Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - Đề 26 đến 34

Trường THCS Bảo thành
Đề 26
Câu 1: (2,0 điểm) Cho 
Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B.
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0
Câu 3: (2,5 điểm)
Tìm x, y biết : 
b) Giải phương trình : 
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho hai số thực . CMR : 
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn
Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?
Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O.
------Hết------
Đề 27
Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức 
a/ Rút gọn Q
b/ Tính giá trị của Q khi 
Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức 
Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có 
Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
 b/ Cho x +2y = 8 . Tìm giá trị lớn nhất của B=xy 
Bài 5(2đ): Giải phương trình
 b/
Bài 6(2,5đ) 
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB 
Chứng minh đồng dạng với .
Đề 28
Câu 1: (4,0 điểm)
 1. Cho biểu thức: 
 a) Rút gọn biểu thức .; b) Tìm m để có x thỏa mãn .
 2. Cho hàm số: . Tìm với 
Câu 2: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: 
Câu 3: (4,0 điểm)
Tìm các số thực x sao cho và đều là số nguyên.
Cho ba số thực thoả mãn . Chứng minh rằng:
 Nếu thì trong ba số có duy nhất một số lớn hơn 1.
Câu 4: (6,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.
 Giả sử BPC = 1350. Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2. 
2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1. 
 Chứng minh rằng SABC (SABC là diện tích tam giác ABC).
Câu 5: (2,0 điểm)
Với x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Đề 29
Bài 1: (4,0 điểm)
 Cho biểu thức: . Với x > 0, x 1.
Rút gọn biểu thức P.; b, Tìm x để .; c, So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức: . 
 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 
và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013.
Bài 3: (4,0 điểm)
Giải phương trình: .
Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 4: (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC, 
 E AB, F AC).
Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B.
Chứng minh rằng: .
Chứng minh rằng: .
Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.
Bài 5: (2,0 điểm)
 Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
Đề 30
Bài 1: (6 điểm).
1. Cho biểu thức: 
 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
2. Tính giá trị của biểu thức: 
 Với 
Bài 2: (4đ)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
2. Cho và thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3: (4đ)
1. Giải phương trình: 
2. Cho a,b,c khác không và . Tính giá trị của biểu thức 
Bài 4.(5đ) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R).C là một điểm thay đổi trên đường tròn(C khác A và B),kẻ CH vuông góc với AB tại H.Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M,MB cắt CH tại K.
Chứng minh 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
Chứng minh K là trung điểm của CH
Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Bài 5. (1đ) Tìm nghiệm nguyên tố của PT 
Đề 31.
Bài 1 (2,0 điểm) 
	Cho biểu thức: A = 
	Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm) 
	Giải các phương trình: 
	a.
	b. 
Bài 3 (1,5 điểm) 
	a. Cho . 
	Tính với 
	b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
Bài 4 (1,5 điểm) 
Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 
và 
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.
b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.
	Chứng minh rằng 
Bài 5 (3,0 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.
c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và .
Đề 32
Bài 1: 
Tìm số tự nhiên n để:
 a) A = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.
 b) B = có giá trị là một số nguyên.
 c) D = n5 – n + 2 là số chính phương (n2).
Bài 2: 
Cho biểu thức: P = 
a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm giá trị của a sao cho P < 1.
c. Tính gúa trị P nếu .
Bài 3. 
	1. Giải PT sau:
	2. Tìm nghiệm nguyên của PT: 
a). 
 b). 
Bài 4 : 
Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a. Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M D; M C ) chọn điểm N trên cạnh BC sao cho góc MAN = 45O, DB cắt AM, AN theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng góc AFM = góc AEN = 90O.
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AEF bằng một nửa diện tích tam giác AMN.
Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC.
Bài 5 : 
Cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng : 
 	T = + + 
Đề 33.
Bài 1:
1. Cho 
Tìm ĐKXĐ và rút gọn ; b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2. Chứng tỏ rằng  là nghiệm của phương trình: 
Bài 2 :
1. Giải các phương trình sau:
Giải phương trình : 
Giải phương trình : x2 + 2x + 15 = 6
2. Cho a > 0, b > 0 và a + b . Tìm GTNN của biểu thức A = 
3. Tìm số tự nhiên n để n + 21 và n – 18 là hai số chính phương.
4. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 3: 
 Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số)
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d có giá trị bằng 2
Bài 4 :
Cho đường tròn ( O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh:
CI = CK; b) CH2 = AI . BK; c) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK.
Bài 5: 
Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R. Tìm 
 điểm M trên đường tròn sao cho tổng MA+MB đạt GTNN? 
HẾT
Đề 34
Bài 1: (4điểm) Thu gọn các biểu thức.
 a) A = b) B = 
Bài 2: (6điểm) Cho biểu thức: 
 M = 
 a) Rút gọn biểu thức M.; b) Tìm x để M > -2.
 c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 3: (5điểm)
 a) Cho các số a,b,c nguyên thõa mãn;
 .
 Chứng minh rằng: M = ( 1 + a2 ).( 1 + b2 ).( 1 + c2 ) là số chính phương.
Giải phương trình:
Bài 4: (4điểm)
Cho ABC, Â = 900 biết AH BC,trung tuyến BM và phân giác CD đồng quy tại I
CMR: . ; b) So sánh BH và AC. 
Bài 5: (1điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 P = ( x4 +1 ).( y4 +1 ), biết x,y > 0 và x + y =