Một số bất đẳng thức thường dùng trong chương trình THPT

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT
1.Bất đẳng thức cô sy cho 2 số a, b không âm : , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
 Bất đẳng thức cô sy cho 3 số a, b, c không âm : , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2.Bất đẳng thức BunhiaCopsky cho 4 số a, b , x , y tùy ý :; = khi 
 BĐT BunhiaCopsky cho 6 số a, b, c , x , y, z tùy ý :; = khi 
 Hệ quả: Nếu là các số thực và là các số dương thì:
 * ; * ; * 
3.Bất đẳng thức Vector: Xét vector 
 *Ta có hay là 
 Dấu = xảy ra khi cùng hướng 
 *Ta có hay là 
 Dấu = xảy ra khi cùng hướng 
4.Một số bất đẳng thức hay sử dụng: Với là các số không âm. Khi đó ta có:
 * * *
 * * * 
5.Một số hằng đẳng thức : 
 * 
 * 
 * 
 * 
Bài 2: Cho là các số dương thỏa mãn 
Bài 3: Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 4: Cho .CMR: 
Bài 5: Cho . CMR: 
Bài 6: Cho .Tìm GTNN của 
Bài 7: Cho 
Bài 8: Cho 
Bài 9: Cho 
Bài 10: Cho Tìm GTLN của 
Bài 11: Cho .Tìm GTNN của 
Bài 12: Cho .Tìm GTNN của 
Bài 13: Cho . Tìm GTNN của 
Bài 14: Cho 
15.	Cho , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 16.	Cho . Định x để y đạt GTNN.
17.	Cho . Định x để y đạt GTNN. 18.	Cho . Định x để y đạt GTNN.
19.	Cho , 0 0 . Định x để y đạt GTNN.
21.	Tìm GTNN của , x > 0. 22.	Tìm GTNN của , x > 0.
23.	Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 24.	Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
25.	Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN
28.	Cho y = (2x + 5)(5 – x) , . Định x để y đạt GTLN
27.	Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , £ x £ . Định x để y đạt GTLN
LUYỆN TẬP BỔ SUNG
1)Cho a,b,c 0 . CMR: 
2) Cho a, b, c . CMR: 
3) cho a,b,c > 0 và . Cmr: 
4) Cho a,b,c > 0 , Cmr: 
5) Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ca = 3. cmr: 
2.Một số phép biến đổi cơ bản
 a) Nhóm đối xứng:phép biến đổi này thường được sử dụng để hạ bậc từng vế bất đẳng thức.
6) Cho a,b,c > 0 . Cmr: 
 b) Khử căn: 
7) Với . Cmr: 
8) Cho a,b,c,d 0, và a+b+c+d = 1 cmr: 
9) Cho a,b,c, 0, cmr: 
 c) nhóm theo các hệ số có tổng bằng 1
10) Cho a,b,c 0 . Cmr
 d) nhóm theo bậc
11) Cho a,b,c > 0 . Cmr: 
12) Cho a,b,c > 0 . Cmr 
 e) đổi biến:
13) Cho a,b,c > 0 và abc = 1. Cmr: 
14) Cho a,b,c > 0 và abc = 1. Cmr: 
3.Dạng lũy thừa
15) Cho a,b .cmr: 
16) Cho a,b,c .cmr: 
17) Cho a,b .cmr: 
18) Cho a,b .cmr: 
19) Cho a,b .cmr: 
20) Cho a,b,c .cmr: AD: Giải pt: a) 
21) Cho a,b,c .cmr 
4. Dạng cộng mẫu số
Ta gọi bất đẳng thức là BĐT dạng cộng mẫu số
22) Cho a,b,c > 0 .Cmr 
23) Cho a,b,c > 0 .Cmr 
24) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr : 
25) Cmr: với là độ dài ba đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
26) Cho a,b,c > 0 .Cmr 
27) Cho a,b,c > 0 .Cmr 
 * Cho Thì : , , 
28) Cho a,b,c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 .Cmr 
 * Cho a > 0. Ta có , , 
29) Cho 0 < a,b,.c < và a+b+c = 1. cmr:
 * Cho a > 0 Cmr: , , 
30) Cho a,b,.c > và a+b+c = 3. cmr 
31) Cho a,b,c và Cmr: 
32) Cho a,b,c > 0. và ab + bc + ca = 1 Cmr: 
33) Cho a,b,c > 0. và a4 +b4 + c4 = 48 Tìm GTLN của P = ab2 + bc2 + ca2 
34) Cho a,b,c > 0. và . Cmr: 
35) Cho a,b,c > 0. và a + b + c = 3 .Cmr: 
36) Cho a,b,c > 0. và a4 + b4 + c4 = 1 .Tìm GTLN của P = 
37: Cho CMR: 
 Ta có TT, cộng ..
38: Cho 
 Ta có TT cộng 
39: Cho Tìm GTLN của 
 Ta có và TT 
 ..
40: Cho Tìm GTLN của 
 Rút gọnđặt , 
40: Cho 
 Ta có 
 nên VT, TT suy ra đpcm