Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Quốc học môn Toán - Năm học 2008-2009 - Sở GD & ĐT Thừa Thiên Huế (Có đáp án)

	Sở Giáo dục và đào tạo	Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC 
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
	Đề chính thức	Thời gian làm bài: 150 phút 
Bài 1: (3 điểm)
Khụng sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi, hóy chứng minh đẳng thức :
.
Giải hệ phương trỡnh : 
Bài 2: (1,5 điểm)
 Cho phương trỡnh: . 
Tỡm giỏ trị để phương trỡnh cú bốn nghiệm sao cho:
 và .
Bài 3: (3 điểm)
 Cho đường trũn (O), đường kớnh AB. Gọi C là trung điểm của bỏn kớnh OB và (S) là đường trũn đường kớnh AC. Trờn đường trũn (O) lấy hai điểm tựy ý phõn biệt M, N khỏc A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường trũn (S). 
Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.
Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: .
Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: .
Bài 4: (1,5 điểm) 
Tỡm số tự nhiờn cú bốn chữ số (viết trong hệ thập phõn) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa món:
Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
Tổng p + q lấy giỏ trị nhỏ nhất, trong đú p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cũn q là tỉ số của chữ số hàng nghỡn và chữ số hàng trăm.
Bài 5: (1 điểm)
Một tấm bỡa dạng tam giỏc vuụng cú độ dài ba cạnh là cỏc số nguyờn. Chứng minh rằng cú thể cắt tấm bỡa thành sỏu phần cú diện tớch bằng nhau và diện tớch mỗi phần là số nguyờn.
Hết 
SBD thớ sinh: .................	Chữ ký GT1: ..............................	
 Sở Giáo dục và đào tạo	Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
	Thừa Thiên Huế	Môn: TOáN - Năm học 2008-2009
 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM 
BÀI
 NỘI DUNG 
Điểm
B.1
3,0
1.a
0.25
0.25
0,25
0.25
1.b
Điều kiện y0 .
0,25
.
0,25
 Đặt , (), ta cú hệ 
0,50
Giải ra : u = 2 , v = 3 hoặc u =3 , v = 2
0,25
Trường hợp u = 2 , v = 3 cú : ( x = 1 ; y = 9 ) hoặc ( x = 3 ; y = 9)
0,25
Trường hợp u = 3 , v = 2 cú : ( x = 2 ; y = 4 ) hoặc ( x = 4 ; y = 4)
0,25
Hệ đó cho cú 4 nghiệm: (1;9) , (-3;9) , (2;4) , (- 4;4) .
0,25
B.2
1,5
 (1)
Đặt :, ta cú : (2) () . 
0,25
 với mọi .
0,25
Vậy để (1) cú bốn nghiệm phõn biệt thỡ (2) luụn cú hai nghiệm dương phõn biệt . Tương đương với: (3)
0,25
Với điều kiện (3), phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương và phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt: 
Theo giả thiết: (4)
0,25
Theo định lớ Vi-ột, ta cú: và (5)
Từ (4) và (5) ta cú: và 
.
Cả hai giỏ trị đều thỏa món điều kiện bài toỏn. 
Vậy để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm thỏa món điều kiện bài toỏn thỡ cần và đủ là:
 và .
0,50
B.3
3,0
3.a
+ Hỡnh vẽ
Do đú : (1)
+ Tương tự: và 
Từ (1) và (2): , 
Do đú 
0,25
0,25
0,25
0,25
3.b
+ Hai tam giỏc MEP và MAE cú : và . 
Do đú chỳng đồng dạng .
+ Suy ra: 
0,50
0,50
3.c
+ Tương tự ta cũng cú: 
+ Do đú: 
+ Nhưng 
+ Từ đú: 
0,25
0,25
0,25
0,25
B. 4
1,5
Xột số tựy ý cú 4 chữ số mà . (a, b, c, d là cỏc số nguyờn).
Ta tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
0,25
Do b, c là số tự nhiờn nờn: . Vỡ vậy : 
0,75
 trong trường hợp 
Vậy số thỏa món cỏc điều kiện của bài toỏn là: 1349
0,25
0,25
B.5
1,0
Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giỏc vuụng ABC, c là cạnh huyền. 
Ta cú ; a, b, c , diện tớch tam giỏc ABC là 
Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.
0.25
+ Chứng minh 
Nếu cả a và b đồng thời khụng chia hết cho 3 thỡ chia 3 dư 2. 
Suy ra số chớnh phương chia 3 dư 2, vụ lý.
0,25
+ Chứng minh 
- Nếu a, b chẵn thỡ .
- Nếu trong hai số a, b cú số lẻ, chẳng hạn a lẻ. 
Lỳc đú c lẻ. Vỡ nếu c chẵn thỡ , trong lỳc khụng thể chia hết cho 4.
Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h . Ta cú :
= = 
Suy ra .
0,25
Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối cỏc điểm chia với C thỡ tam giỏc ABC được chia thành 6 tam giỏc, mỗi tam giỏc này cú diện tớch bằng là một số nguyờn.
0.25
Ghi chú: 
Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài không làm tròn.