Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn: Toán - Lớp 9

PHÒNG GD-ĐT	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU
 VĨNH LINH	 MÔN: TOÁN - LỚP 9
	 Thời gian 120 phút (không kể giao đề)
	Bài 1 (2,0 đ): 
Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.
	Bài 2 (1,75 điểm):
	Giải phương trình:	
	Bài 3 (1,75 điểm):	
Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
	Bài 4 (1,50 điểm):	Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:
	Bài 5 (3,0 điểm):	
	Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ?
HƯỚNG DẪN CHẤM
	Bài 1 (2,0 đ): Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia.
	Theo giả thiết ta có: 	(0,125 đ)
	Do đó ta có: 	(0,125 đ)
	(0,125 đ)
	(0,125 đ)
	 (n )	 (*)	(0,125 đ)
	(1)	(0,125 đ)
Giả sử 
Do đó: 	(0,125 đ)
Hay: 	(2)	(0,125 đ)
Từ (1) và (2) ta suy ra: 	(0,125 đ)
Vậy y = 1; 2; 3	(0,125 đ)
+ Với y = 1, thay vào (*) ta có x + 2 = nx 	(0,125 đ)
Do đó: x = 1; 2	(0,125 đ)
+ Với y = 2, thay vào (*) ta có x + 3 = 2nx 	(0,125 đ)
Ta có x 	(0,125 đ)
+ Với y = 3 => x > 3 => 	(0,125 đ)
Vậy bộ các số nguyên dương x, y là:(1;1); (1;2); (2;1); (3;2); (2;3)	(0,125 đ)
	Bài 2 (1,75 điểm):
	Giải phương trình:	
	Ta có:	* 	(0,125 đ)
	(0,125 đ)
	* 	(0125 đ)
	(0,125 đ)
	Phương trình đã cho trở thành: 	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
	(0,50 đ)
	Vậy nghiệm của PT đã cho là: 	(0,25 đ)
	Bài 3 (1,75 điểm):	Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:
Để giải quyết bài toán trên, ta giải quyết bài toán sau: Cho a, b, c là các số lớn hơn 0. Chứng minh rằng:	
Tacó: 	(0,25 đ)
	(0,125 đ)
	(0,25 đ)
	(0,125 đ)
	(0,125 đ)
	 = 	(0,125 đ)
	 = 	(0,125 đ)	
Vì	; ; 	(0,125 đ)
	Nên: = 	(0,125 đ)
	Suy ra 	(0,125 đ)
	Hay 	(0,25 đ)
	Bài 4 (1,50 điểm):	Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:
	Ta có: 	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
	(0,25 đ)
	Do đó: hay 	(0,25 đ)
	Bài 5 (3,0 điểm):	
	Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Tính góc BMK ?
Vẽ hình và ghi được GT,KL	 (0,5 đ)
	Gọi N là trung điểm của BH; Tia MN cắt BC
tại E, ta có MN là đường trung bình của =>
MN // AB và MN = (0,5 đ)
Do đó 	 (0,5 đ)
=> MK // CN	(1)	 (0,25 đ)
	Tam giác BMC có BH 	(0,25 đ)
	Mặt khác ME // AB mà AB hay ME là đường cao của tam giác BMC.	(0,5 đ)
	Như vậy N là trực tâm của tam giác MBC. Do đó CN (2)	(0,25 đ)
	Từ (1) và (2) suy ra MK 	(0,25 đ)