Đề thi VMEO IV tháng 11/ 2015 môn Toán

ĐỀ THI VMEO IV THÁNG 11
Diễn đàn Toán học
Ngày 31 tháng 10 năm 2015
1
1. CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ 2
1 CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Bài toán 1.1. Cho đường thẳng (d) : y = x+
1√
2
trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Chứng minh rằng mọi đường tròn có tâm I thuộc (d) và bán kính
1
8
đều không chứa bất cứ điểm
nguyên nào.
2. Tìm số dương k lớn nhất sao cho khoảng cách từ mọi điểm nguyên trên mặt phẳng tới đường
thẳng d đều không nhỏ hơn k. 4
Bài toán 1.2. Cho tam giác BAC cân tại A có ∠BAC = 20o. Dựng tam giác đều BDC sao cho
D,A cùng phía so với BC. Dựng tam giác DEB cân tại D có ∠EDB = 80o và C,E khác phía so
với DB. Chứng minh tam giác AEC cân tại E. 4
Bài toán 1.3. Có bao nhiêu số tự nhiên n bé hơn 2015 mà chia hết cho b 3√nc ?
Ở đây bac là số nguyên lớn nhất không vượt quá a(a ∈ R). 4
Bài toán 1.4. Các bạn học sinh trong trường xếp các hàng dọc sao cho đếm từ trái sang, hàng thứ
nhất có n bạn, hàng thứ 2 có n − 1 bạn, ... cho đến hàng thứ n có 1 bạn. Các bạn đều quay mặt về
phía hàng thứ nhất. Ví dụ với n = 5 (mỗi dấu * đại diện cho một bạn):
*
* *
* * *
* * * *
* * * * * (hàng thứ nhất)
Mỗi bạn được phép chọn duy nhất một mệnh đề trong hai mệnh đề dưới đây để phát biểu (trừ các
bạn đứng đầu hàng).
• Mệnh đề 1. "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là
người nói dối."
• Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là
người nói thật."
Với n = 2015, hãy tìm số người nói thật nhiều nhất có thể.
Chú thích: Nếu một bạn học sinh nói dối thì bạn ấy sẽ nói ngược sự thật. Còn một bạn học sinh nói
thật thì bạn ấy sẽ nói đúng sự thật. 4
Hết đề cấp THCS
VMEO IV Diễn đàn Toán học
2. CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 3
2 CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Bài toán 2.1. Với k > 0 cho trước và a, b, c là ba số thực dương sao cho
a
b
+
b
c
+
c
a
= (k + 1)2 +
2
k + 1
Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 6 (k2 + 1)(ab+ bc+ ca) 4
Bài toán 2.2. Cho tam giác ABC với hai điểm P,Q đẳng giác. Gọi D,E là hình chiếu của P lên
AB,AC. G là hình chiếu của Q lên BC. U là hình chiếu của G lên DE, L là hình chiếu của P lên
AQ, K là đối xứng của L qua UG.
Chứng minh UK đi qua điểm cố định. 4
Bài toán 2.3. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho
a2 + b | b2 + c, b2 + c | c2 + a
và tất cả các ước nguyên tố của a2 + b không đồng dư với 1 modulo 7. 4
Hết đề cấp THPT
VMEO IV Diễn đàn Toán học