Lý thuyết Chương III môn Hình học Lớp 7

LÝ THUYẾT HÌNH HỌC CHƯƠNG 3 Luyện mãi thành thài, miệt mài tất giỏi 
 Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Trang 1 
LÝ THUYẾT TAM GIÁC & CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY ! 
i-QUAN HÖ GI÷A GãC Vµ C¹NH §èI DIÖN TRONG MéT TAM GI¸C 
*) Gãc ®èi diÖn víi cạnh lín h¬n. 
Định lý: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn 
hơn. 
 VD: Trong , ta thấy cạnh BC lớn nhất, nên góc đối diện là lớn nhất; nên . 
*) C¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n. 
Định lý: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. 
VD: Trong , ta thấy lớn nhất nên cạnh đối diện là BC lớn nhất;nên . 
 **Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối 
diện với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất. 
II- QUAN HÖ GI÷A §¦êNG VU¤NG GãC Vµ §¦êNG XI£N, §¦êNG XI£N Vµ H×NH 
CHIÕU. 
 Kh¸i niÖm ®êng vu«ng gãc, ®êng xiªn, h×nh chiÕu cña ®êng xiªn: 
AH: là ®êng vu«ng gãc ( hay đoạn vuông góc) tõ A ®Õn d. 
AB: là ®êng xiªn kẻ tõ A ®Õn d. 
H: là chân của đường vuông góc hay h×nh chiÕu cña A trªn d. 
HB: là h×nh chiÕu cña ®êng xiªn AB trªn d. 
 Quan hÖ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ 
một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. 
VD: Trên hình bên ta thấy rõ AH < AB. 
 C¸c ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu cña chóng. 
Troná âai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: 
 Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. 
 Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. 
 Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; và ngược lại, nếu hai hình chiếu 
bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 
VD: a) Neáï HB>HC=>AB>AC 
 b) Neáï AB>AC=>HB>HC 
 c) Neáï HB=HC=>AB=AC 
 d) Neáï AB=AC=>HB=HC 
III- QUAN HÖ GI÷A BA C¹NH CñA MéT TAM GI¸C. BÊT §¼NG THøC TAM GI¸C 
 BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c. 
 §Þnh lÝ: Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn l¹i. 
GT ABC 
KL AB + AC >BC 
AB + BC >AC 
AC + BC > AB 
 HÖ qu¶ cña bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c: 
HÖ qu¶: Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng nhá h¬n c¹nh cßn l¹i. 
*NhËn xÐt: Trong mét tam gi¸c, ®é dµi mét c¹nh bao giê còng lớn hơn hiệu và nhá h¬n tæng c¸c ®é 
dµi cña hai c¹nh cßn l¹i: VD: AB - AC < BC < AB + AC 
LÝ THUYẾT HÌNH HỌC CHƯƠNG 3 Luyện mãi thành thài, miệt mài tất giỏi 
 Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Trang 2 
IV: TÝNH CHÊT BA §¦êNG TRUNG TUYÕN CñA TAM GI¸C 
 §ường trung tuyÕn cña tam gi¸c: §o¹n th¼ng AD nèi ®Ønh A víi trung ®iÓm D 
cña cạnh BC gäi lµ ®êng trung tuyÕn ( xuất phát từ đỉnh A hoặc øng víi cạnh 
BC) cña ABC. Đôi khi, đường thẳng AD cũng gọi là đường trung tuyến của 
ABC. 
- Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến. 
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa 
cạnh huyền. 
 TÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c. 
§Þnh lÝ: Ba ®êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. 
§iÓm ®ã c¸ch mçi ®Ønh mét kho¶ng c¸ch b»ng ®é dµi ®êng trung tuyÕn 
®i qua ®Ønh Êy. 
VD: Trong ABC, ta thấy các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi 
qua điểm G (hay còn gọi là đồng quy tại điểm G). Khi đó, điểm G gọi là 
trọng tâm của ABC. 
V- TÝNH CHÊT TIA PH¢N GI¸C CñA MéT GãC 
 §Þnh lý vÒ tÝnh chÊt c¸c ®iÓm thuéc tia ph©n gi¸c (định lý thuận): Điểm nằm 
trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. 
 §Þnh lý ®¶o: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của 
góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.VD: 
 Nhận xét: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai 
cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. 
V- TÝNH CHÊT BA §¦êNG PH¢N GI¸C CñA TAM GI¸C 
- Mỗi tam giác có 3 đường phân giác. 
- Trong ABC cân tại A, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A đối diện với đáy BC, đồng thời là 
đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này. 
*) TÝnh chÊt ba đường ph©n gi¸c cña tam gi¸c. 
Định lý: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. 
Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác đó. 
*) Vì giao điểm I của 3 đường phân giác của ABC cách đều 3 cạnh của 
tam giác đó, nên có 1 đường tròn tâm I đi qua ba điểm L, K, H. Ta gọi 
đường tròn đó là đường tròn nội tiếp ABC. 
LÝ THUYẾT HÌNH HỌC CHƯƠNG 3 Luyện mãi thành thài, miệt mài tất giỏi 
 Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Trang 3 
VI - TÝNH CHÊT §¦êNG TRUNG TRùC CñA MéT §O¹N TH¼NG 
 §Þnh lý vÒ tÝnh chÊt c¸c ®iÓm thuéc đường trung trùc (®Þnh lÝ thuËn): §iÓm 
n»m trªn đường trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng th× c¸ch ®Òu hai mót cña ®o¹n 
th¼ng ®ã. 
 §Þnh lý ®¶o: §iÓm c¸ch ®Òu hai mót cña ®o¹n th¼ng th× n»m trªn đường trung 
trùc cña ®o¹n th¼ng ®ã. 
**Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều 2 mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn 
thẳng đó 
VII- TÝNH CHÊT BA §¦êNG TRUNG TRùC CñA MéT TAM GI¸C. 
 Đường trung trùc cña tam gi¸c: Trong một tam giác, đường trung trực 
của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó. 
VD: a là đường trung trực ứng với cạnh BC của ABC 
-Mỗi tam giác có 3 đường trung trực. 
-Trong tam giác bất kỳ, đường trung trực của một cạnh không nhất thiết đi 
qua đỉnh đối diện với cạnh ấy. Tuy nhiên trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy 
luôn đi qua đỉnh đối diện với cạnh đó. Ta có tính chất: “troná moät tam áiaùc caân, ñö ôøná trïná trö ïc 
của caïnâ ñaùy ñoàná tâôøi æaø ñö ôøná trïná tïyeán ö ùná vôùi caïnâ này”. 
*) TÝnh chÊt ba đường trung trực cña tam gi¸c. 
§Þnh lÝ: Ba đường trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. 
§iÓm nµy c¸ch ®Òu 3 ®Ønh cña tam gi¸c ®ã. 
*) Chú ý: Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của ABC cách đều 3 
đỉnh của tam giác đó nên có 1 đường tròn tâm O đi qua 3 đỉnh A, B, C. 
Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp ABC. 
VIII- TÝNH CHÊT BA §¦êNG CAO CñA TAM GI¸C 
 §êng cao cña tam gi¸c: Troná moät tam áiaùc, ñoaïn vïoâná áoùc åeû tö ø một ñænâ ñeán đường thẳng 
chứa caïnâ ñoái dieän áoïi æaø ñö ôøná cao cïûa tam áiaùc đó. 
VD: AH là một đường cao của ABC. Ta còn nói AH là đường cao 
xuất phát từ đỉnh A (của ABC). 
 TÝnh chÊt ba ®êng cao cña tam gi¸c: Ba ñö ôøná cao cïûa tam áiaùc 
cïøná ñi qïa moät ñieåm. 
VD: 3 đường cao AI, BK, CL cùng đi qua (đồng quy tại ) điểm H. 
Điểm H gọi là trực tâm của ABC. 
*Chú ý: + Tam gi¸c nhän: trùc t©m trong tam gi¸c. 
 + Tam gi¸c vu«ng: trùc t©m trïng ®Ønh gãc vu«ng. 
 + Tam gi¸c tï: trùc t©m ngoµi tam gi¸c. 
 Các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác 
cân. 
 Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng 
thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng 
xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. 
LÝ THUYẾT HÌNH HỌC CHƯƠNG 3 Luyện mãi thành thài, miệt mài tất giỏi 
 Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Trang 4 
 Trong một tam giác, nếu 2 trong 4 loại đường (đường trung tuyến, 
đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung 
trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là 
tam giác cân. 
 NÕu 1 tam gi¸c cã hai ®êng cao b»ng nhau lµ tam gi¸c c©n. 
**NÕu 1 tam gi¸c cã ba ®êng cao b»ng nhau th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c 
®Òu. 
**Trong tam giác đều : trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và 
cách đều 3 cạnh là bốn điểm trùng nhau.