Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán chuyên

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
	THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH	NĂM HỌC 2015 – 2016
	MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
	ĐỀ CHÍNH THỨC	Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015
	(Đề thi gồm 01 trang)	Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (1,5 điểm) 
Cho hai số thực , thỏa điều kiện , . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 2. (2,5 điểm) 
Giải phương trình: 
Chứng minh rằng: với mọi số nguyên , , .
Câu 3. (2 điểm)
Cho hình bình hành . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng qua vuông góc với tại . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường trung trực của tại . Hai đường thẳng và cắt nhau tại . Tính tỉ số .
Câu 4. (1 điểm) 
Cho hai số dương , thỏa mãn điều kiện: . 
Chứng minh rằng: 
Câu 5. (2 điểm) 
Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của cạnh và là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng qua vuông góc với tại . Kẻ đường kính . Chứng minh rằng:
Chứng minh 
 đi qua trung điểm của đường cao của tam giác .
Câu 6. (1 điểm) 
Mười vận động viên tham gia cuộc thi đấu quần vợt. Cứ hai người trong họ chơi với nhau đúng một trận. Người thứ nhất thắng trận và thua trận, người thứ hai thắng trận và thua trận, ..., người thứ mười thắng trận và thua trận. Biết rằng trong một trận đấu quần vợt không có kết quả hòa. Chứng minh rằng:
-------------------- HẾT --------------------
Hướng dẫn giải
Câu 1. 
Với , , ta có: 
Vậy , với , .
Câu 2a. 
Điều kiện: 
Với điều kiện trên, phương trình trở thành: 
So với điều kiện ban đầu, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là:
Câu 5.
Chứng minh BA . BC = 2BD . BE
Ta có: , 
 (1)
Ta có: (c-g-c) 
Ta lại có: , 
và 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (g-g) 
CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC
Gọi là giao của và .
Ta có (cmt)
 (c-g-c)
 . Mà (cùng chắn )
 Þ là trung điểm .
Gọi là giao điểm của và . 
 có (HQ định lí Te-let)	(3)
 có (HQ định lí Te-let)	(4)
Mà (là trung điểm )	(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra là trung điểm .
----------------------------------------------------------
SỞ GDĐT BẠC LIÊU	KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016
Đề thi chính thức	MÔN TOÁN CHUYÊN
(Gồm 01 trang)	Ngày thi: 10/06/2015
	Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (2,0 điểm)
a. Chứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8.
b. Tìm nghiệm (x; y) của phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*.
Câu 2. (2,0 điểm)
	Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1.
Câu 3. (2,0 điểm)
a. Cho phương trình x4 – 2(m – 2)x² + 2m – 6 = 0. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
b. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + ≥ 6.
Câu 4. (2,0 điểm)
	Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN. Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại B. Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F.
a. Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi K là trung điểm của FE. Chứng minh rằng AK vuông góc với MN.
Câu 5. (2,0 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho d không cắt đoạn BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên d. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BHKC.
----------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
a. n² + 4n + 5 = (n + 2)² + 1
Vì n là số lẻ suy ra n + 2 = 2k + 1, k là số nguyên
Ta có (n + 2)² + 1 = 4k² + 4k + 2 không chia hết cho 4
Vậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8
b. x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y
 x² + 2xy + xy + 2y² – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0
 x(x + 2y) + y(x + 2y) – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0
 (x + y – 1)(x + 2y) – 8(x + y – 1) = 0
 (x + y – 1)(x + 2y – 8) = 0 (a)
Với x ≥ 1, y ≥ 1 (vì thuộc N*) suy ra x + y – 1 ≥ 1 > 0
Do đó (a) x + 2y = 8
Ta có 2y ≤ 8 – 1 = 7
Nên y ≤ 7/2
Mà y thuộc N* suy ra y = 1; 2; 3
Lập bảng kết quả
y	1	2	3
x	6	4	2
Vậy tập hợp bộ số (x, y) thỏa mãn là {(6; 1), (4; 2), (2; 3)}
Câu 2. 5x² + mx – 28 = 0
Δ = m² + 560 > 0 với mọi m
Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Ta có: x1 + x2 = –m/5	(1)
x1x2 = –28/5	(2)
5x1 + 2x2 = 1	(3)
Từ (3) suy ra x2 = (1 – 5x1)/2	(4)
Thay (4) vào (2) suy ra 5x1(1 – 5x1) = –56
 25x1² – 5x1 – 56 = 0
 x1 = 8/5 hoặc x1 = –7/5
Với x1 = 8/5 → x2 = –7/2
Thay vào (1) ta có 8/5 – 7/2 = –m/5 m = 19/2
Với x1 = –7/5 → x2 = 4 → –7/5 + 4 = –m/5 suy ra m = –13
Câu 3.
a. x4 – 2(m – 2)x² +2m – 6 = 0.	(1)
Đặt t = x² (t ≥ 0)
(1) t² – 2(m – 2)t + 2m – 6	(2)
Δ’ = (m – 2)² – (2m – 6) = m² – 6m + 10 = (m – 3)² + 1 > 0 với mọi m.
Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Ứng với mỗi nghiệm t > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương.
 2m – 6 > 0 và 2(m – 2) > 0 m > 3.
Vậy m > 3 thỏa mãn yêu cầu.
b. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 + ≥ 6.
Áp dụng bất đẳng thức cô si: a5 + 1/a ≥ 2a²; b5 + 1/b ≥ b²; c5 + 1/c ≥ c².
Suy ra a5 + b5 + c5 + ≥ 2(a² + b² + c²)
Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c
Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3
Vậy đpcm.
Câu 4.
a. Tam giác ABE vuông tại B và BM vuông góc với AE
M
E
A
B
K
N
F
Nên ta có AM.AE = AB²
Tương tự AN.AF = AB²
Suy ra AM.AE = AN.AF
Hay AM/AN = AE/AF
Xét ΔAMN và ΔAFE có góc MAN chung
Và AM/AN = AF/AE
Do đó ΔAMN và ΔAFE đồng dạng
Suy ra góc AMN = góc AFE.
Mà góc AMN + góc NME = 180° (kề bù)
Nên góc AFE + góc NME = 180°
Vậy tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn.
b. góc MAN = 90°
Nên tam giác AEF vuông tại A suy ra AK = KB = KF
Do đó góc KAF = góc KFA
Mà góc AMN = góc KFA (cmt)
B
C
A
H
K
Suy ra góc KAF = góc AMN
Mà góc AMN + góc ANM = 90°
Suy ra góc KAF + góc ANM = 90°.
Vậy AK vuông góc với MN
Câu 5.
Ta có BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK²
Ta cần chứng minh bất đẳng thức:
(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)	(*)
Ta có: (*) a²c² + 2acbd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
 a²d² – 2abcd + b²c² ≥ 0 (ad – bc)² ≥ 0 (đúng với mọi a, b, c, d)
Dấu bằng xảy ra khi ad = bc hay a/c = b/d
Áp dụng (*) ta được: 2(BH² + AH²) ≥ (BH + AH)²	(1)
Tương tự ta có 2(AK² + CH²) ≥ (AK + CK)²	(2)
Suy ra 2BC² ≥ (BH + AH)² + (AK + CK)²	(3)
Đặt BH + AH = m; đặt AK + CK = n
Vì góc CAK + góc BAH = 90°; mà góc BAH + góc ABH = 90° nên góc CAK = góc ABH
Dẫn đến tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAK
→ AH/CK = BH/AK = AB/AC = (AH + BH)/(CK + AK) = m/n
Nên AB²/m² = AC²/n² = (AB² + AC²)/(m² + n²) ≥ BC²/(2BC²) = 1/2
Hay m ≤ AB và n ≤ AC
Chu vi tứ giác BHKC là BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n ≤ BC + (AB + AC)
Vậy chu vi BHKC lớn nhất là BC + (AB + AC)
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút. 
(Đề thi gồm: 01 trang)
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Cho đa thức . Biết chia cho dư 3, chia cho dư 1 và chia cho dư 5. Tìm các hệ số .
2) Cho các số thỏa mãn . Chứng minh rằng:
	a) 	
b) 
Bài 2. (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình 
2) Giải phương trình 
Bài 3. (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại Một đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và tiếp xúc với đường tròn tại ( nằm giữa và ). Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm khác Gọi là điểm thuộc cung không chứa của đường tròn ( khác và ). Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng không cắt nhau. Gọi là giao điểm của các đường thẳng và là giao điểm khác của đường thẳng và đường tròn Chứng minh rằng:
	1) Tứ giác là tứ giác nội tiếp và 
	2) là phân giác góc ngoài tại của tam giác 
	3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Bài 4. (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên thỏa mãn
Bài 5. (1,5 điểm)
	1) Trong mặt phẳng cho tập gồm 8065 điểm đôi một phân biệt mà diện tích của mỗi tam giác có 3 đỉnh thuộc tập đều không lớn hơn 1 (quy ước nếu 3 điểm thẳng hàng thì diện tích của tam giác tạo bởi 3 điểm này bằng 0). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có diện tích không lớn hơn 1 chứa ít nhất 2017 điểm thuộc tập (mỗi điểm trong số 2017 điểm đó nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ).
	2) Cho ba số dương . Chứng minh bất đẳng thức
---------HẾT---------
 Họ và tên thí sinh:.................
 Số báo danh:.................
Họ tên, chữ ký GT 1.
Họ tên, chữ ký GT 2.
--------------------------------------------------------------------
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM 2015-2016
MÔN THI: TOÁN 
(Dành cho tất cả thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm).
Cho biểu thức: 	
Rút gọn biểu thức P.
Tính giá trị của thức P khi 
Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức chỉ nhận một giá trị nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho phương trình x2 – 2mx + (m – 1)3 = 0	(m là tham số).
Giải phương trình khi m = –1. 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 3 (1,0 điểm).
Giải phương trình: 
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC.
Chứng minh AE.AB = AF.AC.
Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.
Chứng minh HAM = HBO 
Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.
Bài 5 (0,5 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Hết
Họ và tên thí sinh: ..
SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2015-2016
DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM 
MÔN TOÁN CHUNG
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1a
0,25
0,5
0,5
0,25
1b
Ta có 
0,25
Thay vào biểu thức 
0,25
Tính được kết quả 
0,25
1c
Đưa được 
0,25
Đánh giá , suy ra 
0,25
Vậy chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi 
0,25
2a
Khi ta có phương trình 
0,5
Giải phương trình ta được hai nghiệm: 
0,5
2b
Tính được 
0,25
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
0,25
Gọi là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có 
Giả sử thay vào (2) ta được 
0,25
Thay hai nghiệm vào (1) ta được 
Khẳng định hai giá trị vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận
0,25
3
Điều kiện: , đưa phương trình trở thành: 
0,25
Đặt ẩn phụ: , phương trình trở thành: 
0,25
Trường hợp: ta có (vô nghiệm)
0,25
Trường hợp: ta có 
0,25
4a
Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung
0,25
Ta có suy ra 
(hoặc suy ra )
0,25
Suy ra hai tam giác AEF và ACB đồng dạng
0,25
Từ tỷ số đồng dạng ta có AE.AB = AC.AF
0,25
4b
Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH.
0,25
Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM)
0,25
Suy ra (c.c.c)
0,25
Từ đó , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
0,25
4c
Xét hai tam giác AHM và BHO có 
0,25
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có 
0,25
Suy ra 
0,25
Suy ra 
0,25
4d
Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn
Ta có , suy ra BO // HK
0,25
Mà , suy ra , suy ra O là trực tâm của tam giác ABM
0,25
5
Giả sử , từ giả thiết suy ra . Ta có bất đẳng thức sau: (luôn đúng).
Vậy ta cần chứng minh: 
0,25
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì 
hay .
Dấu bằng xảy ra khi 
0,25
Cho các số dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: 
5
 Ta có 
0,25
Ta có 
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BÌNH ĐỊNH 
Đề chính thức
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Ngày thi: 06/06/2015
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
 Bài 1: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức P = 
Giải hệ phương trình: 
Bài 2: (2 điểm)
 Cho phương trình (1) (m là tham số)
Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp . Gọi là hai nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 3: (2 điểm)
 Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi trên các dãy ghế có chỗ ngồi bằng nhau. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người thì vừa đủ chỗ. 
 Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu chỗ ngồi.
Bài 4: (2 điểm)
 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O). Đoạn thẳng MO cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I. Chứng minh rằng:
Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
MC.MD = MA2.
OH.OM + MC.MD = MO2.
Bài 5: (2 điểm)
 Cho x, y, z là các số thự thỏa mãn điều kiện: 
 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
------------------ HẾT ----------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
------------------------
Câu 1 (1,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-------------- HẾT--------------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................. Số báo danh: ...............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
 NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, cán bộ chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
· Thí sinh làm bài theo cách khác với Hướng dẫn mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án-thang điểm
Câu 1 (1,5 điểm) 
a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn và là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5.
b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Nội dung
Điểm
a) (0,5 điểm)
Ta có với mọi số nguyên m thì chia cho 5 dư 0 , 1 hoặc 4.
+ Nếu chia cho 5 dư 1 thì 
 nên không là số nguyên tố.
0,25
+ Nếu chia cho 5 dư 4 thì 
 nên không là số nguyên tố.
Vậy hay n chia hết cho 5.
0,25
b) (1,0 điểm)
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên x thì theo y phải là số chính phương
0,25
Ta có 
chính phương nên 
0,25
+ Nếu thay vào phương trình (1) ta có : 
+ Nếu 
+ Nếu 
0,25
+ Với thay vào phương trình (1) ta có: 
+ Với thay vào phương trình (1) ta có: 
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên : 
0,25
Câu 2 (2,0 điểm) 
 a) Rút gọn biểu thức: 
 b) Tìm m để phương trình: có 4 nghiệm phân biệt.
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm)
0,25
0,25
0,25
 Vậy 
0,25
b) (1,0 điểm)
Phương trình 
0,25
Đặt phương trình (1) trở thành:
Nhận xét: Với mỗi giá trị thì phương trình: có 2 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệtphương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. 
0,25
0,25
Vậy với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu 3 (2,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Nội dung
Điểm
a) (1,0 điểm)
Điều kiện: (*).
Ta có: 
0,25
Đặt (Điều kiện:), phương trình trở thành 
0,25
0,25
+Với không thỏa mãn điều kiện (**).
+ Với ta có phương trình:
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm 
0,25
b) (1,0 điểm)
0,25
Từ phương trình (1) ta có 
0,25
0,25
+ Trường hợp 1: 
Với không thỏa mãn phương trình (2).
+ Trường hợp 2: thay vào phương trình (2) ta có:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 
0,25
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua điểm cố định.
Nội dung
Điểm
a) (1,5 điểm)
Ta có (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)
Mà (tính chất đối xứng) suy ra (1)
 (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)
 (tính chất đối xứng) suy ra (2) 
0,5
 Mặt khác (cùng phụ với ) (3). Từ (1), (2) , (3) suy ra 
hay KA là phân giác trong của góc 
0,25
Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BE với AC và CF với AB.
Ta có nên . Trong tam giác vuông ABP 
có hay .
0,25
Tứ giác APHQ có (đối đỉnh).
0,25
Ta có , (theo chứng minh phần a).
Mà suy ra 
nên tứ giác BHCK nội tiếp.
0,25
b) (1,5 điểm)
Gọi (O’) là đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K. Ta có dây cung nên bán kính đường tròn (O’) bằng bán kính R của đường tròn (O).
0,5
Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC (N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC. 
Ta có 
 (do HM HI; KNKI ).
0,25
Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra (không đổi)
nên lớn nhất khi và 
0,25
Giá trị lớn nhất 
0,25
Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung điểm của BC nên cân tại A. Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn 
0,25
c) (0,5 điểm)
Ta có suy ra 
 nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.
0,25
Ta có OB=OC=R suy ra hay KO là phân giác góc 
 theo phần (a) KA là phân giác góc nên K ,O, A thẳng hàng hay AK đi qua O cố định
0,25
Câu 5 (1,0 điểm) 
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Nội dung
Điểm
Ta có 
0,25
Đặt thì và 
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có 
Tương tự: 
0,25
Từ (1); (2); (3) ta có Đẳng thức xảy ra hay Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 
0,25
-------------- HẾT --------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm) 
Giải phương trình: 
Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn: 
Câu 2 (2,0 điểm)
Phép toán T được định nghĩa như sau: với a và b là các số thực khác 0 
tùy ý. Thí dụ: . Tính giá trị biểu thức: 
Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 
Chứng minh rằng: 
Câu 3 (2,0 điểm) 
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 2015 và n + 2199 đều là các số chính phương.
Bạn Nam viết một chương trình để máy tính in ra các số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự tăng dần từ 1 đến 1000 dưới dạng sau:
12345678910111213141516...9989991000.
Trong dãy số trên, tính từ trái qua phải, chữ số thứ 11 là chữ số 0, chữ số thứ 15 là chữ số 2. Hỏi chữ số thứ 2016 trong dãy số trên là chữ số nào?
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm di động trên cạnh AB. Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho trên cạnh BC lấy điểm F sao cho 
Chứng minh rằng