Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT - Hà Nội năm học: 2012 – 2013 môn: Toán

www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
 HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013 
 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài I (2,5 điểm) 
1) Cho biểu thức 4
2
xA
x
+
=
+
 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36. 
2) Rút gọn biểu thức 4 16:
4 4 2
x xB
x x x
  +
= +  + − + 
 (với x ≥ 0, x ≠ 16). 
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị 
của biểu thức B(A – 1) là số nguyên. 
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 
 Hai người cùng làm chung một công việc trong 12
5
 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm 
một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. 
Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? 
Bài III (1,5 điểm) 
1) Giải hệ phương trình 
2 1 2
6 2 1
x y
x y

+ =



− =

2) Cho phương trình : 2 2(4 1) 3 2 0x m x m m− − + − = (ẩn x). Tìm m để phương trình có 
hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 2 21 2 7x x+ = 
Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M 
là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H 
trên AB. 
1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 
2) Chứng minh
 
ACM ACK= 
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là 
tam giác vuông cân tại C. 
4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d 
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và .AP MB R
MA
= . 
Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. 
Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức M = 
2 2x y
xy
+
. 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 2 
BÀI GIẢI 
Bài I: (2,5 điểm) 
1) Với x = 36, ta có : A = 36 4 10 5
8 436 2
+
= =
+
2) Với x ≥ , x ≠ 16 ta có : 
B = x( x 4) 4( x 4) x 2
x 16 x 16 x 16
 
− + +
+  
− − + 
 = 
(x 16)( x 2) x 2
(x 16)(x 16) x 16
+ + +
=
− + −
3) Biểu thức B (A – 1) = x 2 x 4 x 2
x 16 x 2
 + + − −
  
− + 
= 
2
x 16−
 là số nguyên 
 ⇔ x – 16 = ±1 hay x – 16 = ±2 ⇔ x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18 
Bài II: (2,0 điểm) 
 Đặt x là số giờ người thứ nhất hoàn thành công việc ⇒ x + 2 là số giờ người thứ 
hai hoàn thành công việc. Vậy ta có phương trình : 
1 1 5
x x 2 12
+ =
+
 ⇔ x = 4 
 Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ và người thứ hai làm xong 
công việc trong 6 giờ. 
Bài III: (1,5 điểm) 
1) 
2 1 2
x y
6 2 1
x y

+ =



− =

 ⇔ 
2 1 2
x y
5 5 [pt(2) 3pt(1)]
y

+ =



− = − −

 ⇔ 
y 1
2 1
x
=


=
 ⇔ 
x 2
y 1
=

=
2) ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, ∀m 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀m 
 Ta có : x1 + x2 = 
b
a
− = 4m – 1 và x1.x2 = 
c
a
 = 3m2 – 2m 
 Do đó, ycbt ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7 
 ⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 ⇔ 10m2 – 4m – 6 = 0 ⇔ m = 1 hay m = 3
5
−
Bài IV: (3,5 điểm) 
A B 
C 
M 
H 
K O 
Q 
P E 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 3 
1) Tứ giác CBKH có hai góc đối 
 
 090HCB HKB= = nên tứ giác CBKH nội tiếp trong 
vòng tròn đường kính HB. 
2) Góc 
 
ACM ABM= chắn cung AM và 
 
 
ACK HCK HBK= = vì cùng chắn cung HK . 
Vậy 
 
ACM ACK= 
3) Xét 2 tam giác MAC và EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB và góc giữa 

MAC = 
MBC vì cùng chắn cung MC nên 2 tam giác đó bằng nhau. 
Vậy ta có CM = CE và 
 045CMB = vì chắn cung  090CB = . 
Vậy tam giác MCE vuông cân tại C. 
4) Xét 2 tam giác PAM và OBM 
Theo giả thuyết ta có .AP MB AP OBR
MA MA MB
= ⇔ = . Mặt khác ta có 
 
PAM ABM= vì cùng 
chắn cung AM vậy 2 tam giác trên đồng dạng. 
 Vì tam giác OBM cân tại O nên tam giác PAM cũng cân tại P. Vậy PA = PM. 
Kéo dài BM cắt d tại Q. Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM nên PA = PQ vậy P là 
trung điểm của AQ nên BP cũng đi qua trung điểm của HK, do định lí Thales (vì HK//AQ). 
Bài V: (0,5 điểm) 
 M = 
2 2x y
xy
+
với x, y là các số dương và x ≥ 2y 
 Ta có 2 2
1 x(2y)
M 2(x y )
=
+
 ≤ 
2 2 2 2 2
2 2 2 2
x 4y x y 3y
4(x y ) 4(x y )
+ + +
=
+ +
 (Bất đẳng thức Cauchy) 
 = 
2 2
2 2 2 2
1 3y 1 3y 1 3 2
4 4(x y ) 4 4(4y y ) 4 20 5
+ ≤ + = + =
+ +
 (Thay mẫu số bằng số nhỏ hơn). 
 Suy ra Max 1 2
M 5
= khi x = 2y, do đó giá trị nhỏ nhất của M = 5
2
 đạt được khi x = 2y. 
TS. Nguyễn Phú Vinh 
(Trường THPT Vĩnh Viễn – TP.HCM)