Đề và đáp án thi học sinh giỏi huyện Toán lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Nghi Lộc

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016
 NGHI LỘC Môn: TOÁN 7
 Thời gian làm bài: 90 phút - không kể thời gian phát đề
 (ĐỀ CHÍNH THỨC) 
Bài 1 (6,0 điểm). a) Rút gọn: 
	b) Tìm x biết: 
Bài 2 (5,0 điểm). a) Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2 : 3.
	b) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau.
Bài 3 (4,0 điểm). a) Tìm các số nguyên dương m và n sao cho .
b) Chứng minh rằng nếu: thì hoặc (với ). 
Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Kẻ AD vuông góc với CM, NE vuông góc với CM (D, E thuộc CM). Trên tia đối của tia NE lấy điểm F sao cho NF=NE. 
	a) Chứng minh AD = CE.
	b) Chứng minh E là trung điểm CD.
	c) Chứng minh ba điểm B, D, F thẳng hàng.
	d) Gọi P là trung điểm BC, Q là một điểm thuộc cạnh BC sao cho Q không trùng với B, P, C. Kẻ BH, CK vuông góc với AQ (H, K thuộc đường thẳng AQ). Hãy xác định dạng của tam giác PHK. 
................................ Hết ...........................
Họ và tên thí sinh............................................................ Số báo danh....................
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Câu
Hướng dẫn chấm
Điểm
Câu 1
6,0 đ
a) 3,0 đ
0,75 đ
0,75 đ
0,75 đ
0,5 đ
b) 3,0 đ
 (1)
Ta có: VT 0 suy ra 5x 0 suy ra x 0
Xét 0 x < 2 suy ra (1) 5 – x + 2 – x = 5x 
 x = 1 (thỏa mãn)
Xét 2 x < 5 suy ra (1) 5 – x + x – 2 = 5x
 x = ( loại)
Xét x 5 suy ra (1) x – 5 + x – 2 = 5x
 x = ( loại)
Vậy x = 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 2
5,0 đ
a) 2,5 đ
Gọi x, y, z là các chữ số của số có ba chữ số phải tìm.
Vì và ba chữ số x, y, z không thể đồng thời bằng 0 nên 	
Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên số phải tìm chia hết cho 9
Do đó hoặc 18 hoặc 27	
Theo giả thiết ta có:
Do đó : x + y + z = 18 
Suy ra 	
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn
Vậy số phải tìm là 396; 936.	
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
b) 2,5 đ
Ta có:
 1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1)
-1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = - c 
Vậy a và c là hai số đối nhau.
0,75 đ
0,75 đ
1,0 đ
Câu 3
4,0 đ
a) 2,0 đ
 Ta có: 	 (1)
Ta thấy , xét hai trường hợp
* Nếu thì từ (1) ta có .
* Nếu thì là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2. Mâu thuẫn.
Vậy n=8, m=9.
0,5 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
b) 2,0 đ
Suy ra 
Hoặc 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 4
5,0 đ
a) 1,5 đ
Chứng minh được 
Xét AMD vuông tại D và CNE vuông tại E có 
 và ( cùng phụ với )
Suy ra AMD = CNE (cạnh huyền- góc nhọn)
Nên AD = CE
0,25 đ 
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
b) 1,5 đ
Chứng minh được CNE = ANF(c.g.c) nên AF=CE. (1)
Vì AMD = CNE
Suy ra ANF = AMD 
Do DA//EF( cùng vuông góc với MC) nên 
Chứng minh được ADE = EFD (cạnh huyền- góc nhọn)
 (2)
 Từ (1),(2) suy ra CE=DE hay E là trung điểm DC
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
c) 1,0 đ
-Vì AD = CE mà DE=CE nên AD=DE.
Tam giác ADE vuông cân tại D. 
Xét ABD và CAE có 
Suy ra ABD = CAE 
- Tam giác ADF vuông cân tại A 
Vậy ba điểm B,D,F thằng hàng.
0,5 đ
0,5 đ
d) 1,0 đ
Chứng minh được ABH = CAK (Cùng phụ với góc BAH)
Chứng minh được ABH = CAK (Cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra BH = AK
Chứng minh được PBH = PAK (c.g.c) (BP = AP, góc PBH = PAK, BH = AK)
Suy ra PH = PK (1)
Chứng minh được PHA = PKC (c.g.c) (AH = CK, góc PAH = góc PCK, AP = CP)
Suy ra góc APH= góc CPK
Ta có góc HPK = góc HPQ + góc QPK = góc HPQ + APH = góc APC = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra PHK là tam giác vuông cân.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
- Trên đây chỉ mang tính hướng dẫn;
- Học sinh có lý đúng, chặt chẽ mới cho điểm tối đa;
- Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tương ứng.