Giải hệ phương trình không mẫu mực bằng phương pháp thế

 1 
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH KHễNG MẪU MỰC 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 
Giỏo viờn: Nguyễn Duy Hoàng. 
Đơn vị: Trường THCS Tam Dương, Tam Dương. 
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh giỏi lớp 9. 
Phương phỏp thế là một trong những phương phỏp cú ứng dụng nhiều trong 
việc tớnh giỏ trị biểu thức, chứng minh, giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh,  
 Đặc biệt đối với giải hệ phương trỡnh khụng mẫu mực thỡ phương phỏp thế là 
phương phỏp được sử dụng linh hoạt, cú hiệu quả. Tuy nhiờn khi sử dụng phương 
phỏp thế cần lưu ý rằng phương trỡnh thu được phải cỏc phương trỡnh giải được. 
 Phương phỏp thế gồm: Phộp thế đơn; Phộp thế nhúm; Phộp thế hằng số. 
1. Phộp thế đơn: 
a) Cơ sở phương phỏp. Ta rỳt một ẩn từ một phương trỡnh trong hệ và thế vào 
phương trỡnh cũn lại. 
b) Nhận dạng. Phương phỏp này thường hay sử dụng khi trong hệ cú một phương 
trỡnh là bậc nhất đối với một ẩn nào đú. 
* Nếu một phương trỡnh trong hệ cú bậc nhất đối với tất cả cỏc ẩn thỡ rỳt tựy ý một 
ẩn để thay vào phương trỡnh cũn lại. 
Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 
2 2
2 3 5 (1)
3 2 4 (2)
x y
x y y
 

  
Lời giải. 
Từ (1) ta cú 
5 3
2
y
x

 thế vào (2) ta được 
2
25 33 2 4 0
2
y
y y
      
 
2 2 2 593(25 30 9 ) 4 8 16 23 82 59 0 1,
23
y y y y y y y y             
Vậy tập nghiệm của hệ phương trỡnh là   31 591;1 ; ;
23 23
    
  
 2 
* Nếu một phương trỡnh trong hệ cú bậc nhất đối với một ẩn thỡ rỳt ẩn đú để thay 
vào phương trỡnh cũn lại. Trong trường hợp này phức tạp hơn bởi biểu thức thay 
vào khụng phải bậc nhất. 
Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 
3 2
2
3 (6 ) 2 0 (1)
3 (2)
    

   
x y x xy
x x y
Lời giải. 
Phương trỡnh (2) là bậc nhất với y nờn từ (2) suy ra 23y x x    thay vào phương 
trỡnh (1) ta được 3 2 2 23 (6 3) 2 ( 3) 0         x x x x x x x 
4 3 2
3 2
2
4 7 6 0
( 4 7 6) 0
( 2)( 2 3) 0 (*)
    
    
    
x x x x
x x x x
x x x x
Vỡ 2 22 3 ( 1) 2 0     x x x mọi x nờn phương trỡnh (*) cú nghiệm  0; 2 x 
Từ đú tỡm được nghiệm của hệ phương trỡnh là (0; 3); ( 2;9)  
Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 
4 3 2 2
2
2 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x x y x y x
x xy x
    

  
Phõn tớch. Phương trỡnh (2) là bậc nhất đối với y nờn ta dựng phộp thế. 
Lời giải. 
TH 1: Với x = 0 khụng thỏa món (2) 
TH 2: Với 
26 6
0, (2)
2
x x
x y
x
 
   , thế vào (1) ta được 
22 2
4 3 26 6 6 62 2 9
2 2
x x x x
x x x x
x x
      
      
   
2 2
4 2 2 3 0(6 6 )(6 6 ) 2 9 ( 4) 0
44
xx x
x x x x x x x
x
 
             
Do 0x  nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 
17
4;
4
  
 
Bài 4. Giải hệ phương trỡnh    

 
2 2
2
x y xy 3 (1)
xy 3x 4 (2)
. 
 3 
Lời giải. 
Từ (2)  x  0, 
24 3x
y
x

 , thay vào (1) ta có: 
22 2
2 4 3x 4 3xx x. 3
x x
  
   
 
 4 27x 23x 16 0   . Giải ra ta được 2 2
16
x 1 hoặc x =
7
 
Từ 2x 1 x 1 y 1       ; 
Từ 2
16 4 7 5 7
x x y
7 7 7
       
Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1);
 
  
 
4 7 5 7
;
7 7
; 
 
  
 
4 7 5 7
;
7 7
Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 
1) 
1
1
(1 )
2
x y
x y xy
  


  
 2)
2 2
1 0
0
x y
x y x
  

  
3) 
2
4
( 1) 4( 2)
x y
x y xy y
 

   
4) 
2 2
2 5
7
x y
x xy y
 

  
5) 
2 2
2 4
3 2 5 4 0
x y
x xy y x y
 

     
6) 
2 9
4 9
x y
x y
  

 
7) 
2
12
x y xy
x y
  

 
8) 
2 24 3 1
1
x xy y x
x y
    

 
9) 
1 1
2 2 2
x y
x y y
   

   
10) 
10 3 3 58
6
xy x y
x y
   

 
11) 
2 2
2 1 0
2 3 2 2 0
x y
x y x y
  

    
12) 
3 2
2
3 (5 ) 2 2 0
4
x y x xy x
x x y
     

   
13) 
3 2 2 2
2 2
3 (6 ) 2 0
3
x y x xy
x x y
    

   
 4 
2. Phộp thế nhúm: 
a) Cơ sở phương phỏp: Ta rỳt một biểu thức từ một phương trỡnh trong hệ và thế 
vào phương trỡnh cũn lại. 
b) Nhận dạng: Phộp thế nhúm được dựng khi hệ phương trỡnh cú một nhúm thế 
giống nhau. 
Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 
2 2 1 4 (1)
2 2( ) 2 7 2 (2)



   
   
x y xy y
y x y x y
. 
Lời giải. 
Từ (1) 2 21 4x y y xy    . Thế vào (2) ta cú 2 2( ) 2(4 ) 7   y x y y y xy y 
2
2
0
2(
2(
( ) ) 15 0
( ) ) 15 0

    
     
   
y
y x y x y
x y x y
Với y = 0 thỡ x2 + 1 = 0 (loại) 
Với 2
5
2(
3
( ) ) 15 0
  
   
    
x y
x y
x y x y 
Nếu x + y = -5, thế vào (1) ta cú 
     5 5 5 9 46 022 21 4            x x x xx x x vụ nghiệm 
Nếu x + y = 3, thế vào (1) ta cú 
     
1
3 3 3 2 0
2
22 21 4

         
   
x
x x x x
x
x x x 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;2); ( 2;5) 
Bài 2. Giải hệ phương trỡnh 
2
2
( 1) 3 0 (1)
5
( ) 1 0 (2)
   


   
x x y
x y
x
. 
Lời giải. 
ĐK: 0x 
Từ (1) suy ra 
3
1x y
x
   và thay vào phương trỡnh (2), ta cú 
2
2 2
13 5 2 3
1 1 0 1 0
2
              
x
xx x x x
 5 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm 
3
(1;1); (2; )
2
 
Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
    

  
x x y x y x
x xy x
Lời giải. 
Hệ 
 
22
22
2
2 2
2
6 6
2 9 2 9
2
6 6
6 6
2
2
x x
x xy x x
x x
x xy x x
x xy
             
    
  
Khi đú 
22
3 06 6 2 9 ( 4) 0
42
   
          
xx x
x x x
x
Vỡ 0x  nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 
17
4;
4
  
 
Bài 4. Giải hệ phương trỡnh 
2 2
2 2
3
3 (1)
3
0 (2)
   

  
 
x y
x
x y
y x
y
x y
Lời giải. 
ĐK: 2 2 0 x y 
Từ (2) ta cú 2 2( ) ( 3 ) 0   y x y y x 
Nếu y = 0 thỡ x = 0 (loại) 
Nếu 0y thỡ 2 2 3  y xx y
y
. Thế vào (1), ta cú ( 3 ) 3 
3

 

y x y
x
y x
2 2 333 3 3( 3 ) 3. 3( 3 )
1

            
y xy x
x y y x y x
yy
 Với y = 3x thỡ x = y = 0 (loại) 
 Với y = -1 thỡ x = 0 hoặc x = 3 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (0; 1); (3; 1)  
 6 
Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 
1) 
2
4
0
x
x y
y
x xy y
   

   
2) 
2
2 6
2 6 0
x
x y
y
x xy y
   

   
3) 
2 2
1
2
x y xy
x y
  

 
4) 
( 1)(2 1) 6
( 1)(3 2) 2 3
x y x y
x y x y
    

    
5) 
2 2
2 3 4 6
4 4 12 3
xy x y
x y x y
   

   
 6) 
2
2
2
2 2 0
y
x y
x
xy y x
    

   
7) 
2 2
2 2
( )( ) 4
(2 )( ) 2
x y x y
x y x y
   

  
8) 
2
( 1)( 2 1) 12
2 ( 1)(3 1) 11
x y x y
x y x y
    

    
9) 
1
3 2 4
xy x y
xy x y
  

  
10) 
(2 ) 5
(3 ) 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
   

   
11) 
2 2
2 2
4
2 2 2
x y xy x y
x y xy x y
    

   
12) 
( 2 ) 2
(2 ) 2
xy x y y x
xy xy y x
  

  
13) 
2 2
2 2
2 5
2 3
x y x y
x y x y
    

   
14) 
2
2
2 4 0
2 2 0
xy y x y
xy y x y
    

   
15) 
2 2
2 2
( ) 4
( 1)
x y xy x y xy
x y xy x
    

  
16) 
2 2
2 2
4 1
2 3 1
xy x xy x
xy x xy x
     

    
17) 
2 2
6 4
4
xy x y
x y x y xy
  

   
18) 
2 2
( 1) 3
( )
y x y x
y y xy x x
  

  
19) 
1
(1 )
2
2 0
x y xy
xy x y
   

    
20) 
2 2
2 2
2 3 9
2 2 5 1
x y x y
x y x y
    

   
21) 
2 2 2( ) 7
( 2 ) 2 10
x y x y
y y x x
   

  
22) 
     

    
2 2
2 2
3x 4 6x 4 11 
3 15 6x 15 33
y y
x y y
3. Phộp thế hằng số: 
a) Cơ sở phương phỏp: Từ một phương trỡnh ta rỳt một số bằng một biểu thức để 
thay vào phương trỡnh cũn lại. 
b) Nhận dạng: Phộp thế hằng số nhằm mục đớch đưa phương trỡnh về phương trỡnh 
tớch hoặc phương trỡnh đẳng cấp. 
 7 
Bài 1. Giải hệ phương trỡnh 
 
 
3
3 3
2 1 5 5 1
1 2
   

 
x y x
x y
Lời giải. 
Thế số 1 từ (2) và (1) ta được: 
    3 3 2 2 2 25 0 5 0 5 0 (3)

           
   
x y
x y x y x y x xy y
x xy y
Phương trỡnh (3) 
2
21 3 5 0
2 4
x y y
      
 
 vụ nghiệm. 
Với 
3
3 3 3
1 4
2 2 1
2 2
x y x y x y        . 
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất  
3 34 4
; ;
2 2
x y
 
  
 
Bài 2. Giải hệ phương trỡnh
3 3
2 2
2 4 (1)
6 19 15 1 (2)
   

  
x y x y
x xy y
 với x, y là số hữu tỉ. 
Lời giải. 
Thế số 1 từ (2) và (1) ta được 
3 3
2 2 3 3
2 4
(6 19 15 )( 4 ) 2 (*)
   

    
x y x y
x xy y x y x y
Đưa (*) về phương trỡnh 3 2 2 35 5 61 62 0   x x y xy y là phương trỡnh đẳng cấp 
bậc 3 
Xột y = 0 thỡ x = 0 (loại). 
Xột y khỏc 0, đặt xt
y
 với t là số hữu tỉ, ta được 3 25 5 61 62 0   t t t 
Giải phương trỡnh với t hữu tỉ, ta cú được t = 2. 
Kết quả (x,y) là (2; 1), (-2; -1) 
Bài 3. Giải hệ phương trỡnh 
2 2
5 5
5
11( )
x y
x y x y
  

  
Lời giải. 
Ta cú 5 5 2 2 3 3 2 2( )( ) ( )x y x y x y x y x y      
Khi đú ta cú 3 3 2 2 2 2 2 25( ) ( ) 11( ) ( ) 5( ) 5 11 0             x y x y x y x y x y x y xy x y 
 8 
Với x+ y = 0 ta được 10 10 10 10; ; ;
2 2 2 2
   
       
   
Với 2 2 2 2 25( ) 5 11 0 5 14 0        x y xy x y t t với t = xy. 
Giải phương trỡnh được t = 2 hoặc t = -7 
 Nếu t = 2 thỡ  22 2
3
5 9
3
 
         
x y
x y x y
x y
 Nếu t = -7 thỡ  22 2 5 9     x y x y (loại) 
Kết quả (x, y) là (1; 2), (2;1), (-1; -2), (-2;-1) 
Bài tập vận dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh sau: 
1) 
3 3 9
( ) 6
x y
xy x y
  

 
2) 
3 2
3 2
3 20
3 7
x x y
y xy
  

 
3) 
3 3
( ) 6
18 27
x x y
x y y
 

  
4) 
2 2
8 8 10 10
1x y
x y x y
  

  
5) 
3 3 2 2
1 

  
x y
x y x y
6) 
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y
  

  
7) 
2 2
10 10 4 4
1
1
8
x y
x y x y
  


  
8) 
2 2
5 5
3 3
3
31
7
x y xy
x y
x y
   

 
 
9) 
4 4 2 2
2 2
6 41
( ) 10
x y x y
xy x y
   

 
10) 
2 2
4 4 2 2
5
6 20 81
x y
x y x y xy
  

   
11) 
3 3
5 5
2 ( ) 6
30 32
x y xy x y
x y xy
    

  
12) 
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y
  

  
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Chuyờn đề Bồi dưỡng HSG toỏn THCS. 
2. Nõng cao và phỏt triển toỏn 9. 
3. Bỏo Toỏn học tuổi thơ, Toỏn học tuổi trẻ. 
4. Cỏc nguồn trờn mạng Internet.