Hướng dẫn ôn tập chương I Đại số 11

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013)
I. CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Tập xác định của hàm số lượng giác:
a) Hàm số . Điều kiện: cosu0 u, 
b) Hàm số . Điều kiện: sinu0 u, 
c) Hàm số . Điều kiện: sinu0 u, 
 d) Hàm số . Điều kiện: cosu0 u, 
* Các trường hợp đặc biệt: a) cosu 1u, b) cosu-1u, 
 c) sinu1u, d) sinu-1u, 
Ghi nhớ: a) b) c) d) e) f) g) h) 
II. CÁC PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. PT sinx = a 	
a) Nếu hoặc t > 1: PT sinx = a: Vô nghiệm
b) Nếu 
a là những cung không đặc biệt: sinx = a ()	
a là những cung đặc biệt như: ; ; 
* sinx = a sinx = sin ( là đơn vị rađian)
* sinx = a sinx = sin ( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) sinx = 1 x = 	b) sinx = –1 x = c) sinx = 0 x = 
2. PT cosx = a. a) Nếu hoặc t > 1: PT cosx = a: Vô nghiệm
 b) Nếu 
a là những cung không đặc biệt: cosx = a x = 	
a là những cung đặc biệt như: ; ; 
* cosx = a cosx = cos x = ( là đơn vị rađian)
* cosx = a cosx = cos x = ( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) cosx = 1 x = k2 b) cosx = –1 x = c) cosx = 0 
3. PT tanx = a. Điều kiện: cosx 0 x, k
a là những cung không đặc biệt: tanx = a x = arctana + 
a là những cung đặc biệt như: ; ; ; 0
* tanx = a tanx = tan ( là đơn vị rađian)
* tanx = a tanx = tan ( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) tanx = 0 b) tanx = 1 c) tanx = -1
4. PT cotx = a. Điều kiện: sinx 0 x, k
a là những cung không đặc biệt: cotx = a x = arccota + 
a là những cung đặc biệt như: ; ; 
* cotx = a cotx = cot ( là đơn vị rađian)
* cotx = a cotx = cot ( là đơn vị độ)
Đặc biệt: a) cotx = 0 b) cotx = 1 c) cotx = -1
II. PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1/ PT bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác: at = b (a0) (1), t là 1 trong những h/ số lượng giác
+ Bước 1: (1) t = + Bước 2: Giải như PT lượng giác cơ bản
2/ PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác: at2 + bt + c = 0 (a0) (2)
t là một trong những hàm số lượng giác
III. PT BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx: asinx + bcosx = c (a2 + b2 0) (1)
+ Bước 1: Tính (nháp)
+ Bước 2: Chia 2 vế cho , ta được: sinx + cosx = 
+ Bước 3: Đặt sin =, cos =
(Nếu , là những cung đặc biệt thì ta viết: , )
+ Bước 4: Áp dụng đảo của công thức cộng
+ Bước 5: Giải PT lượng giác cơ bản
Ghi nhớ: a) sinx + cosx = = 
 b) sinx – cosx = = 
Chú ý: Dạng: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0
+ Bước 1: TH1: cosx = 0 , . Khi đó: sin2x = 1 
* Nếu VT VP không là n0 của PT * Nếu VT = VP là n0 của PT
+ Bước 2: TH2: cosx 0 , (chia 2 vế cho cos2x): PT atan2x + btanx + c = 0 
+ Bước 3: Giải như PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác.
Ghi nhớ: a) sinx – cosx = 0 tanx = 1x = 
 b) sinx + cosx = 0 tanx = -1x = 
IV. CUNG LIÊN KẾT: 1. Cung đối nhau:	
a) cos() = cos	 b) sin() = – sin c) tan() = – tan	 d) cot() = – cot
2. Cung bù nhau: a) cos() = – cos b) sin() = sin
 c) tan() = – tan d) cot() = – cot 
3. Cung hơn kém : a) cos() = – cos b) sin() = – sin
 c) tan() = tan d) cot() = cot 
4. Cung phụ nhau:	a) sin() = cos	 b) cos() = sin 
 c) tan() = cot d) cot() = tan 
5. Cung hơn kém : a) cos() = – sin b) sin() = cos
 c) tan() = – cot d) cot() = – tan 
Lưu ý: a) sin() = sin	 b) cos() = cos	 
 c) tan() = tan d) cot() = cot 
e) sin() = f) cos() = 
V. CÔNG THỨC CỘNG:	
a) cos(a – b) = cosacosb + sinasinb b) cos(a + b) = cosacosb – sinasinb 
c) sin(a – b) = sinacosb – cosasinb d) sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
VI. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
a) sin2a = 2sinacosa b) sina = c) sin2a.cos2a = 
d) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a e) tan2a = 
VII. CÔNG THỨC HẠ BẬC
a) cos2a = = 1 + cos2x = 2cos2x 
b) sin2a = = 1 – cos2x = 2sin2x c) 
VIII. CÔNG THỨC TÍNH THEO 
a) b) c) 
IX. CÔNG THỨC NHÂN BA
a) sin3a = 3sina – 4sin3a sin3a =(3sina – sin3a)
b) cos3a = 4cos3a – 3cosa cos3a = (3cosa + cos3a) c) 
X. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
a) cosacosb = b) sinasinb =
c) sinacosb = d) cosasinb =
XI. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
 a) cosa + cosb = b) cosa – cosb = –
c) sina + sinb = d) sina – sinb = 
e) 
XII. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a) tan = b) cot = c) tan. cot = 1	 
 d) e) 	 f) 
BÀI TẬP MẪU
I. Hàm số lượng giác:
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) b) c) d) 
e) y = f) y = g) y = 
Giải: a) ĐK: x, . Vậy: TXĐ: D = 
b) ĐK: , .
Vậy: TXĐ: D = 
c) ĐK: , 
Vậy: TXĐ: D = 
d) ĐK: , . Vậy: TXĐ: D = 
e) ĐK: , . Vậy: TXĐ: D = 
f) ĐK: , . Vậy: TXĐ: D = 
g) ĐK: , . Vậy: D = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) b) c) d) 
e) y = f) y = g) y = 
h) i) j) 
ĐS: a) b) c) d) e) 
f) g) h) i) j) 
II. Phương trình lượng giác:
BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
a) sin3x = 3 b) cos(2x + 1) = c) sin (x – 2) = d) cos2x = 
e) sin= 1 f) g) tan2x = 1 h) cotx = 3
Giải: a) sin3x = 3: VN (vì 3 > 1) b) cos(2x + 1) = : VN (vì ) 
c) sin (x – 2) = , 
d) cos2x = , 
e) sin= 1 2x = x = , 
f) x = , 
g) tan2x = 1, h) cotx = 3 , 
Bài 2: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác cơ bản)
a) b) c) d) tan(2x + 1) = 0
e) f) g) h) 
Giải: a) , 
b) 
c) 
, 
d) tan(2x + 1) = 02x + 1 = x = , 
e) , 
f) , 
g) 
h) , 
Bài 3: Giải các phương trình sau: (dạng PT lượng giác thường gặp)
a) 3cosx + 7 = 0 b) c) d) 
e) f) g) 
Giải: a) 3cosx + 7 = 0cosx = : VN (vì )
b) , 
c) 
, 
d) 
e) 
, 
f) 
, 
g) 
, 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) b) c) cos(2x – ) – sin3x = 0
d) sin3x = sin2x e) cos3x = cosx f) cos5x + cos2x = 0 
g) sin3x – cos5x = 0 h) sin4x + cos2x = 0 i) sin3x + sinx = 0 
Ghi nhớ: a) sinu = sinv b) cosu = cosvu = v + 
c) tanu = tanv u = v + d) cotu = cotv u = v + 
e) cosu = – cosv cosu = cos(– v) f) sinu = – sinv sinu = sin(–v) 
g) cosu = sinv cosu = cos h) sinu = cosvsinu = sin
i) tanu = – tanvtanu = tan(–v) j) cotu = tanv cotu = cot
Giải: a) , 
b) = 2x + –3x = x = , 
c) cos(2x – ) – sin3x = 0cos(2x – ) = sin3x cos = cos
 = +, 
d) sin3x = sin2x , 
e) cos3x = cosx 3x = x + , 
f) * Cách 1: cos5x + cos2x = 0cos5x = – cos2x cos5x = cos(– 2x) 
5x = () + , 
* Cách 2: cos5x + cos2x = 02coscos = 0 
g) sin3x – cos5x = 0sin3x = cos5x sin3x = sin
, 
h) sin3x + sinx = 0sin3x = –sinx sin3x = sin(–x), 
Bài 5: Giải các phương trình sau: (PT đưa về dạng PT tích)
a) cosx(sin2x + 1) = 0 b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 c) 
d) cos2x – cos3x + cos4x = 0 e) sin5x + sin3x – cosx = 0 f) cos2x + sin4x = 0
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 
Giải: a) cosx(sin2x + 1) = 0 
* cosx = 0 , * sin2x = – 1 , 
b) (sinx + cosx)(2cos2x – 1) = 0 
* sinx + cosx = 0 tanx + 1 = 0 tanx = -1 , 
* cos2x = cos2x = , 
c) sinx(2sin2x – ) = 0
* sinx = 0 x = , 
* sin2x = , 
d) cos2x + cos3x + cos4x = 0cos4x + cos2x + cos3x = 0 2cos3xcosx + cos3x = 0
cos3x(2cosx + 1) = 0, 
e) sin5x + sin3x – cosx = 02sin4xcosx – cosx = 0cosx(2sin4x – 1) = 0 
, 
f) cos2x + sin4x = 0cos2x + 2sin2xcos2x = 0 cos2x(1 + 2sin2x) = 0 
, 
g) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (cos3x – cosx) + (cos2x – 1) = 0– 2sin2xsinx – 2sin2x = 0
2sinx(sin2x + sinx) = 0 
, 
h) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinxcosx – sinx 
(2cosx – 1)(2sinx + cosx) – sinx(2cosx – 1) = 0 (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0
, 
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) cos3xsin2x = cos5xsin4x b) c) cos2xtanx = 0 
Giải: a) cos3xsin2x = cos5xsin4x (sin5x – sinx) = (sin9x – sinx)
sin5x = sin9x , 
b) . ĐK: sin2x1
2cos2x = 0 cos2x = 0 , 
c) cos2xtanx = 0. ĐK: cosx0
cos2xsinx = 0, 
Bài 7: Giải các phương trình sau: (PT bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác)
a) 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 b) c) 3tan2x – 2tanx + 3 = 0
d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 0 e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0 f) 2tanx – 3cotx – 2 = 0
Giải: a) * Cách 1: 2sin2x + 3sinx – 2 = 0 sinx = 
, 
* Cách 2: Đặt t = sinx, . PT trở thành: 2t2 + 3t – 2 = 0 
Suy ra: sinx = sinx = , 
b) 
, 
c) 3tan2x – 2tanx + 3 = 0
d) 6cos2x + 5sinx – 2 = 06(1 – sin2x) + 5sinx – 2 = 0– 6sin2x + 5sinx + 4 = 0
sinx = , 
e) 5sin2x + 3cosx + 3 = 05(1 – cos2x) + 3cosx + 3 = 0–5cos2x + 3cosx + 8 = 0
x = , 
f) 2tanx – 4cotx – 2 = 0 – 4cot2x – 2cotx + 2 = 0 
, 
Bài 8: Giải các phương trình sau: (PT bậc nhất đối với sinx và cosx)
a) sinx + cosx = b) cosx – sinx = 1 c) 3sin2x + 4cos2x = 5
d) sinx – cosx = 2 e) 2sin2x + sin2x = 3 f) cos3x – sinx = (cosx – sin3x)
Giải: a) * Cách 1: sinx + cosx = sinx + cosx = 1 (chia 2 vế cho )
sinxcos + cosxsin = 1 x = , 
* Cách 2: sinx + cosx = sinx + cosx = 1 sinxsin + cosxcos = 1
 cosxcos + sinxsin = 1cos = 1= x = , 
* Cách 3: sinx + cosx = 
, 
b) * Cách 1: cosx – sinx = 1 cosx – sinx = cosxcos – sinxsin = 
 , 
* Cách 2: cosx – sinx = 1 cosx – sinx = sincosx – cossinx = 
sin = sin, 
c) 3sin2x + 4cos2x = 5sin2x + cos2x = 1. Đặt: cos = ; sin = 
(1)sin2xcos + cos2xsin = 1sin(2x + ) = 1 2x + = 
x = ()
d) * Cách 1: sinx – cosx = 2 sinx – cosx = 1 sinxsin – cosxcos = 1
cosxcos– sinxsin= –1cos = –1= x = , 
* Cách 2: sinx – cosx = 2 sinx – cosx = 1sinxcos– cosxsin = –1
sin = –1 = x = , 
e) 2sin2x + sin2x = 3
sin2x – cos2x = 1sin2xcos– cos2xsin = –1
sin = –1 = x = , 
f) cos3x – sinx = (cosx – sin3x) cos3x – sinx = cosx – sin3x
cos3x + sin3x = sinx + cosx
cos3xcos + sin3xsin = cosxcos + sinxsin cos = cos
, 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sin b) c) tan2x = 0 d) cot = 0
e) cos f) g) tan(2x + 1) = 2 h) cot3x = –5
ĐS: a) b) c) d) e) Vô nghiệm f) g) h) 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) b) c) d) 
ĐS: a) b) c) d) 
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) b) c) 
d) e) f) 
ĐS: a) b) c) 
d) e) f) 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) b) 
c) d) 
ĐS: a) b) c) d) 
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) cos3x – sin2x = 0 b) sin3x + sin5x = 0 c) cos4x + cosx = 0 d) sin3x + cos7x = 0
ĐS: a) b) c) d) 
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a) cosx(sin2x – cos2x) = 0 b) 2cosxsin3x + sin3x = 0 c) (cosx + 1)(2sin2x – ) = 0
ĐS: a); b); 
 c) ; ; 
Bài 7: Giải các phương trình sau:
a) cos3x – cos4x + cos5x = 0 b) sin7x – sin3x = cos5x c) cos2x – cos8x + cos6x = 1
d) cos2x – sin2x = sin3x + cos4x e) sin2x – 2cosx = 0 f) cos5x – cosx = 2sin22x
g) sin3xcosx – cos3xsinx = h) sin2x + cosx – 2sinx – 1 = 0 i) 2cos2x + 2sinxcos2x = 1
j) 2sin2x + sin4x = 0 k) sinx + sin2x + sin3x = 0 l) 2cos2xcos3x = 1 + cos2x + cos5x
ĐS: a) b) c) d) 
e) f) g) h) 
i) j) k) l) 
Bài 8: Giải các phương trình sau: 
a) sin2xcos3x = sin3xcos4x b) cos5xcosx = cos4x c) 
ĐS: a) b) c) 
Bài 9: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 b) 3cos22x – 5cos2x + 2 = 0 c) 4tan2x – 5tanx + 1 = 0
d) sin2 + cos + 1 = 0 e) 3cosx = cos2x – 1 f) cos2x – sinx – 1 = 0
g) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0 h) 3tanx – cotx + 2 = 0 i) 3sin2x + 4cosx + 4 = 0
ĐS: a) b) c) d) 
e) f) g) h) i) 
Bài 10: Giải các phương trình sau:
a) b) cos3x – sin3x = 1 c) 2cosx – sinx = 2 d) 2sin2x + sin2x = 3 e) 2sinx(cosx – 1) = cos2x f) sinx – cosx = 1 g) 2sinx – 2cosx = 
h) sin2x – cos2x + sin2x = 2 i) sin4x + cos4x – = 0 j) 5sinx + 4cosx = 5
ĐS: a) b) c) ()
d) e) f) g) h) 
i) ; j) ()
Bài 11: Giải các phương trình sau: (Đại học)
a) (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx b) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
ĐS: a) ; ; b) ; ;