Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 - Trường THPT Xuân Trường B (Có đáp án)

MA TRẬN ĐỀ THI THỬ THPTQG 
MÔN TOÁN 
Đề thi gồm có 50 câu; mỗi câu 0,2 điểm; được mô tả chi tiết trong bảng sau: 
Mức độ 
Chủ đề 
Nhận biết Thông hiểu 
Vận dụng 
thấp 
Vận dụng 
cao 
Tổng 
Ứng dụng đạo hàm 
để khảo sát và vẽ đồ 
thị hàm số 
4 câu 
3 câu 
3 câu 1 câu 11 câu 
2,2đ – 22% 
Hàm số lũy thừa, 
hàm số mũ và hàm số 
logarit 
3 câu 3 câu 
3 câu 1 câu 10 câu 
2,0đ – 20% 
Nguyên hàm – Tích 
phân và ứng dụng 
2 câu 
2 câu 
2 câu 1 câu 7 câu 
1,4đ 14% 
Số phức 
2 câu 
2 câu 1câu 1 câu 6 câu 
1,2đ 12% 
Khối đa diện và mặt 
tròn xoay 
3 câu 
2 câu 2 câu 1 câu 8 câu 
1,6đ 16% 
Phương pháp tọa độ 
trong không gian 
3 câu 
2 câu 2 câu 1 câu 8 câu 
1,6đ 16% 
17 câu 
3,4đ – 34% 
14 câu 
2,8đ – 28% 
13 câu 
2,6đ – 26% 
6 câu 
1,2đ – 12% 
50 câu 
10,0đ 100% 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THAM KHẢOMÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG B KÌ THI THPT QUỐC GIA 2017
Câu 1. Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
1 − 2x
x − 2 ?
A. x = 2, y = −2. B. x = 2, y = 1. C. x = −2, y = 2. D. x = 12 , y = −2.
Câu 2. Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số đã cho?
−3 −2 1 3
−1 2
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
O
A. y = − 13 x3 − x2 − 1
B. y = 13 x
3 + x2 + 1
C. y = −13 x3 − x2 − 1
D. y = 13 x
3 + 2x2 − 1
Câu 3. Tính tổng các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x+ 2?
A. 2. B. −18. C. −34. D. −12.
Câu 4. Cho hàm số y =
x
ln x
. Mệnh đề nào dưới đây về hàm số trên là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0, e) và nghịch
biến trên khoảng (e,+∞).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, e) và đồng
biến trên khoảng (e,+∞).
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0, 1) và
(1, e); đồng biến trên khoảng (e,+∞).
Câu 5. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx+ d có bảng biến thiên như sau:
x −∞ 0 1 +∞
f ′(x) + 0 − 0 +
f x −∞%
1
& 0%
+∞
Khẳng định nào sau đây là sai?
Trang 1/ 6
A. a, d > 0 B. b2 − 3ac > 0 C. cd > 1 D. bc > 0.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 9x+ 2m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?
A. m > −2 B. − 52 < m < 272 C. 14 < m < 27 D. −272 < m < 52 .
Câu 7. Gọi A và B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x+ 1
x2 + x+ 1
thì giá trị của A − 3B
là bao nhiêu?
A. 0. B. 43 . C.
2
3 . D. 2.
Câu 8. Với giá trị nào của m thì hàm số y =
√
x2 − x+ 1+m√x2 + x+ 1 có đúng hai đường tiệm cận?
A. m = 1. B. m = 0. C. m = ±1. D. m = −1.
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =
mx − 4
x −m đồng biến trên khoảng (1;+∞)?
A. −2 6 m 6 2.
B. −2 < m < 2.
C. m > 2 hoặc m < −2.
D. −2 < m 6 1.
Câu 10. Biết đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + 3x+ c đi qua gốc tọa độ và có một điểm cực trị là (1; 43 ). Tìm tọa độ
điểm cực trị còn lại của đồ thị hàm số?
A. (0; 0).
B. (−1;−133 ).
C. (3; 0).
D. (−3; 36).
Câu 11. Cần bắc một chiếc thang tựa vào tường tại vị trí C và mặt đất tại vị trí A thông qua một cột đỡ có đỉnh là
vị trí B. Cột đỡ có chiều cao 3
√
3m và khoảng cách từ tường đến tâm cột đỡ bằng 1m, như hình vẽ sau.
Hỏi chiều dài ngắn nhất có thể có của chiếc thang là bao nhiêu?
A. 6m. B. 7m. C. 8m. D. 1+ 3
√
3m.
Câu 12. Biến đổi 3
√
x5 4
√
x, với điều kiện x > 0, thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ được kết quả là:
A. x
23
12 B. x
7
4 C. x
20
3 D. x
12
5
Câu 13. Gọi nghiệm của phương trình log√2 (3x − 1) = 4 là x0 thì số x0 thuộc khoảng nào sau đây?
A. (1; 2) B. (2; 3) C. (5; 10) D. (70; 90).
Câu 14. Số lượng của một số loài vi khuẩn sau t giờ được xấp xỉ bởi đẳng thức Q = Q0e0,195t, trong đó Q0 là số
lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 5000 con thì sau bao lâu có 100.000 con?
Trang 2/ 6
A. 20 B. 3, 55 C. 24 D. 15, 36
Câu 15. Giả sử log 2 = a, tính 1log16 1000 theo a?
A. 4a3 B.
4
3a C.
3a
4 D.
3
4a
Câu 16. Nếu a = log30 3 và b = log30 5 thì log30 1350 bằng bao nhiêu?
A. 2a+ b+ 1. B. 2a − b+ 1. C. 2a − b − 1. D. 2a+ b − 1.
Câu 17. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log2−√3
(
x2 + x − 5
)
> 0?
A. 1. B. 2. C. 6. D. 4.
Câu 18. Tính đạo hàm của hàm số y = ln(x2 + x+ 1)?
A. 2x+1ln(x2+x+1) B.
2x+1
x2+x+1 C.
1
x2+x+1 D.
1
ln(x2+x+1)
Câu 19. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = ax, y = bx, y = cx được cho trong hình vẽ
dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x1
y
O
y = loga x
y =
logc
x
y = logb
x
A. a < b < c. B. a < c < b. C. b < c < a. D. c < a < b.
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x2−4x+3 = m có hai nghiệm phân biệt?
A. m > −1. B. m > 13 . C. 1 < m < 3. D. m ∈ R.
Câu 21. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện alog3 7 = 27, blog7 11 = 49, clog11 25 =
√
11. Tính giá trị của biểu thức
T = a(log7)
2
+ b(log7 11)
2
+ c(log11 25)
2
.
A. 76+
√
11. B. 3141. C. 21. D. 469.
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = sin 3x?
A.
∫
f (x)dx = − 13 cos 3x+C.
B.
∫
f (x)dx = 13 cos 3x+C.
C.
∫
f (x)dx = 3 cos 3x+C.
D.
∫
f (x)dx = −3 cos 3x+C.
Câu 23. Biết hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên R và f (0) = pi,
∫ pi
0 f
′(x)dx = 3pi. Tính f (pi).
A. f (pi) = 0. B. f (pi) = −pi. C. f (pi) = 4pi. D. f (pi) = 2pi.
Câu 24. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 2
x−1
ex biết F(0) = 1.
Trang 3/ 6
A. F(x) = 2
x+ln 2−1
ex(ln 2−1)
B. F(x) = 1ln 2−1
(
2
e
)x
+
(
1
e
)x − 1ln 2−1
C. F(x) = 2
x+ln 2
ex(ln 2−1)
D. F(x) =
(
2
e
)x
Câu 25. Biết rằng hàm số f (x) liên tục trên R và
∫ 9
0 f (x)dx = 9. Tính
∫ 3
0 f (3x)dx.
A.
∫ 3
0 f (3x)dx = 1.
B.
∫ 3
0 f (3x)dx = 2.
C.
∫ 3
0 f (3x)dx = 3.
D.
∫ 3
0 f (3x)dx = 4.
Câu 26. Biết a = e2+
∫ 3
1
dx
ex−1 − e2 − e. Tìm khẳng định đúng.
A. a = 1. B. a 1. D. a = 12 .
Câu 27. Kí hiệu S 1 và S 2 lần lượt là diện tích hình vuông cạnh bằng 1 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = x2 + 1, y = 0, x = −1, x = 2. Chọn khẳng định đúng.
A. S 1 = S 2. B. S 1 > S 2. C. S 1 = 12S 2. D.
S 2
S 1
= 6.
Câu 28. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], có đồ thị là một đường cong (C), thì độ dài
của đường cong (C) được tính bởi công thức
l =
∫ b
a
√
1+ ( f ′(x))2dx
Hãy sử dụng công thức trên để tính độ dài của đường cong (C) cho bởi phương trình y = x
2
8 − ln x trên đoạn [1; 2].
A. 38 − ln 2. B. 3124 − ln 4. C. 38 + ln 2. D. 3124 + ln 4.
Câu 29. Tìm phần ảo của số phức (1+ i)2?
A. 2. B. 0. C. −2i. D. 2i.
Câu 30. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 + 2z+ 5 = 0, trong đó z1 có phần ảo dương. Tìm số
phức liên hợp của số phức z1 + 2z2 + 2.
A. 0. B. −1+ 2i. C. 1+ 6i. D. −1 − 2i.
Câu 31. Cho số phức z = 2 − 3i. Tìm môđun của số phức w = 2z+ (1+ i)z?
A. |w| = 4.
B. |w| = 2√2.
C. |w| = √10.
D. |w| = 2.
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ, gọi A, B,C,D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 2+ 3i, z2 =
−i, z3 = 5 − i, z4 = 3+ 3i. Hỏi tứ giác ABCD là hình gì?
A. Hình vuông.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình bình hành.
D. Hình thang cân.
Câu 33. Tìm số phức z , 0 thỏa mãn điều kiện
2
z
+
1
z
= 1.
A. 3+ i. B. 2 − i. C. 3. D. 2i.
Câu 34. Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện |z− i| = |z− 2− 3i|. Gọi a là môđun nhỏ nhất của z với
mọi z ∈ T . Khi đó, giá trị của a là?
Trang 4/ 6
A. 3
√
5
5 . B.
√
13. C. 1. D.
√
3
2 .
Câu 35. Cho khối chóp đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a
√
3, cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S .ABCD?
A. a
3
√
10
2 B.
a3
√
10
4 C.
a3
√
3
6 D.
a3
√
3
12
Câu 36. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Lắp ghép hai khối đa diện lồi ta được một khối
đa diện lồi.
B. Hai mặt của một đa diện có thể không có điểm
chung
C. Tồn tại một đa diện có số đỉnh bằng số mặt.
D. Hình chóp tứ giác là một đa diện lồi.
Câu 37. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Hình chiếu vuông góc
của S lên mặt đáy là trung điểm H của AB. Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 45◦. Tính thể tích khối chóp
S .ABCD?
A. 2
√
2a3
3 B.
a3
3 C.
2a3
3 D.
√
3a3
2
Câu 38. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = a
√
3. Hình chiếu vuông góc
của A′ lên (ABC) là trung điểm H của BC. Góc giữa AA′ và (ABC) bằng 450. Thể tích khối lăng trụ là:
A. a
3
√
3
2 B.
3a3
√
3
2 C.
a3
2 D.
3a3
2
Câu 39. Một hình nón có thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua trục là tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng a
√
2.
Tính thể tích khối nón?
A. pi
√
2a3
12 B.
pi
√
2a3
4 C.
√
2a3
12 D.
√
2a3
4
Câu 40. Hình chữ nhật ABCD có tỷ lệ cạnh AB : AD = 2 : 3. Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AB, ta thu được
hình trụ có thể tích V1; còn khi quay hình chữ nhật quanh cạnh AD, ta thu được hình trụ có thể tích V2. Tính tỷ số
V1
V2
?
A. 32 . B.
4
9 . C.
9
4 . D.
2
3 .
Câu 41. Hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp của hình lập phương
này?
A. 8. B. 12. C. 8
√
2. D. 24
√
3.
Câu 42. Một thùng hình trụ chứa nước có đường kính đáy (bên trong lòng của thùng) bằng 12.24 cm. Mực nước
trong thùng cao 4.56 cm so với mặt trong của đáy dưới. Một viên bi kim loại hình cầu được thả vào trong thùng
nước, thấy mực nước dâng cao lên sát với điểm cao nhất của viên bi. Bán kính viên bi gần nhất với đáp số nào dưới
đây, biết viên bi có đường kính không vượt quá 6 cm?
A. 2.59 cm B. 2.45 cm C. 2.86 cm D. 2.68 cm
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(−1; 0; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của
đoạn thẳng AB?
A. I(−1;−1; 1). B. I(0; 1; 4). C. I(0; 2; 8). D. I(−2;−1; 2).
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

x = −1
y = 2 − 3t
z = 1 − t
(t ∈ R). Véctơ nào sau đây là
véctơ chỉ phương của đường thẳng d?
Trang 5/ 6
A. ~u1 = (0; 3; 1).
B. ~u2 = (−1;−3;−1).
C. ~u3 = (1; 3; 1).
D. ~u4 = (−1; 2; 1).
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x2+ y2+ z2+ 2x− 4y+ 2z+ 2 = 0.
Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu?
A. I(1;−2; 1) và R = 2.
B. I(−1; 2;−1) và R = 4.
C. I(1;−2; 1) và R = 4.
D. I(−1; 2;−1) và R = 2.
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 1; 1), B(1; 3; 2) và mặt phẳng (P) : x − 2y+ 2z − 2 = 0.
Hỏi mặt cầu nào sau đây có bán kính bằng 1?
A. Mặt cầu có đường kính AB.
B. Mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng
(P).
C. Mặt cầu có tâm B và tiếp xúc với mặt phẳng
(P).
D. Mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x−12 =
y−7
1 =
z
4 và d2 :
x+1
1 =
y−2
2 =
z−2
−1 .
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. d1 và d2 vuông góc với nhau và cắt nhau.
B. d1 và d2 song song với nhau.
C. d1 và d2 trùng nhau.
D. d1 và d2 chéo nhau.
Câu 48. Hai điểm A, B nằm trên mặt cầu có phương trình (x − 4)2 + (y+ 2)2 + (z+ 2)2 = 9. Biết rằng AB song
song với OI, trong đó O là gốc tọa độ và I là tâm của mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
A. 2x − y − z − 12 = 0.
B. 2x+ y+ z − 4 = 0.
C. 2x − y − z − 6 = 0.
D. 2x+ y+ z+ 4 = 0.
Câu 49. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là 2x− y+ z+ 1 = 0 và x+ y− z− 2 = 0.
Tính số đo độ góc giữa đường thẳng d và trục Oz.
A. 0◦. B. 30◦. C. 45◦. D. 60◦.
Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(a; 0; 0), B(0; a; 0), a là số cho trước và khác
0. Tìm tọa độ tâm của mặt cầu đi qua A, B, gốc tọa độ O đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình
x+ y − 2a = 0.
A. (a; a; 0). B. (a; a;−1). C. (a; a; 1). D. ( a2 ; a2 ; 0).
Trang 6/ 6
1 Đáp án
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. B
7. D
8. D
9. D
10. C
11. C
12. B
13. A
14. D
15. A
16. A
17. B
18. B
19. B
20. B
21. D
22. A
23. C
24. B
25. C
26. A
27. D
28. C
29. A
30. B
31. C
32. D
33. C
34. A
35. A
36. A
37. A
38. A
39. A
40. A
41. C
42. A
43. B
44. A
45. D
46. C
47. D
48. A
49. C
50. D
2 Hướng dẫn
Câu 1. Mức độ 1. Phương án B học sinh nhầm không viết lại hàm số thành y = −2x+1x−2 rồi mới xác định hệ số a và
c, nên suy ra sai tiệm cận ngang.
Câu 2. Mức độ 1. Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0,−1) nên loại phương án B và phương án D. Mặt
khác lim
x→+∞ y = −∞ nên hệ số a < 0. Do đó, chọn phương án C.
Câu 3. Mức độ 1. Bảng biến thiên của hàm số đã cho:
x −∞ −1 3 +∞
y′(x) + 0 − 0 +
y −∞%
7
&−25%
+∞
Chú ý, để làm nhanh, không cần lập bảng biến thiên mà chỉ cần giải phương trình y′ = 0 để tìm hai nghiệm x1, x2
và tính f (x1), f (x2).
Câu 4. Mức độ 1. Chúng ta thấy cả bốn phát biểu đều liên quan tới tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; nên sẽ
đi tính đạo hàm. Trước tiên có điều kiện xác định là x , 1 và x > 0. Có y′ = 1ln x − 1ln2 x , từ đó tìm được nghiệm của
phương trình y′ = 0 và lập được bảng biến thiên như sau:
x 0 1 e +∞
y′(x) − − 0 +
y
0
&−∞
+∞
& e%
+∞
Câu 5. Mức độ 2. Bài này yêu cầu học sinh biết cách đọc các tính chất từ bảng biến thiên cho trước. Ta có f ′(x) =
3ax2 + 2bx+ c. Từ bảng biến thiên ta thấy những điều sau:
• Đồ thị hàm số có dạng dấu ngã nên a > 0, hoặc có thể thấy lim
x→+∞ f (x) = +∞ nên suy ra a > 0.
• Có f (0) = 1 mà f (0) = d nên suy ra d = 1, do đó loại phương án A.
• Có f ′(0) = 0, tức là c = 0, do đó chọn phương án C.
Vẫn còn một số tính chất nữa có thể suy ra từ bảng biến thiên trên, chẳng hạn f (1) = 0 và f ′(1) = 0 nhưng ta
cũng không sử dụng đến.
Trang 7/ 6
Câu 6. Mức độ 2. Bài này yêu cầu học sinh biết được kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị, trong đó một
đường có chứa tham số. Phương trình đã cho tương đương với:
x3 − 3x2 − 9x = −2m
Xét hàm số f (x) = x3 − 3x2 − 9x trên R có bảng biến thiên sau:
x −∞ −1 3 +∞
f ′(x) + 0 − 0 +
f (x) −∞%
5
&−27%
+∞
Suy ra, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi −27 < −2m < 5⇔ −52 < m < 272 .
Câu 7. Mức độ 2. Học sinh phải biết vận dụng những kiến thức đã học để khảo sát một hàm số bất kì, ở đây là hàm
số phân thức bậc nhất trên bậc hai và sử dụng kiến thức về giới hạn ở lớp 11. Ta có bảng biến thiên như sau:
x −∞ −2 0 +∞
y′(x) − 0 + 0 −
y
0
&−13%
1
& 0
Hoặc có thể tìm tính giá trị của hàm số bằng cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Câu 8. Mức độ 3. Yêu cầu kiến thức về tiệm cận và giới hạn. Nhận xét rằng đồ thị hàm số chỉ có thể có tiệm cận
ngang, nên ta sẽ xét các giới hạn dạng lim
x→±∞ y. Nếu m > 0 thì ta luôn có
lim
x→±∞ y = limx→±∞
∣∣∣x∣∣∣ √1 − 1x + 1x2 +m
√
1 − 1
x
− 1
x2
 = ±∞
Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nào cả. Nếu m < 0 thì ta gặp giới hạn dạng ∞ · 0 nên ta phải nhân
chia với lượng liên hợp, như sau:
lim
x→±∞ y = limx→±∞
x2 − x+ 1 −m2(x2 + x+ 1)√
x2 − x+ 1 −m√x2 + x+ 1
Bậc cao nhất của tử là hai, bậc của mẫu là một, nên muốn giới hạn này không tiến tới vô cùng, ta phải có bậc của
tử bé hơn hai. Nghĩa là m2 − 1 = 0⇔ m = ±1, mà m < 0 nên m = −1.
Câu 9. Mức độ 3. Có hai chú ý, dấu bằng ở điều kiện y′ 6 0 không được phép xảy ra, và vì điều kiện xác định là
x , m nên m phải không thuộc khoảng (1,+∞). Đáp số −2 < m 6 1.
Câu 10. Mức độ 3. Yêu cầu học sinh nắm vững khái niệm về đồ thị, cực trị và kĩ năng đọc bảng biến thiên cũng
như giải hệ phương trình. Vì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên c = 0, đi qua điểm I(1; 43 ) nên có phương trình
a+ b+ 3 =
4
3
.
Lại có, đồ thị hàm số có một điểm cực trị là (1; 0) nên x = 1 là nghiệm của phương trình y′ = 0, tức là ta có
phương trình
3a+ 2b+ 3 = 0
Trang 8/ 6
Giải hệ hai phương trình này, tìm được a = 13 , b = −2. Như vậy, hàm số đã cho là y = 13 x3 − 2x2 + 3x, và từ đó
tìm được tọa độ điểm cực trị còn lại là ( 13 ;
4
27 ).
x −∞ 1 3 +∞
y′(x) + 0 − 0 +
y −∞%
4
3
& 0%
+∞
Câu 11. Mức độ 4. Học sinh phải biết mô hình hóa một vấn đề thực tế và sử dụng nhiều kiến thức toán để giải
quyết. Gọi chân tường là O, hình chiếu vuông góc của B lên mặt đất là D, lên tường là E. Đặt AD = x,CE = y
điều kiện x, y > 0 thì từ các tam giác đồng dạng1 ta có:
x
x+ 1
=
3
√
3
y+ 3
√
3
⇔ y = 3
√
3
x
Do đó, sử dụng định lý Pythagore ta tính được độ dài chiếc thang là:
AC =
√
AO2 +CO2 =
√
(x+ 1)2 +
3√3+ 3√3x
2
Xét hàm số f (x) = (x+ 1)2 +
(
3
√
3+ 3
√
3
x
)2
trên (0,+∞) ta có bảng biến thiên sau:
x 0 3 +∞
f ′(x) − 0 +
f (x)
+∞
& 64%
+∞
Suy ra AC2 > 64⇔ AC > 8.
Câu 12. Mức độ 1. Học sinh nhớ được quy tắc về lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
Câu 13. Mức độ 1. Học sinh biết cách giải phương trình logarit cơ bản. Phương án B học sinh nhầm thành 3x− 1 =
4
√
2. Phương án C học sinh nhầm thành 3x − 1 = 24. Phương án D học sinh nhầm thành 12 log2(3x − 1) = 4 ⇔
3x − 1 = 28.
Câu 14. Mức độ 2. Học sinh biết cách lập nên phương trình mũ và giải phương trình đó.
Câu 15. Mức độ 2. Học sinh sử dụng được các quy tắc tính toán đối với logarit. Ta có 1log16 1000 =
1
3
4 log2 10
=
4 log 2
3 =
4a
3 .
Câu 16. Mức độ 2. Ta có log30 1350 = log30
(
32 · 5 · 30
)
= 2a+ b+ 1.
Câu 17. Mức độ 3. Yêu cầu giải được bất phương trình logarit với cơ số không đơn giản. Chú ý tới điều kiện xác
định và cơ số 2 − √3 6 1.
Câu 18. Mức độ 1. Hàm số biết cách tính đạo hàm của hàm số logarit. Có y′ = 1x2+x+1 · (x2 + x+ 1)′ = 2x+1x2+x+1 .
1Có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhia cũng được.
Trang 9/ 6
Câu 19. Mức độ 3. Ngoài kĩ năng đọc đồ thị, học sinh còn cần nhớ được các tính chất của hàm số logarit. Đầu tiên,
ta thấy ngay hàm số y = loga x nghịch biến, còn hai hàm số y = logb x, y = logc x đồng biến, do đó a < 1 còn
b, c > 1.
Mặt khác, xét cùng một giá trị x0 = 2 chẳng hạn, ta gióng vuông góc lên, thấy cắt hai đồ thị hàm số y = logb x, y =
logc x tại hai điểm M(1, logb 2) và N(1, logc 2), mà điểm M nằm trên đường y = logb x có tung độ thấp hơn nên
logb 2 c.
Câu 20. Mức độ 4. Học sinh cần biết cách chuyển từ việc biện luận phương trình mũ về biện luận phương trình
bậc hai.Trước tiên, cần có điều kiện m > 0. Khi đó, biến đổi phương trình thành x2 − 4x+ 3 = log3m. Đến đây có
hai phương án, tính ∆ của phương trình bậc hai, hoặc chuyển về số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Ở đây tôi chọn
cách thứ hai. Bảng biến thiên của hàm số f (x) = x2 − 4x+ 3 như sau:
x −∞ 2 +∞
f ′(x) − 0 +
f (x)
+∞
&−1%
+∞
Suy ra điều kiện cần tìm là log3m > −1⇔ m > 13 .
Câu 21. Mức độ 3. Ta có a(log3 7)2 = alog3 7·log3 7 =
(
alog3 7
)log3 7 = 27log3 7 = 73 = 343. Tương tự, ta tính được
b(log7 11)
2
= 121, c(log11 25)
2
= 5. Suy ra T = 469.
Câu 28. Có f ′(x) = 14 x − 1x nên áp dụng công thức, tìm được
l =
∫ 2
1
√
1+
(
x
4
− 1
x
)2
dx =
∫ 2
1
(
x
4
+
1
x
)
dx =
3
8
+ ln 2.
Câu 34. Đặt z = a+ bi với a, b ∈ R thì ta có |z − i| = |z − 2 − 3i| tương đương với
|a+ (b − 1)i| = |a − 2) − (b+ 3)i|
⇔a2 + (b − 1)2 = (a − 2)2 + (b+ 3)2
⇔a − 2b − 3 = 0
Suy ra số phức z nằm trên đường thẳng d : x − 2y − 3 = 0. Do đó, |z| nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất, hay M
là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Từ đó tìm được M( 35 ;−65 ) và môđun nhỏ nhất cần tìm là 3
√
5
5 .
Câu 36. Đáp án A sai, ví dụ ghép đỉnh của hai khối tứ diện lại với nhau, sẽ được một khối giống như đồng hồ cát.
Câu 37. Đáp án A. Góc tạo bởi SC và đáy chính là góc SCH, suy ra ŜCH = 45◦ hay tam giác SHC vuông cân tại
H. Do đó, sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông HBC, ta tính được chiều cao khối chóp là
SH = HC =
√
HB2 + BC2 = a
√
2
Suy ra thể tích khối chóp là V = 13 · SH · S ABCD = 2
√
2a3
3 .
Câu 39. Vì thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng a
√
2 nên chiều cao và bán kính đáy bằng nhau
h = r = a
√
2
2 . Do đó, thể tích V bằng
1
3pir
2h = pi
√
2a3
12 .
Câu 42. Thể tích nước trong thùng là V = pir2h. Sau khi thả viên bi bán kính R vào thì mực nước dâng lên đến độ
cao h′ = 2R, và thể tích mới, gồm cả phần nước ban đầu và thể tích của viên bi chiếm chỗ, là V ′ = pir2h′ = 2pir2R.
Nhưng thể tích này, chính bằng thể tích V của khối nước ban đầu và thể tích V ′′ = 43piR
3 của viên bi. Do