=BC.ÞDABC vuoâng ôû A.
2/C/m A;E;N;F cuøng naèm treân
-Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân
 B E
 C
 N F
 O A I
Hình 10
AEBÞEO laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB hay OE^AB hay goùc ENA=1v
Töông töï goùc EFA=2vÞtoång hai goùc ñoáiÞ4 ñieåm
3/C/m BC2=4Rr.
Ta coù töù giaùc FANE coù 3 goùc vuoâng(Cmt)ÞFANE laø hình vuoângÞDOEI vuoâng ôû E vaø EA^OI(Tính chaát tieáp tuyeán).Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng coù: AH2=OA.AI(Bình phöông ñöôøng cao baèng tích hai hình chieáu)
Maø AH=vaø OA=R;AI=rÞRrÞBC2=Rr
4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng ÞSBCIO=
ÞS=
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 11:
 Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao cho OA=OB. Moät ñöôøng thaúng qua A caét OB taïi M(M naèm treân ñoaïn OB).Töø B haï ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi H,caét AO keùo daøi taïi I.
C/m OMHI noäi tieáp.
Tính goùc OMI.
Töø O veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BI taïi K.C/m OK=KH
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K khi M thay ñoåi treân OB.
Giaûi:
1/C/m OMHI noäi tieáp:
Söû duïng toång hai goùc ñoái.
2/Tính goùc OMI
Do OB^AI;AH^AB(gt) vaø OBÇAH=M
Neân M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABI
ÞIM laø ñöôøng cao thöù 3 ÞIM^AB
Þgoùc OIM=ABO(Goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc)
 A
Maø D vuoâng OAB coù OA=OB ÞDOAB vuoâng caân ôû O Þgoùc OBA=45oÞgoùc OMI=45o
3/C/m OK=KH
Ta coù OHK=HOB+HBO
(Goùc ngoaøi DOHB)
Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc AOB=AHB=1v) ÞGoùc HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaén
 O M B
 H
 K
 I
Hình 11
Cuøng chaén cung OH)ÞOHK=HAB+HAO=OAB=45o.
ÞDOKH vuoâng caân ôû KÞOH=KH 
4/Taäp hôïp caùc ñieåm K
Do OK^KBÞ OKB=1v;OB khoâng ñoåi khi M di ñoäng ÞK naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K laø ñieåm chính giöõa cung AB.Vaäy quyõ tích ñieåm K laø ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.
 ÐÏ(&(ÐÏBaøi 12:
 Cho (O) ñöôøng kính AB vaø daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi F.Treân cung BC laáy ñieåm M.Noái A vôùi M caét CD taïi E.
C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD.
C/m EFBM noäi tieáp.
Chöùng toû:AC2=AE.AM
Goïi giao ñieåm CB vôùi AM laø N;MD vôùi AB laø I.C/m NI//CD
Chöùng minh N laø taâm ñöôøng treøon noäi tieáp DCIM
Giaûi:
1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD
Do AB^CD ÞAB laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân COD.Þ COA=AOD.
Caùc goùc ôû taâm AOC vaø AOD baèng nhau neân caùc cung bò chaén baèng nhau Þcung AC=ADÞcaùc goùc noäi tieáp chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD.
2/C/m EFBM noäi tieáp.
Ta coù AMB=1v(Goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)
EFB=1v(Do AB^EF)
 C
 N M
 A F O B 
 I
 D
ÞAMB+EFB=2vÞñpcm.
3/C/m AC2=AE.AM
C/m hai DACE∽DAMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø AMD=CMA cmt ÞACE=AMC)
4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ÞCBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau) hay NMI=NBIÞM vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng NI nhöõng goùc baèng nhauÞMNIB noäi tieápÞNMB+NIM=2v. maø NMB=1v(cmt)ÞNIB=1v hay NI^AB.Maø CD^AB(gt) ÞNI//CD.
5/Chöùng toû N laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp DICM.
Ta phaûi C/m N laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa DCIM.
Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI
Do MNIB noäi tieáp(cmt) ÞNIM=NBM(cuøng chaén cung MN) 
 Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM)
Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ÞACNI noäi tieápÞCAN=CIN(cuøng chaén cung CN)ÞCIN=NIMÞIN laø phaân giaùc CIM
Vaäy N laø taâm ñöôøng troøn
 Baøi 13:
 Cho (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Veõ caùc tieáp tuyeán AB;AC vaø caùt tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE.
C/m A;B;H;O;C cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn.
C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH.
BH caét (O) ôû K.C/m AE//CK.
Hình 13
 B
 E H 
 I D
 O A
 K C
1/C/m:A;B;O;C;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: H laø trung ñieåm EBÞOH^ED(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa daây )ÞAHO=1v. Maø OBA=OCA=1v (Tính chaát tieáp tuyeán) ÞA;B;O;H;C cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OA.
2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.
Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhau ÞBAO=OAC vaø AB=AC
Þcung AB=AC(hai daây baêøng nhau cuûa ñöôøng troøn ñkOA) maø BHA=BOA(Cuøng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=AC ÞCOA=BOHÞ CHA=AHBÞñpcm.
3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ÞDABH∽DAIBÞñpcm.
4/C/m AE//CK.
Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC=Sñ cungBC(goùc noäi tieáp)
Sñ BCA=sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây)
ÞBHA=BKCÞCK//AB
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 14:
 Cho (O) ñöôøng kính AB=2R;xy laø tieáp tuyeán vôùi (O) taïi B. CD laø 1 ñöôøng kính baát kyø.Goïi giao ñieåm cuûa AC;AD vôùi xy theo thöù töï laø M;N.
Cmr:MCDN noäi tieáp.
Chöùng toû:AC.AM=AD.AN
Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN vaø H laø trung ñieåm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh.
Khi ñöôøng kính CD quay xung quanh ñieåm O thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo?
1/ C/m MCDN noäi tieáp:
DAOC caân ôû OÞOCA=CAO; goùc 
CAO=ANB(cuøng phuï vôùi goùc AMB)Þgoùc ACD=ANM.
Maø goùc ACD+DCM=2v
ÞDCM+DNM=2vÞ DCMB noäi tieáp.
2/C/m: AC.AM=AD.AN
Haõy c/m DACD∽DANM.
3/C/m AOIH laø hình bình haønh.
Xaùc ñònh I:I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDNÞI laø giao ñieåm döôøng trung tröïc cuûa CD vaø
 M
 C
 A O B
 K
 D 
 H I
 N
Hình 14
MNÞIH^MN laø IO^CD.Do AB^MN;IH^MNÞAO//IH. Vaäy caùch döïng I:Töø O döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD.Töø trung ñieåm H cuûa MN döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi MN.Hai ñöôøng naøy caùch nhau ôû I.
 ·Do H laø trung ñieåm MNÞAhlaø trung tuyeán cuûa Dvuoâng AMNÞANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)ÞDAH=ACD.
 Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO do ADC+ACD=1vÞDAK+ADK=1v hay DAKD vuoâng ôû KÞAH^CD maø OI^CDÞOI//AH vaäy AHIO laø hình bình haønh.
4/Quyõ tích ñieåm I:
Do AOIH laø hình bình haønh ÞIH=AO=R khoâng ñoåiÞCD quay xung quanh O thì I naèm treân ñöôøng thaúng // vôùi xy vaø caùch xy moät khoaûng baèng R
 	ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 15:
 Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm treân cung nhoû BC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûa D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O).
C/m AHED noäi tieáp
Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi HB vaø vôùi (O) laø P vaø Q;ED caét (O) taïi M.C/m HA.DP=PA.DE
C/m:QM=AB
C/m DE.DG=DF.DH
C/m:E;F;G thaúng haøng.(ñöôøng thaúng Sim sôn)
1/C/m AHED noäi tieáp(Söû duïng hai ñieåm H;E cuøng laøm haønh vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng AD)
2/C/m HA.DP=PA.DE
Xeùt hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng:
HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ)
3/C/m QM=AB:
Do DHPA∽DEDPÞHAB=HDM
Maø sñHAB=sñ cung AB;
 SñHDM=sñ cung QMÞ cung
AM=QMÞAB=QM
 A
 H 
Q
 P O
 G
 B F C
 E 
 M D 
Hình 15
4/C/m: DE.DG=DF.DH .
 Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù:
Do EHAD noäi tieáp ÞHAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1)
Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2)
Vì F=G=90oÞDFGC noäi tieápÞFDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3)
FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4)
Nhöng FCG=BCA=HAB(5).Töø (1)(3)(5)ÞEDH=FDG(6).
Töø (2);(4) vaø BCD=BAD(cuøng chaén cungBD)ÞEHD=FGD(7)
Töø (6)vaø (7)ÞDEDH∽DFDGÞÞñpcm.
 5/C/m: E;F;G thaúng haøng:
 Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt)
Do ABCD noäi tieápÞBAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieápÞEDG+EAG=2v. ÞEDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDGÞEDB=CDG ÞGFC=BEFÞE;F;G thaúng haøng.
 ÐÏ(&(ÐÏBaøi 16:
 Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua I keû IK^BC(K naèm treân BC).Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm M sao cho MA=AK.
Chöùng minh:ABIK noäi tieáp ñöôïc