Đề thi tuyển vào THPT chuyên tỉnh Yên Bái năm học 2005 – 2006 môn Toán

Biờn soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – giỏo viờn Trường THCS Nguyễn Thỏi Học – Lục Yờn – Yờn Bỏi 
***************************************************************************** 
ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT CHUYấN TỈNH YấN BÁI 
Năm học 2005 – 2006 
Buổi thi thứ hai (Dành cho thớ sinh chuyờn Toỏn) 
************************ 
Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức: A = x + 4 x - 4 + x - 4 x - 4 
 a) Tỡm điều kiện của x để biểu thức A tồn tại. 
 b) Chứng minh rằng: 2 x 4 (x 8)A
4 (4 x 8)
- ³ỡ
= ớ
Ê <ợ
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A = 4 
Bài 2 (2 điểm): Với giỏ trị nào của a thỡ một trong hai nghiệm của phương trỡnh x2 – 8x + 4a = 0 
sẽ gấp đụi một nghiệm nào đú của phương trỡnh x2 + x – 4a = 0. 
Bài 3 (2 điểm): Cho 5 số: n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 (n ẻ Z). Chứng minh rằng: Tổng cỏc bỡnh 
phương của 5 số đú khụng thể là bỡnh phương của một số nguyờn. 
Bài 4 (3 điểm): Hai đường thẳng xx’ và yy’ vuụng gúc với nhau tại A. Đường trũn cú tõm O di 
động trờn xx’ và cú bỏn kớnh bằng R khụng đổi. Một đường trũn thứ hai cú tõm tại điểm C, bỏn 
kớnh CA. Tõm C di động trờn yy’, đường trũn này tiếp xỳc ngoài với đường trũn tõm O ở T. 
 a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong hai đường trũn kẻ từ T đi qua một điểm cố định 
trờn yy’. Cho OA = d, tớnh bỏn kớnh AC của đường trũn thứ hai theo d và R. 
 b) Tỡm giỏ trị của d để hai đường trũn bằng nhau, trong trường hợp đú hóy tớnh gúc OCA. 
 c) Một đường trũn thứ ba đụi một tiếp xỳc ngoài với hai đường trũn núi trờn. Tớnh diện tớch 
phần xen giữa ba đường trũn trong trường hợp chỳng cú cựng bỏn kớnh R. 
****************************************************** 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức: A = x + 4 x - 4 + x - 4 x - 4 
 a) Tỡm điều kiện của x để biểu thức A tồn tại. 
 b) Chứng minh rằng: 2 x 4 (x 8)A
4 (4 x 8)
- ³ỡ
= ớ
Ê <ợ
 c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A = 4 
HD: a) Điều kiện để A tồn tại: 
 2
2
x 4 0 x 4
x 4 x 4 0 ( x 4 4) 0 x x 4
x 4 x 4 0 ( x 4 4) 0 x
- ³ ³ỡ ỡ
ù ù
+ - ³ Û - + ³ " Û ³ớ ớ
ù ù- - ³ - - ³ "ợ ợ
b) Với x ≥ 4 ị A x 4 2 | x 4 2 |= - + + - - 
 – Nếu x 4 2 0 x 8 : A x 4 2 x 4 2 2 x 4- - ³ Û ³ = - + + - - = - 
 – Nếu x 4 2 0 0 x 4 4 0 x 8 : A x 4 2 2 x 4 4- - < Û Ê - < Û Ê < = - + + - - = 
c) Từ kết quả của b) ta cú: 
 * A = 4 với 4 ≤ x < 8 (1) 
 * Với x ≥ 8: A = 4 Û 2 x 4 4 x 8- = Û = (2) 
Biờn soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – giỏo viờn Trường THCS Nguyễn Thỏi Học – Lục Yờn – Yờn Bỏi 
***************************************************************************** 
Từ (1) và (2) ta cú: A = 4 với cỏc giỏ trị 4 ≤ x ≤ 8 
Bài 2 (2 điểm): Với giỏ trị nào của a thỡ một trong hai nghiệm của phương trỡnh x2 – 8x + 4a = 0 
sẽ gấp đụi một nghiệm nào đú của phương trỡnh x2 + x – 4a = 0. 
HD: Giả sử α là một nghiệm của phương trỡnh x2 – x – 4a = 0 (1) thỏa món điều kiện 2α là 
nghiệm của phương trỡnh x2 – 8x + 4a = 0 (2). Khi đú: 
2
2
α α 4a 0 (1')
(2 ')4α 16α 4a 0
ỡ + - =ù
ớ
- + =ùợ
Giải ra ta được a = α thay vào phương trỡnh (1’) ta được a = 0 hoặc a = 3. 
 – Nếu a = 0: (1) cú hai nghiệm x1 =0, x2 = –1 và (2) cú hai nghiệm x1 = 0, x2 = 8 (thỏa 
món) 
 – Với a = 3: (1) cú hai nghiệm x1 =3, x2 = –4 và (2) cú hai nghiệm x1 = 6, x2 = 2 (thỏa 
món) 
Vậy: Với a = 0 hoặc a = 3 thỡ điều kiện của bài toỏn được thỏa món 
Bài 3 (2 điểm): Cho 5 số: n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 (n ẻ Z). Chứng minh rằng: Tổng cỏc bỡnh 
phương của 5 số đú khụng thể là bỡnh phương của một số nguyờn. 
HD: Theo bài ra ta cú: A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5(n2 + 2)  5 
Vỡ A là bỡnh phương của một số nguyờn: 5(n2 + 2) = (5m.k)2 = 52m.k2 (m ẻ N, m ≥ 1, k ẻ Z). Suy 
ra: A  25 Û n2 + 2  5. Xột từng trường hợp n = 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 ta thấy trong 
mọi trường hợp n2 + 2 đều khụng chia hết cho 5 ị đpcm. 
Bài 4 (3 điểm): Hai đường thẳng xx’ và yy’ vuụng gúc với nhau tại A. Đường trũn cú tõm O di 
động trờn xx’ và cú bỏn kớnh bằng R khụng đổi. Một đường trũn thứ hai cú tõm tại điểm C, bỏn 
kớnh CA. Tõm C di động trờn yy’, đường trũn này tiếp xỳc ngoài với đường trũn tõm O ở T. 
 a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong hai đường trũn kẻ từ T đi qua một điểm cố định 
trờn yy’. Cho OA = d, tớnh bỏn kớnh AC của đường trũn thứ hai theo d và R. 
 b) Tỡm giỏ trị của d để hai đường trũn bằng nhau, trong trường hợp đú hóy tớnh gúc OCA. 
 c) Một đường trũn thứ ba đụi một tiếp xỳc ngoài với hai đường trũn núi trờn. Tớnh diện tớch 
phần xen giữa ba đường trũn trong trường hợp chỳng cú cựng bỏn kớnh R. 
HD: a) DIAH = DOTH (c.g.c) ị AI = OT = R ị I cố định 
Theo ĐL Pitago: CA2 = OC2 – OA2 = (CA + R)2 – d2 
Û CA2 = CA2 + 2CA.R + R2 – d2 Û 
2 2d RCA
2R
-
= 
b) Hai đường trũn bằng nhau Û 
2 2d R R d R 3
2R
-
= ị = . 
Khi đú DCAO cú: CO = 2R, OA = R ị  0 0COA 30 ; OCA 60= = 
 c) Khi đú, DCOO’ là tam giỏc đều cú cạnh bằng 2R. Ta cú: 
2
CO ' O
1 2R 3S .2R. R 3
2 2
= = . Cỏc hỡnh quạt trũn CMP, OPN, O’MN 
cú gúc ở tõm bằng 600. Cú diện tớch bằng nhau và bằng 21 πR
6
ịS = SCO’O – 3SqCMP = 
2 2
2 3πR R (2 3 π)R 3
6 2
-
- = 
**************************************************************************************** 
N
M
O'
H
C T
I
A
x x'
y
y '
O