Khảo sát học sinh giỏi - Chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện Môn thi: Toán học

TRƯỜNG THCS 
TIÊN PHONG
Khảo sát học sinh giỏi -chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện 
 Năm học : 2012 - 2013
Môn thi : Toán học
(Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
	Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
	 (y + 2)x2 + 1 = y2
Câu 2: ( 5 điểm)
	Cho x; y là các số dương.
Chứng minh: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3: (5 điểm)
Xác định x R để biểu thức: là số tự nhiên.
Cho biểu thức: 
 Biết x.y.z = 4, Tính .
Câu 4: ( 5 điểm)
	Cho ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi qua điểm A. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy.
Trong trường hợp BC cắt xy tại G, hãy chứng minh rằng:
 AG.(BE + CF) = 2S
Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó.
Câu 5:(2 điểm)
	Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
 Chứng minh rằng nếu a2 + b2 > 5 c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
Hết
Họ và tên thí sinh: ., số báo danh:.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Hướng dẫn chấm
Câu 1: (3 điểm)
	Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức
 (y + 2)x2 + 1 = y2
Đáp án
Thang điểm
(y + 2)x2 + 1 = y2 (y +2)x2 = y2 - 1 (1)
Khi y = -2 phương trình vô nghiệm. 
Khi y -2 ta có: x2 = 
1
Vì ( x,y) là nghiệm nguyên nên: 
(tức là y+2 chỉ có thể nhận các giá trị 
1
-Với y+2 = 1=> y = -1 thì (2) có dạng: x2 = 0 x = 0 (TM)
-Với y+2 = -1=> y = -3 thì (2) có dạng: x2 = -8 (Loại) 
-Với y+2 = 3=> y = 1 thì (2) có dạng: x2 = 0 x = 0 (TM)
-Với y+2 = -3=> y = -5 thì (2) có dạng: x2 = -8 (loại)
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là: x = 0; y= -1 và x = 0; y =1
1
Câu 2: ( 5 điểm)
	Cho x; y là các số dương.
Chứng minh: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đáp án
Thang điểm
a) Vì x > 0, y > 0 nên và 
 Áp dụng bất đẳng thức: a+b dấu “ =” xảy ra a = b
0,5
0,5
 Ta có: 
0,5
 Vậy: 
0,5
Dấu “ =” xảy ra x2 = y2x = y (vì x > 0, y > 0)
0,5
b) Đặt a = , ta có M = 
0,5
 Vì a = nên 
0,5
 Ta có: 
0,5
Do đó: M =; M= a = 2x = y
0,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của M = khi và chỉ khi x = y
0,5
Câu 3: (5 điểm)
Xác định x R để biểu thức: là số tự nhiên.
Cho biểu thức: 	
 Biết x.y.z = 4, Tính .
Đáp án
Thang điểm
a) Ta có: =
1
A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = ( trong đó kZ và k0)
1
Ta có: Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hợp với x.y.z =4 ta được:
X,y,z > 0 và 
1
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với ; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi ta được: 
2
 => P = 1 vì P > 0
1
Câu 4: ( 5 điểm)
	Cho ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi qua điểm A. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy.
 a)Trong trường hợp BC cắt xy tại G, hãy chứng minh rằng:
 AG.(BE + CF) = 2S
 b)Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó.
Đáp án
Thang điểm
A
B
C
F
D
E
K
A
B
C
F
E
G
Ta có: 
SABC = S = SAGB + SACG
 = BE.AG + CF.AG
2S = AG.(BE + CF)
 (đpcm)
1
+ Nếu xy cắt cạnh BC tại G
Ta có: 2S = AG(BE + CF) => BE + CF = 
Vì 2S không đổi nên (BE +CF) nhỏ nhất khi AG đạt giá trị Max
Vậy AG lớn nhất nếu AG là độ dài lớn nhất của một trong hai cạnh AB, AC.
-Nếu ACAB thì AG = AC thì max AG = AC và min (BE + CF) bằng độ dài đường cao hạ từ đỉnh B xuống AC.
 -Nếu ACAB thì max AG = AB và min(BE + CF) bằng độ dài đường cao hạ từ đỉnh C đến AB.
Vậy khi đó xy đi qua cạnh lớn trong hai cạnh AB; AC.
2
 +Nếu xy không cắt BC.
Trên tia đối của tia Ab lấy điểm D sao cho AB = AD.
Xét ACD có đường xy cắt cạnh CD. Vẽ DK xy
Theo trường hợp 1: min(CF + DK) = hc hoặc min (CF + DK) = hd
Ta có: ABE = ADK ( cạnh huyền - góc nhọn) => BE = DK hay hd = hb
Min( CF + DK) = min(BE +CF) = hb khi AC AB
Min( CF + DK) = min(BE +CF) = hb khi AC AB
Khi đó xy đi qua cạnh lớn trong hai cạnh AB; AC.
2
Câu 5:(2 điểm)
	Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác
 Chứng minh rằng nếu a2 + b2 > 5 c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
Đáp án
Thang điểm
Giả sử c không là cạnh nhỏ nhất, chẳng hạn có a c
0,5
a2 c2 (1) và theo bất đẳng thức tam giác có b < ( a+c)
hay b2 < (a+c)2 (c+c)2 = 4c2 (2)
1
Từ (1) và (2) ta có: a2 + b2 < c2 + 4c2 = 5c2; trái giả thiết.
Vậy c là độ dài cạnh nhỏ nhất. 
0,5