Đề Toán cho HSG lớp 8

ĐỀ TOÁN CHO HSG LỚP 8
Bài 1: Cho biểu thức: M = 
a) Rút gọn b) Tìm giá trị bé nhất của M .
Bài 2: Giải phương trình :
a) x2 - 2005x - 2006 = 0 b) + + = 9
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi K, L, M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD, AD sao cho AK/ AB = BL / BC = CM/CD = DN/DA= x.
a) Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất.
b) Tứ giác MNKL ở câu a là hình gì? cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNKL là hình chữ nhật
Bài 4 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có)
A = x2 – 2x + 5
B = -2x2 – 4x + 1.
C = 
Bài 5 : Chứng minh các bất đẳng thức :
1.Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng :  a3 + b3 + c3 = 3abc.
2.Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :
Câu 6 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. 
b) Chứng minh: ME // BN.
Từ C, kẻ CH BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 7 :
a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015.