Đề thi vòng II, chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn Toán

PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU
ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút)
 ------------------------------------------------
Bài 1 (4 điểm). Tính giá trị các biểu thức: 
Bài 2 (4 điểm).
 a, Chứng minh rằng: 
 b, Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: 
Bài 3 (4 điểm). Giải các phương trình: 
 a, 
 b, = 0
Bài 4 (6 điểm). 
 1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính. Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D; N là giao điểm các đường thẳng AC và BD. Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lượt tại E, F. 
 Chứng minh:
 a. MN vuông góc với AB.
 b. NE = NF. 
 2, Cho ∆ABC vuông ở A. Biết: BC = và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của tam giác ABC.
 Bài 5 (2 điểm). Với số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là . 
 Cho dãy số: x , x , x , x ,,x ,(nN) được sác định bởi công thức:
 với mọi giá trị của n. Hỏi trong 2015 số {x, x1, x2,, x} có bao nhiêu số khác 0 ?
-----------------Hết-------------
 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG II – NĂM HỌC 2015-2016
Bài
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
1
A= 
0,5
 = 
0,5
= 
0,5
= = - 
0,5
B= 
0,5
= 
0,5
= 
0,5
= = 1
0,5
2
a
Đặt: a = x + y , với x = y = .
Dễ thấy: x3 + y3 = 6 và x.y = 1
0,5
 (Vì: x > 1, y > 0 nên: a > 1).
0,5
Do đó: 
0,5
Vậy : 
0,5
b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số dương: , , ta có:
0,5
Mạt khác, từ: a - 4 + 4 0 4,
 tương tự: 4 và 4
0,5
0,5
Vậy: 
0,5
3
a
Đặt: = t, (t 0) x + = t + 
0,5
 = = t + , (vì t 0)
0,5
Vậy phương trình đã cho trở thành: 
 t + t + = 2 (t + ) = 2 t + = , (vì t 0)
0,5
 = t = - , giải ra ta được: x = 2 - 
0,5
b
Ta có: VT =(() 
0,5
PT trở thành:(() = 0, vì: 0
0,5
 = 0 x = 2
0,5
Vậy nghiệm phương trình là: x = 2
0,5
4
Q
A
B
C
D
F
P
M
E
H
N
O
1.a
Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm PAB PNAB. 
0,5
Gọi giao điểm tiếp tuyến của (O) tại D với PN là M’. 
 Do: = = 
0,5
 PM’D cân tại M’ PM’ = DM’ M’ là trung điểm PN.
0,5
Tương tự tiếp tuyến tại C của (O) cắt PN tại trung điểm M” của PN M’, M” trùng M Đpcm. 
0,5
1.b
Trên tia đối của tia NB lấy điểm Q sao cho NQ = NB.
 QA // NO QA NE 
0,5
 A là trực tâm của QNE NA QE ( tại H)
0,5
 FB // EQ mà N là trung điểm của BQ
0,5
 N cũng là trung điểm của EF NE = NF (Đpcm). 
0,5
2
+ Nếu: AB AC. Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, AC, BC.
Ta có: AB + AC = AI + AH + BI + CH = AI + AH + BK + KC
= 8 + 4 (1)
0,5
 (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = BC2 + 2AB.AC 
= (8 + 4)2 Þ AB.AC = (2)
0,5
Từ (1) và (2), kết hợp với AB < AC
 AB = 2 + 2; AC = 6 + 2
0,5
 .
+ Tương tự, nếu: ABAC Thì: .
0,5
5
Vì: a - 1 < a, nên: -<- (- 1) =+1 < 2
0,5
 0 x 1, vậy: x , x , x , x ,,x chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1. 
0,5
Cho nên số các số khác 0 là:
=-+-+...+-=
0,5
Mà: 1424<<1425=1424 
 Vậy có tất cả 1424 số khác 0.
0,5
Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang;
 - Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
 - Bài 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm.