Đề thi thử kì thi quốc gia 2015 lần 1 môn Toán học - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1(4,0 điểm) Cho hàm số . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để d 
cắt (1) tại ba điểm phân biệt A,B,D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (1) tại 
B và D có hệ số góc bằng nhau. 
Câu 2(4,0 điểm) Giải các phương trình 
1. . 
2. . 
Câu 3(1,5 điểm) Giải phương trình . 
Câu 4(1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn [-1;1]. 
Câu 5(1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, đường 
thẳng SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và . Tính khoảng cách giữa 
hai đường thẳng AB và SC. 
Câu 6(1,5 điểm) Một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 
thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số bởi các số chẵn. 
Câu 7(2,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ 
đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn 
thẳng CH,BH và AD. Biết rằng . Tìm toạ độ điểm A và 
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. 
Câu 8(2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tứ diện có 4 đỉnh 
A(5;1;3), B(1;6;2), C(6;2;4) và D(4;0;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua D và 
song song với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Câu 9(1,5 điểm) Cho a,b,c,d là các số thực dương chứng minh rằng 
. 
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
ĐỀ THI THỬ KÌ THI QUỐC GIA 2015 LẦN 1 
MÔN TOÁN HỌC 
Thời gian làm bài 180 phút 
Mã đề thi: 134 
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN 
Câu 1(4,0 điểm) Cho hàm số . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;4) hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để d 
cắt (1) tại ba điểm phân biệt A,B,D. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của (1) tại 
B và D có hệ số góc bằng nhau. 
Câu 2(4,0 điểm) Giải các phương trình 
1. . 
2. . 
1. Phương trình tương đương với: 
. 
2. Điều kiện: . 
Phương trình tương đương với: 
. 
Phương trình có nghiệm khi . 
Khi đó vế trái là hàm đồng biến, chú ý thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 
Chú ý ta có thể biến đổi phương trình như sau: 
. 
Thử lại chỉ nhận nghiệm . 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 
Câu 3(1,5 điểm) Giải phương trình . 
Điều kiện: . 
Phương trình tương đương với: 
. 
Vậy phương trình có hai nghiệm là . 
Câu 4(1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn [-1;1]. 
Câu 5(1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, đường
thẳng SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và . Tính khoảng cách giữa 
hai đường thẳng AB và SC. 
C
16
4
Câu 6(1,5 điểm) Một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 
thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số bởi các số chẵn. 
Chọn tuỳ ý 4 thẻ có 
C
8
4
cách. 
Trong 16 thẻ có 8 thẻ chẵn và 8 thẻ lẻ, vậy chọn ra 4 thẻ đều được đánh số chẵn có 
cách. 
Vậy xác suất cần tính là . 
Câu 7(2,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ
đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm các đoạn 
thẳng CH,BH và AD. Biết rằng . Tìm toạ độ điểm A 
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. 
Lời giải: 
Do EF là đường trung bình của tam
giác HBC nên EF//BC//AG và 
. 
Vì vậy AFEG là hình bình hành. 
Suy ra . 
Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với AG có phương trình . 
Ta có . Đường thẳng BH đi qua F và vuông góc với AE có 
phương trình là . 
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ tạo bởi AB và BH 
. 
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, có 
. 
Vậy . 
Câu 8(2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tứ diện có 4 đỉnh
A(5;1;3), B(1;6;2), C(6;2;4) và D(4;0;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua D và 
song song với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Câu 9(1,5 điểm) Cho a,b,c,d là các số thực dương chứng minh rằng 
. 
Sử dụng bất đẳng thức AM –GM và Cauchy –Schwarz ta có 
. 
Suy ra . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .