Đề và đáp án thi học sinh giỏi huyện Toán lớp 9 - Năm học 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 23 / 11 / 2012
Bài 1. a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 
Bài 2. a) Giải các phương trình sau:
.
b) Tìm x, y thỏa mãn: 
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: 
Bài 4. Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (). Biết AH = a; CD = 2b.
a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) Tính R theo a và b
c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 5. Cho 
Chứng minh rằng :
==HẾT==
Họ và tên thí sinh:.....................................................................
Số báo danh:..............................................................................
Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
3,5đ
a) 
2,0đ
0,5
0,5
1,0
b) 
1,5đ
ĐK: (*)
0,25
 (*)
0,25
Ta thấy (*) có dạng nếu vô lí vậy B = 0 => A= 0.
0,25
Do đó (*)
0,25
 (Loại vì không thỏa mãn ĐK (*))
 a = 9; b = 4 
0,5
Bài 2
6,0đ
a) 
5,0đ
* Biến đổi vế phải ta có 
0,75
Phương trình trở thành: (*)
0,5
Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu (thỏa mãn)
0,5
- Trường hợp 2: Nếu (Phương trình vô nghiệm)
0,25
- Trường hợp 3: Nếu (thỏa mãn)
0,25
Kết luận: Phương trình (*) có 2 nghiệm: và 
0,25
* ĐK (*) 
Phương trình đã cho trương đương với: 
0,25
0,25
0,25
 ĐK: x - 5 (**)
0,5
 (1 –x)(- 5 – 2x) = (x +5)2
0,25
 x2 – 7x – 30 = 0
0,25
 x1 = - 3 (thoả mãn ĐK (*) và (**)) hoặc x2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**))
0,5
Vậy phương trình có nghiệm x = - 3.
0,25
b) 
1,0đ
Cộng vế theo vế ta được 
0,25
0,5
Vậy (x; y) = 
0,25
Bài 3
3,0đ
Điều kiện: (*)
0,25
* Tìm giá trị lớn nhất: 
Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a1; a2); (b1; b2) ta có:
(a1b1+a2b2)2 ≤(a12+a22)(b12+b22)(**) Đẳng thức xẩy ra 
0,25
Áp dụng (**) ta có 
0,5
Đẳng thức xẩy ra khi (TMĐK(*))
0,5
Vậy với x = 2 thì GTLN của M = 5
0,5
* Tìm giá trị nhỏ nhất
Từ điều kiện (*) tá có (1)
0,25
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) ta có 
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi 
0,25
Vậy khi thì M đạt GTNN là 
0,25
Bài 4
6,5đ
Vẽ hình 0,25đ
0,25
1,0
1,0
a) 2,0đ
Ta cónên vuông tại C nên (1)
Vì ABCD nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Mặt khác ABCD HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân giác góc A => => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) (2,0đ)
Áp dụng định lí Pitago ta có 
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có 
0,5
1,5
c) 2,25đ
Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ. Đặt OK = x; OL = y;
Đặt OH = d
Ta có không đổi
0,25
Đặt 
Xét 
0,25
0,5
* T đạt GTLN khi T2 đạt GTLN đạt GTLN đạt GTLN
0,25
Áp dụng BĐT Cosy ta có 
0,25
Dấu “=” xẩy ra khi OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây cung.
0,25
* T đạt GTNN khi T2 đạt GTNN đạt GTNN đạt GTNN
0,25
Mặt khác do x, y nên , dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở thành đường kính.
0,25
Bài 5
1,0đ
 Vì x, y nên 
0,5
Tương tự ta có
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được 
Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1
0,25
0,25
Tổng
20,0
Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa;
 - Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5.
PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 -2014
Môn: Toán. Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: a. Tính giá trị của biểu thức: 
 b. Tìm x; y thỏa mãn: 
Câu 2: a. Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 	 b. Cho x ; y ; z là các số nguyên và 
 Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30.
Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:
 .
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 4: a. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M. 
Tính giá trị biểu thức:
 b. Cho góc . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N. Biết giá trị biểu thức không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi. 
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: a. Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn: . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 671. 
Chứng minh rằng: 
-------------------- Hết ----------------------
Họ và tên thí sinh ............................................................... SBD .............................
PHÒNG GD-ĐT NGHI XUÂN 
 -------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
 THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
 NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1:(4 điểm) . a) 1,5 điểm. b) 2,5 điểm 
BIỂU ĐIỂM
a) 
1,5
b) ĐKXĐ: 
0,5
Xét x = 0. Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn)
0,75
Xét . Biến đổi PT về dạng: 
Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn).
1,0
KL: hoặc 
0,25
Câu 2: (4,5 điểm) a) 2,25 điểm. b) 2,25 điểm
a) Phương trình đã cho tương đương với 
0,5
 Lập luận Mà Suy ra {} 
1,0
 thì ( loại)
 thì ( loại)
 thì ( loại)
 thì Khi đó 
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên là: (3 ; 20); (-3 ; 20); (3 ; 16); (-3 ; 16)
0,75
b) Đặt . Ta có: 
( a ; b ; c là các số nguyên )
Xét 
0,5
Ta có : với mọi số nguyên m thì chia hết cho 30 
Thật vậy: (1) Với mọi số nguyên m thì là 5 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia hết cho 2.3.5. Hay chia hết cho 30 (2) 
Và là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3 mà 2; 3 nguyên tố cùng nhau nên tích của chúng chia hết cho 2.3. Hay chia hết cho 30 (3)
Từ (1); (2); (3) Suy ra với mọi số nguyên m thì chia hết cho 30 
Do đó chia hết cho 30 với a; b; c là các số nguyên 
1,75
Câu 3: (2,5 điểm)
Từ giả thiết suy ra: 
 Mà suy ra (1)
 Mặt khác suy ra (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (3)
1,0
Biến đổi (3) 
1,0
 nên P = 0
0,5
Câu 4 :(5,5 điểm) a) 3 điểm. b) 2,5 điểm
a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)
OK // BH (cùng vuông góc với AC)
Þ = (góc có cạnh tương ứng song song)
MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)
Þ = (góc có cạnh tương ứng song song)
Þ DABH đồng dạng với DMKO (1,0)
Þ ( 0,5)
Xét DAIH và DMIO có và = (so le trong)
Þ DAIH đồng dạng với DMIO Þ Þ 
1,0
Þ Þ 
0,5
b) Giả sử (1) ( a là số dương cho trước). Lấy điểm D trên Oy sao cho OD = a thì OD < ON. Vẽ DI song song với Ox ( Iđoạn MN ). Lấy E trên Ox sao cho OE = ID. Khi đó OEID là hình bình hành.
1,0
Ta có => (2)
0,75
Từ (1) và (2) => => => OE = OD = a không đổi, mà
D Oy; E Ox nên D; E cố định. Mặt khác O cố định và OEID là hình bình hành nên I cố định. Vậy d luôn đi qua I cố định (ĐPCM)
0,75
CÂU 5 (3,5 điểm) Câu a) 2 điểm. Câu b) 1,5 điểm
a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có (*) Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có (**)
 (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
 Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng với a = b= c = 1 ta có 
=> => 
( Có thể chứng minh BĐT trên nhờ áp dụng BĐT Bunhicopski )
1
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ... ta có: 
0,75
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các số x; y; z không âm và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn : ( Thỏa mãn)
Vậy Min x = 2; y = 1; z = 0.
0,25
b) Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
 (1)
Chú ý: xy + yz + zx = 671 nên
 = , và
0,75
Chứng minh: 
 (2)
= = (3)
0,5
Từ (1) và (3) ta suy ra
 Dấu “=” xảy ra x = y = z = .
0,25
( Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa tương ứng) 
----Hết-----