Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp quận vòng 2

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
 QUẬN LONG BIÊN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN VÒNG 2
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: Toán
Ngày thi: 27 / 11 /2014
Thời gian làm bài: 150 phút 
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: .
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 
Câu 2: (4,0 điểm) 
a)Chứng minh rằng : 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n 24 với mọi n là số tự nhiên.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức x4 - x2 + 2x + 2 là số chính phương..
c) Chứng minh rằng : 
Câu 3. (4,0 điểm) 
 Cho hàm số ( x là ẩn , m là tham số ; m ¹ 3).
Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (-2;2).
Biết rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm cố định đó.
Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.
Câu 4: (6 điểm ) 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính BC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Biết BC=20cm; 
	a) Tính độ dài AB; AC.
	b) Đường tròn đường kính AH cắt (O) , AB, AC lần lượt tại M; D; E. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh 3 điểm A, M; K thẳng hàng.
	c) Chứng minh 4 điểm B; D; E; C cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5: (2 điểm ) Trong mặt phẳng cho 2015 điểm phân biệt sao cho trong 3 điểm bất kì trong 2015 điểm đã cho luôn tồn tại 2 điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1008 điểm trong 2015 điểm đã cho (hình tròn ở đây kể cả biên)
––––––––––Hết––––––––––
Chú ý: : Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
 Phần Hình học không sử dụng các kiến thức chương III- Toán 9.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 VÒNG 2
Năm học 2014-2015
TT
Nội dung
Điểm
Câu 1
4đ
a
ĐKXĐ: (*) 
0,5
Rút gọn được : 
2,0
b
Biến đổi được x = 2.
Thay vào biểu thức tính được 
1,5
Câu 2
4đ
a
Biến đối được A=n(n-1)(n-2)(3n-5)
Khai triển thành : A=3n(n-1)(n-2)(n-3)+4n(n-1)(n-2)
Do n-2; n-1; n là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3.
Lập luận để khẳng định được A chia hết cho 6.
Suy luận được 4n(n-1)(n-2) chia hết cho 24.
Do n(n-1)(n-2)(n-3) là tích 4 số nguyên liên tiếp vì vậy có 2 số chẵn liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 , số còn lại chia hết cho 4 . Vậy tích chia hết cho 8.
Suy luận được 3n(n-1)(n-2)(n-3) chia hết cho 24.
Vậy A chia hết cho 24.
1,5
b
Biến đổi đẳng thức x4 - x2 + 2x + 2
 = (x+1)2 [(x-1)2+1] (*) 
0,5
Nếu (x+1) 2 =0 và [(x-1)2+1] tùy ý lập luận suy được x= - 1
Nếu [(x-1)2+1] ≠ 0 thì [(x-1)2+1] là số chính phương
Đặt [(x-1)2+1] =y2 ( y Î N) lập luận để suy được x=1
1.0
Sử dụng phép biến đổi liên hợp chứng minh được 
Thay số áp dụng với k=2 ; k=3k=100
Lập luận để suy được 
1,0
Câu 3
4đ
a
Hàm số (với m khác 3).
Tìm được m=6 (thỏa mãn)
1,5 đ
b
Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua M(x0;y0) 
Khi đó với mọi m.
Đưa về với mọi m khác 3 
ó 
 Tìm được M(-1;5)
Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định M(-1;5)
0.75
0.75
c
Xác định được giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là 
Xác định được giao điểm của đồ thị đã cho với trục tung là 
Khi đó tam giác AOB vuông tại O
Nên 
Đưa về (1)
+) Nếu 3-m>0 hay m<3 thì:
ó 4+4m+m2 = 4(3-m)
Đưa về m2 +8m -8 = 0 
Hay (m+4)2 =24
Tìm được 
+) Nếu 3-m3 thì:
4+4m+m2 = 4(m-3)
Đưa về m2 +16 = 0 (không có giá trị m thỏa mãn).
Kết luận: Với thì đồ thị hàm số đã cho cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 4
6đ
1
4,5đ
Hình vẽ
 Học sinh vẽ hình đúng đến câu a :
0.25
a
b
c
* Chứng minh được tam giác ABC vuông tại A, suy luận được 
AB=12cm; AC=16cm 
1,75
Gọi F là tâm được tròn đường kính AH
Mà góc DAE=900 nên DE là đường kính của đường tròn (F)
=> D, E, F thẳng hàng.
(O) và (F) cắt nhau tại A và M nên OF là trung trực của AM
=> OF vuông góc với AM (1)
Gọi N là giao điểm của OA và DE
Suy luận được KN ^ OA
Chứng minh được F là trực tâm của tam giác KAO
Suy ra OF ^ KA (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2,0 
Gọi I là giao điểm của hai đường trung trực DE và BC
Suy luận được AF//OI và IF//OA để chứng minh được FAOI là hình bình hành
=> IF=OA; FA=OI
Chứng minh được DIFE= D COI (c.g.c) => IE=IC
Lập luận để suy luận được IB=ID=IE=IC suy đc ĐPCM
2,0 
Câu 5
2đ
Gọi A là một trong 2015 điểm đã cho. Vẽ đường tròn (A;1). Nếu các điểm nằm trong đường tròn (A; 1 ) suy được đpcm.
Xét điểm B năm ngoài hình tròn (A;1) do đó AB>1 . Vẽ (B;1) rõ ràng các điểm còn lại nắm trong hai hình tròn (A;1) và (B; 1)
Thật vậy, giả sử có một điểm C không thuộc hai hình tròn trên có AC>1 , BC>1 như vậy tam giác ABC có AB>1; AC>1, BC>1 mâu thuẫn với giả thiết . Theo nguyên lý Đi - rich-le tồn một hình tròn chứa 1008 điểm trong 2015 điểm đã cho.
1.0
1.0
Học sinh giải cách khác đúng sẽ cho điểm tương đương.