Kiểm định chất lượng học sinh giỏi lớp 7 năm học 2014 - 2015 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
Hướng dẫn chấm
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2014 - 2015
Môn: Toán 
Ngày 14 tháng 4 năm 2015
(Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu)
Câu
Nội dung
Điểm
1
(4,0đ)
1. 
2,0
2. Ta có: 
Suy ra: 
Do đó, ta có: 
Vậy 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
2
(4,0đ)
1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được:
Suy ra: 
Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 
Thay vào hai đẳng thức đã cho ta được 
0,75
0,25
0,5
0,5
2. Từ suy ra x – 3 và x + cùng dấu.
Dễ thấy x – 3 < x + nên ta có:
x – 3 và x + cùng dương x – 3 > 0 x > 3.
x – 3 và x + cùng âm x + < 0 x < -. 
 Vậy x > 3 hoặc x < - .
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
3
(5,0đ)
1. Ta có: 
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Từ đó suy ra: 
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi 
0,75
0,25
0,75
0,25
2. Vì p(x) 5 với mọi x nguyên nên p(0) = d 5.
p(1) = a + b + c + d 5 (1)
p(- 1) = - a + b - c + d 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(b + d)5 và 2(a + c)5 . 
Vì 2(b + d)5, mà (2, 5) = 1 nên b + d 5 suy ra b5.
p(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 mà d 5; b5 nên 8a + 2c 5.
Kết hợp với 2(a + c)5 6a 5 a 5 vì (6, 5) = 1. Từ đó suy ra c 5.
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,250,250,250,25
3. Vì nên (1)
 Tương tự, ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(5,0đ)
1. 
Tam giác ABC cân tại A nên (đối đỉnh)
Do đó: .
0,75
0,75
2. Ta có 
Vì BD = CE nên BC = DE .
Lại có DI < MI, IE < IN nên DE = DI + IE < MI + IN = MN
Suy ra BC < MN.
0,5
0,75
0,25
3) Ta chứng minh được: 
Ta lại có: BM = CN. Do đó 
, Mà: suy ra , mà đây là hai góc kề bù nên COAN.
Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 
0,75
0,5
0,5
0,25
5
(2,0đ)
Ta có đẳng thức: với mọi a, b.
Kết hợp với: 
Suy ra: 
Do đó 
0,5
0,5
0,5
0,5
Chú ý: 
Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.