Một số Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn: Toán

TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang
Bài 1: (6 điểm)
a) Cho 
1. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P
2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2
b) Chứng minh rằng: Với mọi nÎ N thì n + n +1 không chia hết cho 9 
Bài 2: (4 điểm) 
Giải phương trình : 
 Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a + b = a + b = a + b .
 Tính giá trị biểu thức: P = a + b 
Bài 3: (3 điểm)
a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh : 
Bài 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(PÎ AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( QÎ AE)
1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật.
2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng
3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh DEAO đồng dạng với D MPB suy ra K là trung điểm của MP
4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2
- Hết -
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Năm học 2014-2015.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1. (6 điểm)
1.Cho biểu thức: A = 
với x.
 	a. Rút gọn A.
	b. Tìm x để A nguyên.
	2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a 6	
Bài 2. (4 điểm)
Giải phương trình:
	2. Cho các số dương x,y,z thoả mãn 
Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z.
Bài 3. (3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0.
Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c 2015.Chứng minh rằng 
Bài 4. (6 điểm)
	Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.
Chứng minh tích OI.OM không đổi.
Tìm vị trí của M để MAB đều.
Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định.
Bài 5(1điểm)
	Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 (x + y)4 = 40y + 1.
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014-2015.
Môn thi: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 điểm)
a. 
A = 
 = ........= 
b. Vì x 0 
Đồng thời 
A
1
2
3
4
x
9(TM)
1(loại)
(TM)
0(TM)
Kết luận: x 
Ta có a3 + 11a = a3 – a + 12a = a.(a – 1).(a + 1) + 12a.
 Chứng minh a.(a – 1).(a + 1) 2
 a.(a – 1).(a + 1) 3
 a.(a – 1).(a + 1) 6
mà 12a 6 
 a.(a – 1).(a + 1) + 12a 
 Vậy a3 + 11a 6 
2đ
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5đ
1 đ
0,5đ
Bài 2
(4 điểm)
Bài 3
(3 điểm)
1. Điều kiện x 4
 Đặt (a > 0, b 
Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12 
 a + b - 4 = 0 (vì a > 0, b nên a + b + 3 > 0)
Kết luận x = 5
2. 
[(x + 1 )(y + 1)(z + 1)]2 = 476 
Vì x,y,z là các số dương nên (x + 1 )(y + 1)(z + 1) = 24
 x = y = 0,5; z = 5.
 P = x + y + z = 
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
 x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0.
....... (x + y)(x + 2y - 1) = - 3
Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3.
Ta có bảng sau:
x + y
1
-3
-1
3
x + 2y -1
-3
1
3
-1
x
4
-8
-6
6
y
-3
5
5
-3
Kết luận nghiệm (x; y) là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3).
2. Chứng minh 
Mà a > 0, b > 0 nên a + b > 0 và (a – b)2 0 
 (a – b)2(a + b) 0 (1) luôn đúng.
Chứng minh tương tự ta có:
Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
Mà a + b + c Bất đẳng thức được chứng minh
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4
(
d
)
K
I
H
O
M
A
B
Vẽ hình đúng đến câu a
a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) 
 OBMB 
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 
 MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB
 AMB cân tại M có OM là đường phân giác đồng thời là đường cao 
 OMAB 
 OMB vuông tại B có OI là đường cao
 OB2 = OI.OM
 OI.OM = R2 không đổi.
 b) AMB cân tại M (CMT)
Để AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300
OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM 
 OM = 2.OB = 2R
 Kết luận
Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB tại K.
 Chứng minh và đồng dạng
 ..... OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
 Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định
 K cố định
Kết luận
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(1điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1. (1)
Vì x nên (1) viết được dưới dạng:
Chứng minh được 
 2(x + y)2 < 
Suy ra 2(x + y)2 < 20 suy ra x + y 4
Đồng thời x + y là ước của 40y + 1 là số lẻ nên x + y lẻ
 x + y = 3
 40y + 1 = 34 = 81 y = 2 x = 1.
Vậy (x,y) = (1;2)
0,5đ
0,5đ
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ )
 a)
1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, y³ 0 ,y ≠ 1, x+y≠0 
 = 
 ==
2. P=2 Û =2 Û 
 Û
Ta có ³ 1Þ £ 1 Þ .Kết hợp với điều kiện x ≥ 0. Vậy 0£x£4
Þ x Î {0,1,2,3,4}. Thay vào phương trình P=2 ta có:
(x,y)Î {(4,0); (2,2)}
0,5đ.
0,5đ.
1,0đ.
 0,5đ.
 0,5đ.
 0,5đ 
 0,5đ
b) giả sử tồn tại số tự nhiên n để 9
§Æt . V× (1)
Ta cã: 
V× 
 kh«ng chia hÕt cho 9 kh«ng chia hÕt cho 9 (2)
Ta thÊy (1) vµ (2) m©u thuÉn. VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai.
VËy víi th× kh«ng chia hÕt cho 9.
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Bài 2
(4đ)
 1.(2đ) Tìm đúng điều kiện 0£ x£ 
- Đặt Þ Þ 
 Þ 
-Giải ra được đến 
* Với ut=2Þ t=1 hoặc t=2
- Với t=1 Þ x=1
-Với t=2 Þ x=4
* Với ut=6 Þ Pt vô nghiệm
-Kết luận nghiệm
2. (2đ)
Ta có : 
Tính ra P=2
0,25đ
0,5đ
0,5đ.
 0,5đ
 0,25đ
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
0,5đ.
Bài 3
(3đ)
1. Viết được 
Û y là số nguyên lẻ
Mà ³ 0Þ ³ 0Û =1
Thay =1 vào tìm được x=2, x=-4
Thử lại : và trả lời .Có các nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(-4,1) ;(-4,-1)
2. Với x, y, z > 0 . Ta có:
+) (1).
+) (2)
+) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (3)
Xảy ra đẳng thức ở (1), (2), (3)x = y = z.Ta có: 
Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
Dấu “ =” xảy ra 
0,25đ.
0,25đ
0,25đ.
0,25đ
0,25đ
0,25đ.
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4
(6đ)
I
K
B
O
M
Q
E
A
P
x
I
Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại A Þ AE^ AO
Þ DOEA vuông ở A ÞO,E,A Î đường tròn đường kính OE(1)
 Vì ME là tiếp tuyến của đường tròn(0) tại M Þ ME^MO
ÞDMOE vuông ở MÞM,O,E Î đường tròn đường kính OE(2)
(1),(2)Þ A,M,O,E cùng thuộc môt đường tròn
*Tứ giác APMQ có 3 góc vuông :
=> Tứ giác APMQ là hình chữ nhật
b) Ta có : I là giao điểm của 2 đường chéo AM và PQ của hình chữ nhật APMQ nên I là trung điểm của AM.
Mà E là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại M và 
tại A nên theo định lý ta có : O, I, E thẳng
hàng.
c) hai tam giác AEO và PMB đồng
dạng vì chúng là 2 tam giác vuông có 1 góc
bằng nhau là , vì OE // BM
=> (3)
Mặt khác, vì KP//AE, nên ta có tỉ số (4)
Từ (3) và (4) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB,
mà AB = 2.OA => MP = 2.KP
Vậy K là trung điểm của MP.
d) Ta dễ dàng chứng minh được : 
	abcd (*)
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
	MP = 
 Ta có: S = SAPMQ = 
	S đạt max Û đạt max Û x.x.x(2R – x) đạt max 
Û đạt max 
Áp dụng (*) với a = b = c = 
Ta có : 
	Do đó S đạt max Û Û . 
Vậy khi MP= thì hình chũ nhật APMQ có diện tích lớn nhất
0,25đ
.
0,75đ.
0,75đ.
1,5đ.
1,5đ.
1,5đ
Bài 5
(1đ)
Tìmnghiệm nguyên ,dương của phương trình: xy+yz+zx=xyz+2(1)
Do vai trò của x,y,z bình đẳng, nên không mất tính chất tông quát.
Giả sử x³ y³ z³ 1,từ đó suy ra xy+yz+zx£ xy+xy+xy=3xy(2)
(1),(2)Þ 3xyz³ xyz+2
Hay 3xy³ xyz Þ z<3
Do z là một số nguyên dương Þz=1,z=2
+khi z=1Þx+y=2.do x,y nguyên dương Þx=1,y=1
+khi z=2 Þ(y-2)(x-2)=2
 Do x³ y³ z³ 1 Þ 
Trả lời: (x,y,z)=(1,1,1),(4,3,2) 
0,5đ
0,5đ
Phßng GD & §T Thanh Oai
®Ò thi häc sinh giái líp 9
Tr­êng THCS Thanh Thïy
M«n : To¸n
N¨m häc : 2014 -2015
 Thêi gian lµm bµi: 120 phót
 Bµi 1.( 6 ®) Cho biÓu thøc
 P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1)
 a) Rót gän biÓu thøc P
 b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2
 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P
Bµi 2( 4 ®)
Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
x + 4x + 5 = 2 
 x - x - x = 
 2)T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph­¬ng tr×nh.
 x + y + 1 = xyz
Bµi 3( 4®) a) Cho x;y;z lµ 3 sè tháa m·n ®iÒu kiÖn
 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) 
b) Cho x,y,z > 0; x + y + z = 1
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = + + 
Bài 4 ( 5 đ ) Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O)và (O’) với B(O)và C (O’)
	1. Chứng minh OM // O’N.
	2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.
	3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bµi 5( 1®) Kh«ng dïng m¸y tÝnh, b¶ng sè víi 4ch÷ sè thËp ph©n
 CMR sin75 = 
H­íng dÉn chÊm 
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 đ )
 a. P = - + 
 = 
 = 
 = =.....
 = 
 = 
 b. §Æt y = + 
 Û y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ). 
 Û y = 14 - 3y
 Û y +3y -14 = 0 
 Û (y- 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vì y + 2y + 1 + 6 ≥ 6)
 Û ..Û y = 2 Þ x = 4
Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta ®­îc
P = 4
 c. P = = . = +3 + - 6
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ®èi víi 2 sè d­¬ng ta cã
 P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6
P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4 Û +3 = Û x = 4
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5®
0,75đ.
0,25đ.
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,5®
0,5®
0,5®
0,25®
Bài 2
(4đ
 2) Gi¶i pt
a. x + 4x + 5 = 2 ®k : 2x+ 3≥ 0 Þ x ≥ 
 ..Û ( x +1) + ( - 1) = 0 ..
 Gi¶i pt t×m ®­îc x = - 1 ( x= -1).
KL .
0,25®
0,25đ.
0,5đ.
0,25đ
 b. x - x - x = Û 3x - 3x - 3x = 1 
 Û 4x = x + 3x + 3x + 1
 Û 4x = ( x + 1) 
 Û x = x + 1 Û x( - 1) = 1
 Û x = = 
 2)T×m nghiÖm tù nhiªn cña ph­¬ng tr×nh.
 x + y + 1 = xyz (*)
 Ta thÊy x, y b×nh ®¼ng nªn gi¶ sö x ≥ y ta cã 
x = y ta cã (*) Û 2x + 1 = x z 
Û x(xz - 2) = 1
x = 1 vµ z = 3
x > y Ta cã (*) Û 2x +1 > xyz Þ 2x ≥ xyz
Û 2≥ yz ( v× x ≠0)
y = 1 ; z = 2 Þ x = 2 hoÆc y =2 ; z =1 Þ x =3
 nghiÖm cña pt lµ (x ;y ;z) = ( 1 ;1 ;3) ; ( 2 ;1 ;2) ;(1 ;2 ;2) ; (3 ;2 ;1) ;(2 ;3 ;1)
0,25®
0,25®
0,25®
0,25đ.
0,25®
0,25đ.
0,5đ
0,5®
0,5®
Bài 3
(2đ)
a. 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0
 Û 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + 9 + z - 10z +25 = 0 
( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0 
 2x-y-z =0 x =4
 y- 3 =0 Û y = 3
 z- 5= 0 z =5
 VËy ( 4- 4) + ( 3 - 4) + ( 5 - 4) = 0 
b. Do x + y+ z = 1 nªn
 B = ( x + y + z) .B = ( x + y + z) ( + + )
 = 1 + 4+ 9 + ( + ) + ( + ) + ( + )
1đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
0,5®
Áp dụng bất đẳng thức Cosi víi 2 sè d­¬ng ta ®­îc
 + ≥ 4 ; + ≥ 12 ; + ≥ 6 
Þ B ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 = 36
0,25®.
0,25®.
 Min B = 36 Û y = 4x y = 2x x = 
 4z = 9y Û z = 3x Û y = 
 z = 9x x + y + z = 1 z = 
 x + y + z = 1 : 
VËy Min B = 36 khi vµ chØ khi x =  ; y =  ; z = 
0,5®
0,25®
Bài 4
(5đ
 1. = = ( 180 - => OM //O’N
2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’
 Có : 
 Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’
 Do OB // O’C => 
 => P = P’ -> đpcm
3. MNO’C là hình thang có 
 S = 
 Dấu “ = “ xảy ra ó H O ó OM OO’ và O’N OO’
 Vậy Max S = 
2,0đ.
0,75đ.
0,75đ.
1,0đ.
0,5đ.
Bµi 5
( 1®)
 B H
1.VÏ tam gi¸c ABC cã = 90 ; I
 = 15 vµ BC = 2a ( a tïy ý ; a > 0) A 
Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC , ta cã C 
 IA = IB + IC = a vµ = 30
 KÎ AH ^ BC Th× IH = AIcos = a cos 30 = 
 AH = AI sin = a sin 30 = 
 CH = CI + IH = a + = 
 AC = CH + AH = + = a (2 + )
 Þ AC = a 
 Sin 75 = SinB = = = = = . = 
0,25®
0,25®
0,25®
0,5đ.
0,25đ
 D Chó ý: HS lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a