Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio tính nhanh Nguyên hàm - Tích phân

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 
 Chỉnh máy: 
 sai số cực nhỏ 9 chữ số thập phân - Bấm: Shift – mod - 9 
 Thông thường đơn vị rad - Bấm: Shift – mod - 4 
1. Bài 1: Tìm nguyên hàm  F x của hàm số  f x : 
Trong đó: 
  f A : gíá trị của  f x tại x A ( A là hằng số bất kỳ thuộc tập xác định và A lấy giá trị 
bé 0,1; 0,2,0,31;1,1 ) 
  iF x : các kết quả nguyên hàm. 
Ví dụ1: 
 25 1
;
22 1
x x
dx x
x

 
 bằng. 
A.  2 1 2 1x x x C    B.  2 1 2 1x x x C    
C.  2 1 2 1x x x C    D.  2 1 2 1x x x C    
 Bước 1: Nhập: 
   
2
2
5
1 2 1
2 1 x A
A A d
x x x
dxA 

   

 ( RCL – A ; Shìt 


 ) 
 Bước 2: Gán x = A = 1 hoăc 0,1 ( bấmCALCA) cho kết quả khác 0 ta loại ngay đáp 
án đó Loại A 
Thay  iF x bởi đáp án B và gán A như trên ta nhận kết quả khác 0Loại B 
Thay  iF x bởi đáp án C và gán A như trên ta nhận kết quả bằng 0; chắc ăn kiểm tra 
thêm vài giá trị của A như 0; 0,2; 0,5, 1 
Chọn C. ( Không nên gán x = A giá trị quá lớn máy sẽ chữi đấy) 
Ví dụ 2: sin cosx x xdx bằng 
A. 
1 1
sin 2 os2
2 4 2
x
x c x C
   
 
 B. 
1 1
sin 2 os2
2 2 4
x
x c x C
    
  
C. 
1 1
sin 2 os2
2 4 2
x
x c x C
   
 
 D. 
1 1
sin 2 os2
2 2 4
x
x c x C
    
 
 1sin cos sin 2 cos2
8 4 x A
d x
A A A x x
dx 
 
  
  
 Gán A = 0,1 Cho kết quả bằng 0 - kiểm tra vài giá trị khác như 0,2; 0,3; 0,5 ta nhận kq 
đều bằng 0 
Chọn A. 
Ví dụ3: 
 2
2
1 ln
dx
x x


 ( 0x  )bằng. 
A.   1 ln
1 ln
x
F x C
x

 

 B.   1 ln
1 ln
x
F x C
x

 

C.   ln 1
1 ln
x
F x C
x

 

 D. 
1
2
 
 
 2
2 1 ln
1 ln1 ln x A
d x
dx xA A 
     
 gán A = 0,1 nhận kết quả khác 0 loai đáp án A 
cú pháp:
   ( )i
x A
d
f A F x
dx 
 
 
 2
2 1 ln
1 ln1 ln x A
d x
dx xA A 
     
 gán A = 0,1 nhận kết quả bằng 0 chọn đáp án B 
Bài 2: Tìm 1 nguyên hàm  F x của hàm số  f x ,biết  0F x M 
Vi dụ 4: 
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 
3 2
2
x 3x 3x 1
f (x)
x 2x 1
  

 
 , biết 1F(1)
3
 . 
A.  
2 2 6
2 1 13
x
F x x
x
   
 
B.  
2 2
2 1
x
F x x
x
  

C.  
2 2 13
2 1 6
x
F x x
x
   

 D.  
2 2 13
2 1 6
x
F x x
x
   

 
2 3 2
2
1
2 6 3 3 1
2 1 13 2 1
A
A x x x
A
A x x
  
   
   gán A = 0,1; 1 đều nhận kết quả khác 0 loai đáp 
án A 
 
2 3 2
2
1
2 13 3 3 1
2 1 6 2 1
A
A x x x
A
A x x
  
   
   gán A = 0,1; 1 nhận kết quả 0, kiểm tra thêm
Chọn D. 
Vi dụ 5: Tìm1nguyên hàm F(x) của hàm số 5f (x)
5sin x 3cosx 3

 
 ,thỏa F( ) 3ln 2
2

 . 
A.   3ln 5tan 3
2
x
F x  
B.   ln 5tan 3
2
x
F x   
C.   ln 5tan 3 2ln 2
2
x
F x    D.   3ln 5tan 3
2
x
F x  

2
5
3ln 5tan 3 3ln 2
2 5sin 3cos 3
AA
dx
x x
  
  gán A = 0; 0,1 nhận kết quả khác 0 loại đáp 
án A 

 2
5
ln 5tan 3 3ln 2
2 5sin 3cos 3
A
A
dx
x x
  
  gán A = 0; 0,1; 2 nhận kết quả 0 
Chọn đáp án B 
 Bài toán 3: Tính tích phân:  
b
a
f x dx
(Trong các đáp án đều là số vô tỷ: dạng căn, số e, số các 
em nên bấm máy ghi nhận lại các các kết quả trên ) 
Ví dụ 6:  
5
4
2
3 4x dx bằng. 
A. 
89720
27
 B.
18927
20
Cú pháp:
Cú pháp: 
   
0
A
i
x
F A M f x dx  
 
b
a
f x dx
C.
960025
18
 D. 
161019 53673
15 5
 
Ví dụ 7: 2
1
ln
e
x xdx bằng 
A.
2 1
4
e 
 B. 
32 1
9
e 
C.
33 2
8
e 
 D. 
22 3
3
e 
 
2 1
2,097264025
4
e 


32 1
4,574563716
9
e 


33 2
7,782076346
8
e 

22 3
5,926037399
3
e 
 
Ví dụ 8: 
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x


 bằng 
A.
3
2
 B. 
3
4
C.
2
0,666666667
3
 D. 
2
5
Ví dụ 9:
  
4
0
sin x dx
4
I .
sin 2x 2 1 sin x cosx
   
 
   
A. 4 3 2 0,060660172
4

 
B. 
4 3 2
4

C.
4 3 2
3

D. 
4 3 2
3

Ví dụ 10:
4
2
6
sin cot
dx
x x


 
A.  42 3 1 B.  42 3 1 
C. 4 3 1
D. 4 3 1 
Bài toán 4: Diện tích hình phẳng – Thể tích khối tròn xoay: 
Ví dụ 10:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 2y x x  , y x là 
A. 9
4
 B.
9
2
 C. 13
4
 D. 7
4
 Phương trình HĐGĐ     21 2 0 3 0 0; 3f x f x x x x x        
Cú pháp: 
 
b
a
S f x dx     1 2
b
a
S f x f x dx 
  2
b
a
V f x dx     2 21 2
b
a
V f x f x dx 

3
2
0
9
3
2
S x x dx   
Ví dụ 11:
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số  1y e x  ,  1 xy e x  là 
A. 1
2
e  B. 1
2
e
 C. 
1
2
e D. 1
2
e
 
 Phương trình HĐGĐ      1 2
0
0 0
1
x xf x f x x e e
x

       
  
1
0
1 0,359140914
2
x eS x e e dx     
Ví dụ 12:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 4 3y x x   , 3y x  là 
A. 6
109
 B.109
6
 C. 
13
6
 D. 26
3
 Phương trình HĐGĐ     21 2
0
0 4 3 3
5
x
f x f x x x x
x

         
  
5
2
0
109
4 3 3 18,16666667
6
S x x x dx       
Ví dụ 13:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  
2x
y 4
4
 và 
2x
y .
4 2
A. 
4
2
3
  B.
3
2
4
  C. 
4
2
3
  D. 
4
3
  
 Phương trình HĐGĐ    
2 2 4 2
1 2 0 4 4 0 84 32 44 2
x x x x
f x f x x            

8 2 2
8
4
4 2 7,616518641
4 34 2
x x
S dx 

      
Ví dụ 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 21 1y x   , 2y x là 
A. 
2
3 2

 B. 
4
3 2

 C. 
4
2 3

 D. 
2
2 3

 
 Phương trình HĐGĐ:     2 21 2
0
1 1
1
x
f x f x x x
x

        
 
1
2 2
1
1 1 0,237462993S x x dx

    
chọn C 
4
0,237462993
2 3
   
 
Ví dụ 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2 2 1y x  , 1y x  là 
A. 
16
3
 B. 
14
3
 C. 
17
3
 D. 
5
3

2
2 12 1
2
y
y x x

    và 1 1y x x y     
 Phương trình TĐGĐ:    
2
1 2
11
1
32
yy
f y f y y
y
 
      
  
3 2
1
1 16
1
2 3
x
S x dx


   
Chọn A 
Ví dụ 16: Hình (H) giới hạn bởi các đường 2 2 ; 0; 1; 2.y x x y x x      Tính thể tích của vật thể 
tròn xoay khi (H) xoay quanh trục Ox. 
A.18
5
 B. 17
5
 C. 5
18
 D. 16
5
 
  
2
22
1
18
2
5
V x x dx 

  
Chọn A. 
Ví dụ 17: Tính thể tích của khối tròn xoay khi (H) giới hạn bởi các đường 22 1y x  và
 2 1y x  xoay quanh trục Ox. 
A. 4
3
 B. 4
5
 C. 3
4
 D. 3
5
 
 Phương trình HĐGĐ:      21 2
0
2 1 2 1
1
x
f x f x x x
x

       
     
1 2 22
0
4
2 1 2 1
3
V x x dx     
Chọn A.