Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học) - Năm học 2017-2018 - Sở GD& ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình , trong đó là tham số, là ẩn số. 
a) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm.
b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm là . Chứng minh rằng .
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình , trong đó là tham số và là các ẩn số.
a) Giải hệ phương trình với .
b) Tìm tất cả các giá trị của để hệ phương trình có nghiệm.
Câu 3 (3,0 điểm). Cho hình thang ABCD với là hai cạnh đáy, , ,, , E là điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và .
b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh rằng và đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác .
c) Tính độ dài cạnh CD.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho phương trình (1). Mỗi bộ số trong đó là các số nguyên dương thỏa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng của phương trình (1).
b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương của phương trình (1) và thỏa mãn điều kiện . Trong đó kí hiệu là số nhỏ nhất trong ba số 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên và số nguyên dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng tồn tại hai số sao cho .
---Hết---
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh .. Số báo danh ..
SỞ GDĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án gồm 05 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 – 2018 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(Dành cho chuyên Toán, chuyên Tin học)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình , trong đó là tham số, là ẩn số. 
Nội dung
Điểm
1a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
1,00
PT có nghiệm 
0,25
0,25
0,25
0,25
1b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm là . Chứng minh rằng .
1,00
Theo Viet ta có: 
0,25
0,25
Có 
0,25
Suy ra , dấu bằng xảy ra khi .
0,25
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình , trong đó là tham số và x, y là các ẩn số.
Nội dung
Điểm
2a) Giải hệ phương trình với .
1,00
Với m=7 ta có: (do không thỏa mãn).
0,25
0,25
0,25
Với .
Với . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 
0,25
2b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. 
1,00
Ta có không thỏa mãn suy ra 
Rút y từ PT thứ nhất rồi thế vào PT thứ hai ta có: 
0,25
Hệ có nghiệm có nghiệm khác 0.
0,25
có nghiệm khác 0. Đặt Thay vào phương trình trên ta được (1). Như vậy yêu cầu bài toán có nghiệm dương.
0,25
Dễ thấy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu do suy ra (1) luôn có một nghiệm dương. Do đó với mọi số thực hệ phương trình luôn có nghiệm.
0,25
Câu 3 (3,0 điểm). Cho hình thang ABCD thỏa mãnlà hai đáy, , ,, , E là điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và .
b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh rằng và đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác .
c) Tính độ dài cạnh CD.
Nội dung
Điểm
3a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và .
1,00
Do E đối xứng D qua BC nên 
0,25
Có suy ra cùng nằm trên một đường tròn.
0,25
Có tam giác ABC cân tại A nên , kết hợp với tứ giác ACEB nội tiếp ta được . 
0,25
Từ đó suy ra .
0,25
3b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm , đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh rằng và đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác .
1,00
Có: vuông tại D và .
0,25
Mặt khác tứ giác AKDL nội tiếp.
0,25
Có (do AD||BC), tứ giác ACEB nội tiếp suy ra , do BC là trung trực của BE nên . Do đó suy ra 
0,25
 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK, kết hợp với FD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK.
0,25
3c) Tính độ dài cạnh CD.
1,00
Do EF là phân giác , suy ra (vì )
Ta có đồng dạng với 
0,25
Áp dụng định lý Ptolemy có: 
0,25
0,25
.
0.25
Câu 4 (2,0 điểm). Cho phương trình (1). Mỗi bộ số trong đó là các số nguyên dương thỏa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).
Nội dung
Điểm
4a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng của phương trình (1).
1,00
Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương là . Khi đó thay vào phương trình ta được: .
0,25
suy ra . Thay trở lại phương trình trên ta được
.
0,25
Từ phương trình này ta được .
0,25
Với 
Với Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương dạng là:.
0,25
4b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương của phương trình (1) và thỏa mãn điều kiện . Trong đó kí hiệu là số nhỏ nhất trong ba số 
1,00
Ta có là một nghiệm của phương trình đã cho
Giả sử với thỏa mãn .
0,25
Xét phương trình: 
.
0,25
Suy ra phương trình (1) có nghiệm với .
Do , suy ra .
0,25
Lặp lại quá trình trên sau không quá 2017 lần ta được .
0,25
Câu 5 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên và số nguyên dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số sao cho .
Nội dung
Điểm
Với mọi k đặt (2). Do đó ta có thể chọn k sao cho và chuyển về xét dãy số . Khi đó ta chỉ cần chứng minh tồn tại hai số sao cho .
0,25
Xét 2 trường hợp:
1. Nếu tồn tại sao cho thì ta có: 
0,25
2. Nếu với mọi ta có thì các số . Các số thuộc tập chia thành n cặp số: . Do đó 
0,25
trong số , tồn tại 2 số thuộc cùng một cặp, chẳng hạn hay . Theo (2) từ cặp số thỏa mãn thì tồn tại cặp số thỏa mãn .
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
- Hướng dẫn chấm (HDC) chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
---Hết---