Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2013 - 2014 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức 
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Tìm x để 
Bài 2 (2,0 điểm): 
	1) Xác định độ dài các cạnh của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm và 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6 cm.
	2) Cho đường thẳng (D): y = (m - 1)x + m2 - 4 (m là tham số khác 1). Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (D) với trục Ox và Oy. Xác định tọa độ điểm A, B và tìm m để 3OA = OB.
Bài 3 (2,0 điểm): 
Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
	1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
	a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
	b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
	2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)
Bài 4 (3,5 điểm): 
	Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB với AC < BC và đường cao CH. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM.
	1) Chứng minh tứ giác EHBM là tứ giác nội tiếp
	2) Chứng minh AC2 = AH. AB và AC. EC = AE. CM
	3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM. Xácđịnh vị trí của điểm M để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM là ngắn nhất.
Bài 5 (0,5 điểm): 
	Cho các số thực dương x, y thảo mãn (x + y - 1)2 = xy. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
--- HẾT ---
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
Bài
Ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(2đ)
1. 
(1,5đ)
Với x > 0 và x ¹ 1, ta có: 
0,25
0,25
0,5
0,25
Vậy với x > 0 và x ¹ 1 thì 
0,25
2.
(0,5đ)
0,25
Đặt 
0,25
Vậy
Bài 2
1.
(1đ)
* Gọi độ dài chiều rộng hình chữ nhật là x (cm, 0 < x < 7) 
 và độ dài chiều dài là y (cm, 7 < y < 14)
0,25
* Vì 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6cm. Ta có pt: 5x - 3y = 6 (1)
0,25
* Chu vi hình chữ nhật là 28 cm. Ta có phương trình: 2(x + y) = 28
Û x + y = 14 (2)
* Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
0,25
Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 8cm, chiều rộng là 6cm
0,25
2.
(1đ)
* Để đường thẳng (D) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B m ¹ 1. Ta có điểm A, B lần lượt là giao điểm của (D) với trục Ox và Oy nên:
0,5
Ta có 
0,25
Vậy m = ±2, m = 4
0,25
Bài 3
1.a.
(0,5)
* Gọi M(x0, y0) là điểm cố định mà đt (d) luôn đi qua "mÎR
 Khi đó ta có: y0 = mx0 + m + 5 đúng với mọi giá trị của m thuộc R
Û y0 - 5 = m(x0 + 1) đúng với mọi giá trị của m thuộc R
Û y0 = 5 và x0 = - 1. 
Vậy đt (d) luôn đi qua điểm cố định M(- 1; 5) "m ÎR
0,25
0,25
1.b
(0,75)
* Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 - 2mx - 2m - 10 = 0 (1)
D' = m2 + 2m + 10 = (m + 1)2 + 9 ≥ 9 Þ D' > 0 "m ÎR
Þ pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Þ đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m
0,25
0,25
0,25
2.
(1đ)
+ Gọi tọa độ điểm A là A(a; b). Do A Î (P) nên b = a2/2
Theo gt: A đối xứng với B qua M(-1; 5) nên M là trung điểm của AB 
Ta có: 
+ Do B Î (P) nên 
+ Với a = 2 ta có: A(-2; 2), B(-4; 8)
+ Với a = -4 ta có: A(-4; 8), B(2; 2)
0,25
0,25
0,25
Bài 4
1.
(1đ)
* Xét tứ giác EHBM có: 
 (gnt chắn nửa đt đk AB)
Þ tg EHBM nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800)
0,25
0,25
0,25
0,25
2.
(2)
* Ta có (Gnt chắn nửa đt đk AB) Þ DABC vuông tại C
Xét DABC vuông tại C, đường cao CH có AC2 = AH. AB (htl trong Dv)
* Ta có (2 gnt cùng chắn cung AC)
 mà (cùng phụ với ) Þ 
Xét DACE và DACM có: (cmt)
 (góc chung)
Suy ra DACE ~ DAMC (gg) Þ AE: AC = CE: CM 
Þ AC.EC = AE.CM (đpcm)
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
3.
(0,5đ)
* Xét đt tâm I ngoại tiếp tam giác CEM có: (cmt)
Mà là gnt chắn , nên Þ
Mà nằm trong nên AC là tiếp tuyến của (I) ngoại tiếp D CEM
* Vì AC là tiếp tuyến của (I) nên AC ^ CI, mà AC ^ CB (cmt)
Nên I Î CB.
* Ta có khoảng cách HI nhỏ nhất Û HI ^ CB Û M là giao điểm của đường tròn (I; IC) với đường tròn đường kính AB 
(I là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống CB)
0,25
0,25
Bài 5
0,5đ
Từ giả thiết 
Áp dụng BĐT và BĐT côsi ta có:
Dấu “=” xảy ra khi x = y
Thay x = y vào đẳng thức: (x + y - 1)2 = xy tìm được x = y = 1
Vậy min P = 2 Û x = y = 1
0,25
0,25