Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

pdf 49 trang Người đăng khoa-nguyen Lượt xem 1516Lượt tải 2 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 1 
PHẦN I: ĐỀ BÀI 
1. Chứng minh 7 là số vụ tỉ. 
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) 
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacụpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 
3. Cho x + y = 2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. 
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab
2
+
³ . 
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c
a b c
+ + ³ + + 
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tỡm giỏ trị lớn nhất của tớch P = ab. 
5. Cho a + b = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 
6. Cho a3 + b3 = 2. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 
7. Cho a, b, c là cỏc số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
8. Tỡm liờn hệ giữa cỏc số a và b biết rằng : a b a b+ > - 
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a 
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 
10. Chứng minh cỏc bất đẳng thức : 
 a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
11. Tỡm cỏc giỏ trị của x sao cho : 
 a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 
12. Tỡm cỏc số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giỏ trị nào của a và b thỡ M đạt giỏ trị 
nhỏ nhất ? Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. 
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giỏ trị nhỏ nhất của P bằng 0. 
15. Chứng minh rằng khụng cú giỏ trị nào của x, y, z thỏa món đẳng thức sau : 
 x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 
16. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 2
1
A
x 4x 9
=
- +
17. So sỏnh cỏc số thực sau (khụng dựng mỏy tớnh) : 
 a) 7 15 và 7+ b) 17 5 1 và 45+ + 
 c) 
23 2 19
và 27
3
-
 d) 3 2 và 2 3 
18. Hóy viết một số hữu tỉ và một số vụ tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 
19. Giải phương trỡnh : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = - - . 
20. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với cỏc điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 
21. Cho 
1 1 1 1
S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
= + + + + +
- + -
. 
 Hóy so sỏnh S và 
1998
2.
1999
. 
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiờn a khụng phải là số chớnh phương thỡ a là số vụ tỉ. 
23. Cho cỏc số x và y cựng dấu. Chứng minh rằng : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 2 
a) 
x y
2
y x
+ ³ 
b) 
2 2
2 2
x y x y
0
y x y x
ổ ử ổ ử
+ - + ³ỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ
 c) 
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
2
y x y x y x
ổ ử ổ ử ổ ử
+ - + + + ³ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ ố ứ
. 
24. Chứng minh rằng cỏc số sau là số vụ tỉ : 
a) 1 2+ 
b) 
3
m
n
+ với m, n là cỏc số hữu tỉ, n ≠ 0. 
25. Cú hai số vụ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khụng ? 
26. Cho cỏc số x và y khỏc 0. Chứng minh rằng : 
2 2
2 2
x y x y
4 3
y x y x
ổ ử
+ + ³ +ỗ ữ
ố ứ
. 
27. Cho cỏc số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ³ + + . 
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vụ tỉ là một số vụ tỉ. 
29. Chứng minh cỏc bất đẳng thức : 
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) 
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
c) (a1 + a2 + .. + an)
2 ≤ n(a12 + a22 + .. + an2). 
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 
31. Chứng minh rằng : [ ] [ ] [ ]x y x y+ Ê + . 
32. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : 2
1
A
x 6x 17
=
- +
. 
33. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : x y zA
y z x
= + + với x, y, z > 0. 
34. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 
35. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 
36. Xột xem cỏc số a và b cú thể là số vụ tỉ khụng nếu : 
a) ab và 
a
b
 là số vụ tỉ. 
b) a + b và 
a
b
 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : a b c d 2
b c c d d a a b
+ + + ³
+ + + +
39. Chứng minh rằng [ ]2x bằng [ ]2 x hoặc [ ]2 x 1+ 
40. Cho số nguyờn dương a. Xột cỏc số cú dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ;  ; a + 15n. 
Chứng minh rằng trong cỏc số đú, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiờn là 96. 
41. Tỡm cỏc giỏ trị của x để cỏc biểu thức sau cú nghĩa : 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 3 
2
2 2
1 1 1 2
A= x 3 B C D E x 2x
xx 4x 5 1 x 3x 2x 1
- = = = = + + -
+ - - -- -
2G 3x 1 5x 3 x x 1= - - - + + + 
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2M x 4x 4 x 6x 9= + + + - + . 
 c) Giải phương trỡnh : 2 2 24x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81+ + + - + = + + 
43. Giải phương trỡnh : 2 22x 8x 3 x 4x 5 12- - - - = . 
44. Tỡm cỏc giỏ trị của x để cỏc biểu thức sau cú nghĩa : 
2 2
2
1 1
A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x x 5x 6
= + + = = - - =
- - +
2 2
2
1 x
E G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 42x 1 x
= = + - = - - + -
-+ +
45. Giải phương trỡnh : 
2x 3x
0
x 3
-
=
-
46. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x= + . 
47. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x= - + 
48. So sỏnh : a) 
3 1
a 2 3 và b=
2
+
= + b) 5 13 4 3 và 3 1- + - 
 c) n 2 n 1 và n+1 n+ - + - (n là số nguyờn dương) 
49. Với giỏ trị nào của x, biểu thức sau đạt giỏ trị nhỏ nhất : 2 2A 1 1 6x 9x (3x 1)= - - + + - . 
50. Tớnh : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2- + - 
2 2d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1= + + + - + = + - + - - (n 
≥ 1) 
51. Rỳt gọn biểu thức : 8 41M
45 4 41 45 4 41
=
+ + -
. 
52. Tỡm cỏc số x, y, z thỏa món đẳng thức : 2 2 2(2x y) (y 2) (x y z) 0- + - + + + = 
53. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2P 25x 20x 4 25x 30x 9= - + + - + . 
54. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
2 2 2 2 2a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0- - - - = - + = - + + - =
4 2 2d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5- - + = + + + - = - + - = - 
2 2 2h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25- + + - + = + + - = - 
k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2+ - - + + - - = + + - = + + -
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 4 
55. Cho hai số thực x và y thỏa món cỏc điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: 
2 2x y
2 2
x y
+
³
-
. 
56. Rỳt gọn cỏc biểu thức : 
a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
c) 2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2
+ + + + - + - -
+ + + + + + - + + - + +
57. Chứng minh rằng 6 22 3
2 2
+ = + . 
58. Rỳt gọn cỏc biểu thức : 
( ) ( )6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6
a) C b) D
2 3
+ + + - - - + - -
= = . 
59. So sỏnh : 
a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2+ + + - -
60. Cho biểu thức : 2A x x 4x 4= - - + 
a) Tỡm tập xỏc định của biểu thức A. 
b) Rỳt gọn biểu thức A. 
61. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14- - 
3 11 6 2 5 2 6
c)
2 6 2 5 7 2 10
+ + - +
+ + - +
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + + 
63. Giải bất phương trỡnh : 2x 16x 60 x 6- + < - . 
64. Tỡm x sao cho : 2 2x 3 3 x- + Ê . 
65. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng : 
 x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1) 
66. Tỡm x để biểu thức cú nghĩa: 
2
21 16 xa) A b) B x 8x 8
2x 1x 2x 1
-
= = + - +
+- -
. 
67. Cho biểu thức : 
2 2
2 2
x x 2x x x 2x
A
x x 2x x x 2x
+ - - -
= -
- - + -
. 
a) Tỡm giỏ trị của x để biểu thức A cú nghĩa. 
b) Rỳt gọn biểu thức A. c) Tỡm giỏ trị của x để A < 2. 
68. Tỡm 20 chữ số thập phõn đầu tiờn của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9) 
69. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 
70. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1 
71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1+ + (n là số nguyờn dương), số nào lớn hơn ? 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 5 
72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3= + + - . Tớnh giỏ trị của A theo hai cỏch. 
73. Tớnh : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)+ + + - - + - + + 
74. Chứng minh cỏc số sau là số vụ tỉ : 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3+ - + 
75. Hóy so sỏnh hai số : a 3 3 3 và b=2 2 1= - - ; 5 12 5 và
2
+
+ 
76. So sỏnh 4 7 4 7 2+ - - - và số 0. 
77. Rỳt gọn biểu thức : 2 3 6 8 4Q
2 3 4
+ + + +
=
+ +
. 
78. Cho P 14 40 56 140= + + + . Hóy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 
79. Tớnh giỏ trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : 2 2x 1 y y 1 x 1- + - = . 
80. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x 1 x= - + + . 
81. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : ( )2M a b= + với a, b > 0 và a + b ≤ 1. 
82. CMR trong cỏc số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd+ - + - + - + - cú ớt 
nhất hai số dương (a, b, c, d > 0). 
83. Rỳt gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18= + + + . 
84. Cho x y z xy yz zx+ + = + + , trong đú x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 
85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n. 
86. Chứng minh : ( )2a b 2 2(a b) ab+ ³ + (a, b ≥ 0). 
87. Chứng minh rằng nếu cỏc đoạn thẳng cú độ dài a, b, c lập được thành một tam giỏc thỡ cỏc 
đoạn thẳng cú độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giỏc. 
88. Rỳt gọn : a) 
2ab b a
A
b b
-
= - b) 
2(x 2) 8x
B
2
x
x
+ -
=
-
. 
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều cú : 
2
2
a 2
2
a 1
+
³
+
. Khi nào cú đẳng thức ? 
90. Tớnh : A 3 5 3 5= + + - bằng hai cỏch. 
91. So sỏnh : a) 
3 7 5 2
và 6,9 b) 13 12 và 7 6
5
+
- - 
92. Tớnh : 
2 3 2 3
P
2 2 3 2 2 3
+ -
= +
+ + - -
. 
93. Giải phương trỡnh : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ + - + - - - = . 
94. Chứng minh rằng ta luụn cú : n
1.3.5...(2n 1) 1
P
2.4.6...2n 2n 1
-
= <
+
 ; "n ẻ Z+ 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 6 
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thỡ 
2 2a b
a b
b a
+ Ê + . 
96. Rỳt gọn biểu thức : A = 
2
x 4(x 1) x 4(x 1) 1
. 1
x 1x 4(x 1)
- - + + - ổ ử-ỗ ữ-ố ứ- -
. 
97. Chứng minh cỏc đẳng thức sau : a b b a 1a) : a b
ab a b
+
= -
-
 (a, b > 0 ; a ≠ b) 
14 7 15 5 1 a a a a
b) : 2 c) 1 1 1 a
1 2 1 3 7 5 a 1 a 1
ổ ử ổ ửổ ử- - + -
+ = - + - = -ỗ ữ ỗ ữỗ ữ
- - - + -ố ứ ố ứố ứ
 (a > 
0). 
98. Tớnh : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48- - - + - + . 
 c) 7 48 28 16 3 . 7 48ổ ử+ - - +ỗ ữ
ố ứ
. 
99. So sỏnh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7+ + + 
16
c) 18 19 và 9 d) và 5. 25
2
+ 
100. Cho hằng đẳng thức : 
2 2a a b a a b
a b
2 2
+ - - -
± = ± (a, b > 0 và a2 – b > 0). 
Áp dụng kết quả để rỳt gọn : 
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
a) ; b)
2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2
+ - - +
+ -
+ + - - - +
2 10 30 2 2 6 2
c) :
2 10 2 2 3 1
+ - -
- -
101. Xỏc định giỏ trị cỏc biểu thức sau : 
2 2
2 2
xy x 1. y 1
a) A
xy x 1. y 1
- - -
=
+ - -
với 1 1 1 1x a , y b
2 a 2 b
ổ ử ổ ử= + = +ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
(a > 1 ; b > 1) 
a bx a bx
b) B
a bx a bx
+ + -
=
+ - -
 với ( )2
2am
x , m 1
b 1 m
= <
+
. 
102. Cho biểu thức 
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1
- -
=
- +
a) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để P(x) xỏc định. Rỳt gọn P(x). 
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thỡ P(x).P(- x) < 0. 
103. Cho biểu thức 
2
x 2 4 x 2 x 2 4 x 2
A
4 4
1
x x
+ - - + + + -
=
- +
. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 7 
a) Rỳt gọn biểu thức A. 
b) Tỡm cỏc số nguyờn x để biểu thức A là một số nguyờn. 
104. Tỡm giỏ trị lớn nhất (nếu cú) hoặc giỏ trị nhỏ nhất (nếu cú) của cỏc biểu thức sau: 
2a) 9 x b) x x (x 0) c) 1 2 x d) x 5 4- - > + - - - 
2 2 1e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i)
2x x 3
- - - + - - + +
- +
105. Rỳt gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1= + - - - - , bằng ba cỏch ? 
106. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : a) 5 3 5 48 10 7 4 3+ - + 
b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5+ + + - + - - + . 
107. Chứng minh cỏc hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ b 
a) ( )2a b a b 2 a a b+ ± - = ± - 
b) 
2 2a a b a a b
a b
2 2
+ - - -
± = ± 
108. Rỳt gọn biểu thức : A x 2 2x 4 x 2 2x 4= + - + - - 
109. Tỡm x và y sao cho : x y 2 x y 2+ - = + - 
110. Chứng minh bất đẳng thức : ( ) ( )2 22 2 2 2a b c d a c b d+ + + ³ + + + . 
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 
2 2 2a b c a b c
b c c a a b 2
+ +
+ + ³
+ + +
. 
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : 
a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6+ + + + + < + + + + + Ê . 
113. CM : ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2a c b c a d b d (a b)(c d)+ + + + + ³ + + với a, b, c, d > 0. 
114. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : A x x= + . 
115. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của : (x a)(x b)A
x
+ +
= . 
116. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 
117. Tỡm giỏ trị lớn nhất của A = x + 2 x- . 
118. Giải phương trỡnh : x 1 5x 1 3x 2- - - = - 
119. Giải phương trỡnh : x 2 x 1 x 2 x 1 2+ - + - - = 
120. Giải phương trỡnh : 2 23x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + = 
121. Giải phương trỡnh : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = - - 
122. Chứng minh cỏc số sau là số vụ tỉ : 3 2 ; 2 2 3- + 
123. Chứng minh x 2 4 x 2- + - Ê . 
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương phỏp hỡnh học : 
 2 2 2 2a b . b c b(a c)+ + ³ + với a, b, c > 0. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 8 
125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd+ + ³ + với a, b, c, d > 0. 
126. Chứng minh rằng nếu cỏc đoạn thẳng cú độ dài a, b, c lập được thành một tam giỏc thỡ cỏc 
đoạn thẳng cú độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giỏc. 
127. Chứng minh 
2(a b) a b
a b b a
2 4
+ +
+ ³ + với a, b ≥ 0. 
128. Chứng minh a b c 2
b c a c a b
+ + >
+ + +
 với a, b, c > 0. 
129. Cho 2 2x 1 y y 1 x 1- + - = . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1. 
130. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1= - - + + - 
131. Tỡm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x= - + + . 
132. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 2A x 1 x 2x 5= + + - + 
133. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 2A x 4x 12 x 2x 3= - + + - - + + . 
134. Tỡm GTNN, GTLN của : ( )2 2a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x= + - = + - 
135. Tỡm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa món a b 1
x y
+ = (a và b là hằng số dương). 
136. Tỡm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. 
137. Tỡm GTNN của xy yz zxA
z x y
= + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 
138. Tỡm GTNN của 
2 2 2x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + +
 biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1+ + = . 
139. Tỡm giỏ trị lớn nhất của : a) ( )2A a b= + với a, b > 0 , a + b ≤ 1 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4B a b a c a d b c b d c d= + + + + + + + + + + + 
 với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 
140. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4. 
141. Tỡm GTNN của b cA
c d a b
= +
+ +
 với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0. 
142. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
2 2a) x 5x 2 3x 12 0 b) x 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1- - + = - = - + - + =
d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2- - + = - - - - = + - + - - =
 h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1+ - - + + - - = + + - = 
2 2 2k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x 2- - = - + + + - = +
2 2m) x 6 x 2 x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5+ = - - + + + = + + + 
( )( )2o) x 1 x 3 2 x 1 x 3x 5 4 2x- + + + - - + = - 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 9 
p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2+ + + + + - + = + + . 
2 2q) 2x 9x 4 3 2x 1 2x 21x 11- + + - = + - 
143. Rỳt gọn biểu thức : ( )( )A 2 2 5 3 2 18 20 2 2= - + - + . 
144. Chứng minh rằng, "n ẻ Z+ , ta luụn cú : ( )1 1 11 .... 2 n 1 1
2 3 n
+ + + + > + - . 
145. Trục căn thức ở mẫu : 1 1a) b)
1 2 5 x x 1+ + + +
. 
146. Tớnh : 
a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5- - - + - + - - -
147. Cho ( )( )a 3 5. 3 5 10 2= - + - . Chứng minh rằng a là số tự nhiờn. 
148. Cho 
3 2 2 3 2 2
b
17 12 2 17 12 2
- +
= -
- +
. b cú phải là số tự nhiờn khụng ? 
149. Giải cỏc phương trỡnh sau : 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3
5 x 5 x x 3 x 3
c) 2 d) x x 5 5
5 x x 3
- - + - = - = + -
- - + - -
= + - =
- + -
150. Tớnh giỏ trị của biểu thức : 
M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21= - + + - + - - 
151. Rỳt gọn : 1 1 1 1A ...
1 2 2 3 3 4 n 1 n
= + + + +
+ + + - +
. 
152. Cho biểu thức : 1 1 1 1P ...
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1
= - + - +
- - - - +
 a) Rỳt gọn P. b) P cú phải là số hữu tỉ khụng ? 
153. Tớnh : 
1 1 1 1
A ...
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
= + + + +
+ + + +
. 
154. Chứng minh : 1 1 11 ... n
2 3 n
+ + + + > . 
155. Cho a 17 1= - . Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000. 
156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3- - < - - - (a ≥ 3) 
157. Chứng minh : 2 1x x 0
2
- + > (x ≥ 0) 
158. Tỡm giỏ trị lớn nhất của S x 1 y 2= - + - , biết x + y = 4. 
159. Tớnh giỏ trị của biểu thức sau với 3 1 2a 1 2aa : A
4 1 1 2a 1 1 2a
+ -
= = +
+ + - -
. 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 10 
160. Chứng minh cỏc đẳng thức sau : 
( )( ) ( )a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1+ - - = + = + 
( )( ) ( )2c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2
2
- + - = + = + - + = -
161. Chứng minh cỏc bất đẳng thức sau : 
5 5 5 5
a) 27 6 48 b) 10 0
5 5 5 5
+ -
+ > + - <
- +
5 1 5 1 1
c) 3 4 2 0,2 1,01 0
31 5 3 1 3 5
ổ ửổ ử+ -
+ - + - >ỗ ữỗ ữ
+ + + -ố ứố ứ
2 3 1 2 3 3 3 1
d) 3 2 0
2 6 2 6 2 6 2 6 2
ổ ử+ - -
+ + - + - >ỗ ữ
+ - +ố ứ
e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1+ - + - - > + - > - 
( ) ( ) 2 2 3 2 2h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,84
+ + -
+ + - + + < < 
162. Chứng minh rằng : 12 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
+ - < < - - . Từ đú suy ra: 
1 1 1
2004 1 ... 2005
2 3 1006009
< + + + + < 
163. Trục căn thức ở mẫu : 
3 3
2 3 4 3
a) b)
2 3 6 8 4 2 2 4
+ +
+ + + + + +
. 
164. Cho 
3 2 3 2
x và y=
3 2 3 2
+ -
=
- +
. Tớnh A = 5x2 + 6xy + 5y2. 
165. Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 2002 2003
2003 2002
+ > + . 
166. Tớnh giỏ trị của biểu thức : 
2 2x 3xy y
A
x y 2
- +
=
+ +
 với x 3 5 và y 3 5= + = - . 
167. Giải phương trỡnh : 26x 3 3 2 x x
x 1 x
-
= + -
- -
. 
168. Giải bất cỏc pt : 
a)
1
3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4
4
+ ³ - ³ + + ³ . 
169. Rỳt gọn cỏc biểu thức sau : 
a 1
a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a
a
-
= - - - = - + - +
2 2 2
2 2 2
x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x
c) C d) D
2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x
+ + - + + + -
= =
- + - - + + -
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 11 
1 1 1 1
E ...
1 2 2 3 3 4 24 25
= - + - -
- - - -
 170. Tỡm GTNN và GTLN của biểu thức 
2
1
A
2 3 x
=
- -
. 
 171. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 1A
1 x x
= +
-
 với 0 < x < 1. 
 172. Tỡm GTLN của : a) A x 1 y 2= - + - biết x + y = 4 ; 
 b) 
y 2x 1
B
x y
--
= + 
 173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997= - = - . So sỏnh a với b, số nào lớn hơn ? 
 174. Tỡm GTNN, GTLN của : 
2
2
1
a) A b) B x 2x 4
5 2 6 x
= = - + +
+ -
. 
 175. Tỡm giỏ trị lớn nhất của 2A x 1 x= - . 
 176. Tỡm giỏ trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1. 
 177. Tỡm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1. 
 178. Tỡm GTNN, GTLN của A x x y y= + biết x y 1+ = . 
 179. Giải phương trỡnh : 2 x 11 x x 3x 2 (x 2) 3
x 2
-
- + - + + - =
-
. 
 180. Giải phương trỡnh : 2 2x 2x 9 6 4x 2x+ - = + + . 
 181. CMR, "n ẻ Z+ , ta cú : 
1 1 1 1
... 2
2 3 2 4 3 (n 1) n
+ + + + <
+
. 
 182. Cho 
1 1 1 1
A ...
1.1999 2.1998 3.1997 1999.1
= + + + + . Hóy so sỏnh A và 1,999. 
 183. Cho 3 số x, y và x y+ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số 
hữu tỉ 
 184. Cho 
3 2
a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2
3 2
+
= - = + + -
-
. CMR : a, b là cỏc số hữu tỉ. 
 185. Rỳt gọn biểu thức : 2 a a 2 a a a a 1P .
a 1a 2 a 1 a
ổ ử+ - + - -
= -ỗ ữ
-+ +ố ứ
 (a >0 ; a ≠ 1) 
186. Chứng minh : a 1 a 1 14 a a 4a
a 1 a 1 a
ổ ử+ - ổ ử- + - =ỗ ữỗ ữ- + ố ứố ứ
. (a > 0 ; a ≠ 1) 
187. Rỳt gọn : ( )
2
x 2 8x
2
x
x
+ -
-
 (0 < x < 2) 
WWW.MATHVN.COM MAI TRỌNG MẬU 
www.MATHVN.com 12 
188. Rỳt gọn : b ab a b a ba :
a b ab b ab a ab
ổ ử- +ổ ử+ + -ỗ ữ ỗ ữ+ + -ố ứố ứ
189. Giải bất phương trỡnh : ( )
2
2 2
2 2
5a
2 x x a
x a
+ + Ê
+
 (a ≠ 0) 
190. Cho ( )2 1 a a 1 a aA 1 a : a a 1
1 a 1 a
ộ ựổ ửổ ử- +
= - + - +ờ ỳỗ ữỗ ữ
- +ờ ỳố ứố ứở ỷ
a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tớnh giỏ trị của A với a = 9. 
c) Với giỏ trị nào của a thỡ | A | = A. 
191. Cho biểu thức : a b 1 a b b bB
a ab 2 ab a ab a ab
ổ ử+ - -
= + +ỗ ữ
+ - +ố ứ
. 
a) Rỳt gọn biểu t

Tài liệu đính kèm:

  • pdfCHUYEN_DE_BD_HSG_TOAN_9.pdf