Toán học - Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

 Khảo sát hàm số 
1 
Đồ thị hàm số và 
các bài toán liên quan 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Tính đơn điệu của hàm số 
1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi 
đó 
 f đồng biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < . 
 f nghịch biến trên K ( )1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ . 
1.2. Điều kiện cần và đủ 
 Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó 
 f đồng biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . 
 f nghịch biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . 
 f là hàm hằng trên I 0( ) ,f x x I′⇔ = ∀ ∈ . 
2. Cực trị của hàm số 
2.1. Điều kiện cần để có cực trị 
Cho hàm số f có đạo hàm tại 0x . Nếu hàm số f đạt cực trị tại 0x thì 0 0( )f x′ = . 
2.2. Điều kiện đủ để có cực trị 
2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b , 0 ( ; )x a b∈ . Khi đó 
nếu ( )f x′ đổi dấu khi x qua 0x thì f đạt cực trị tại 0x . 
 x 0x x 0x 
( )f x′
 0 ( )f x′ 0 
( )f x
CĐ ( )f x 
CĐ 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
2 
2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; )a b chứa 0x , 0 0( )f x′ = 
và 0 0( )f x′′ ≠ . Khi đó 

 0 0( )f x′′ ⇒ f đạt cực tiểu tại 0x . 
Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực 
trị tại những điểm cụ thể cho trước. 
2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị 
2.3.1. Hàm số 3 2( )y f x ax bx cx d= = + + + 0( )a ≠ , ( )C 
Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A AA x y , ( );B BB x y . Thực hiện phép chia đa thức ( )f x cho 
( )f x′ , ta được ( ) ( ). ( )f x g x f x xα β′= + + . Khi đó ta có 
0
( ) ( ). ( )
A A A A A A
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = +


; 
0
( ) ( ). ( )
B B B B B B
y f x g x f x x xα β α β
=
′= = + + = +


. 
Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C . 
2.3.2. Hàm số 
2
( )
ax bx c
y f x
dx e
+ +
= =
+
 0( )a ≠ , ( )C 
Giả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị ( );A AA x y , ( );B BB x y . Đặt 
2( )u x ax bx c= + + , 
( )v x dx e= + . Khi đó 
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
u x v x u x v x
f x
v x
′ ′−
′ =
 
  
. Nếu f đạt cực trị tại 0x thì 
0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x′ ′− =
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u x u x
v x v x
′
⇔ =
′
 hay 00
0
( )
( )
( )
u x
f x
v x
′
=
′
. 
Do đó ta có 
2
( ) A
A A
ax b
y f x
d
+
= = và 
2
( ) B
B B
ax b
y f x
d
+
= = . Suy ra 
2
, :
ax b
A B y
d
+
∈ ∆ = 
nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C . 
Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên 
quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
0 0
, ( )
max ( )
, ( )x
x f x M
M f x
x f x M∈
∀ ∈ ≤= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D
0 0
, ( )
min ( )
, ( )x
x f x m
m f x
x f x m∈
∀ ∈ ≥= ⇔ 
∃ ∈ =
D
D
D
. 
 Nếu ( )y f x= đồng biến trên [ ; ]a b thì 
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= và 
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= . 
 Nếu ( )y f x= nghịch biến trên [ ; ]a b thì 
[ ; ]
min ( ) ( )
x a b
f x f b
∈
= và 
[ ; ]
max ( ) ( )
x a b
f x f a
∈
= . 
4. Tiệm cận 
 Đường thẳng 0x x= được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một 
trong các điều kiện sau được thỏa mãn 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= +∞ ; 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= +∞ ; 
0
lim ( )
x x
f x
−→
= −∞ ; 
0
lim ( )
x x
f x
+→
= −∞ . 
 Đường thẳng 0y y= được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
3 
0lim ( )x
f x y
→+∞
= hoặc 0lim ( )x
f x y
→+∞
= . 
 Đường thẳng y ax b= + 0( )a ≠ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu 
0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→+∞
− + = hoặc 0lim [ ( ) ( )]
x
f x ax b
→−∞
− + = . 
5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số 
5.1. Tìm điểm cố định của một họ đồ thị. Cho hàm số ( , )y f x m= , ( )
m
C . Khi đó họ ( )
m
C 
qua điểm cố định ( )0 0;M x y ⇔ 0 0( , ),y f x m m= ∀ 
 10 0 1 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; ) ... ( ; ) ,
k k
k k
g x y m g x y m g x y m−
−
⇔ + + + = ∀ 
0 0
1 0 0
0 0 0
0
0
0
( ; )
( ; )
......................
( ; )
k
k
g x y
g x y
g x y
−
 = =⇔ 
 =
. 
5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số ( )y f x= , ( )C và hàm số ( )y g x= , ( )C ′ . 
 Giao điểm của hai đồ thị 
 Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau 
( )C và ( )C ′ tiếp xúc nhau 
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
 =⇔ 
′ ′ =
 có nghiệm. 
5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
Bài toán Cách giải 
 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị 
Cho ( )C : ( )y f x= và ( )0 0; ( )M x y C∈ . Viết 
phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M . 
Áp dụng công thức 0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . 
 Tiếp tuyến qua điểm cho trước 
Cho ( )C : ( )y f x= và điểm ( );A AA x y . Viết 
phương trình tiếp tuyến của ( )C qua A . 
Cách 1. Gọi d là đường thẳng qua ( );A AA x y và 
có hệ số góc k : ( )
A A
y k x x y= − + . Dùng điều 
kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k . 
Cách 2. Pttt d tại điểm ( )0 0;M x y bất kỳ: 
0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d qua A nên 
0 0 0( )( )A Ay y f x x x′− = − . Từ đây suy ra 0x . 
 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước 
Cho hàm số ( )y f x= , ( )C . Viết phương 
trình tiếp tuyến d của ( )C biết tiếp d có hệ 
số góc k . 
Pttt d của ( )C tại ( )0 0;M x y bất kỳ: 
0 0 0( )( )y y f x x x′− = − . Vì d có hệ số góc k nên 
suy ra 0( )f x k′ = . Từ đây suy ra 0x . 
5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối 
Số giao điểm của ( )C và ( )C ′ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )f x g x= . 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
4 
Hàm số Đồ thị 
 Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , 
hãy vẽ đồ thị ( )1C : ( )y f x= . 
Do 
0
0
( ), ( )
( )
( ), ( )
f x f x
f x
f x f x
 ≥= 
− <
 nên ta vẽ đồ thị ( )1C như sau 

 Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm phía dưới trục 
Ox . 

 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Ox , ta 
được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )1 a bC C C= ∪ . 
 Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , 
hãy vẽ đồ thị ( )2C : ( )y f x= . 
Ta có ( )
( )
( )
0
0
,
,
f x x
f x
f x x
 ≥
= 
 − <
 và ( )f x là hàm chẵn nên đồ thị 
đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị ( )1C như sau 

 Giữ phần đồ thị ( )aC của ( )C không nằm bên trái trục Oy. 

 Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Oy, ta 
được phần đồ thị ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )2 a bC C C= ∪ . 
 Từ đồ thị ( )C : ( )y f x= , 
hãy vẽ đồ thị ( )3C : 
( )y f x= . 
Ta thực hiện như sau 

 Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= . 

 Vẽ đồ thị của hàm số ( )y f x= . 
 Từ đồ thị 
( ) ( ) ( ): .C y u x v x= , hãy vẽ đồ 
thị ( )4C : ( ). ( )y u x v x= . 
Vì ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
. ,
. ,
u x v x v x
u x v x
u x v x v x
 ≥
= 
− <
, nên ta vẽ ( )4C như sau 

 Giữ lại phần đồ thị ( )aC của ( )C ứng với ( ) 0u x ≥ . 

 Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục 
hoành, ta được ( )bC . Khi đó ( ) ( ) ( )4 a bC C C= ∪ . 
6. Một số kiến thức khác liên quan 
6.1. Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai 
6.1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai 
Cho tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có 3 trường hợp 
 
 0∆ < 
x −∞ +∞ 
f(x) cùng dấu với a 
 
 0∆ = 
x −∞ 0 2
b
x
a
= − +∞ 
f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a 
 
 0∆ > 
x −∞ 1x 2x +∞ 
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
5 
6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên  
Cho tam thức 2( )f x ax bx c= + + 0( )a ≠ . Khi đó ta có 

 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ∀ ∈ ⇔ 
 >
 
 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ << ∀ ∈ ⇔ 
 <
 . 

 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≥ ∀ ∈ ⇔ 
 >
 
 
0
0
0
( ) ,f x x
a
∆ ≤≤ ∀ ∈ ⇔ 
 <
 . 
6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước 
Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0f x ax bx c= + + = (1) và một số thực α cho trước. Khi đó 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20x x< < 0P⇔ < . 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 20 x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 0x x< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 <
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x x α< < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 <
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x xα < < ( )
0
0
2
af
S
α
α
∆ >⇔ >
 >
. 

 (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2x xα< < . Đặt t x α= − , phương trình (1) trở 
thành ( ) 0g t = (2), ta cần phải có 
(2) có hai nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 20t t< < 0P⇔ < . 
6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai 
tương ứng 
Cho phương trình trùng phương 4 2 0ax bx c+ + = (1). Đặt 2t x= , phương trình (1) trở thành 
2 0at bt c+ + = (2). Khi đó 
 
 (1) vô nghiệm 

⇔ 

0
0 0 0, ,P S
∆ <
. 
 
 (1) có một nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2 0t t≤ =
0
0
P
S
 =⇔ 
 ≤
. 
 
 (1) có hai nghiệm

⇔ 

0 0
0
,S
P
∆ = >⇔  <
. 
(2) vô nghiệm 
(2) có nghiệm 1 2 0t t≤ < 
(2) có nghiệm 1 2 0t t= > 
(2) có nghiệm 1 20t t< < 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
6 
 
 (1) có ba nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 20t t= <
0
0
P
S
 =⇔ 
 >
. 
 
 (1) có bốn nghiệm⇔ (2) có nghiệm 1 20 t t< <
0
0
0
P
S
∆ >⇔ >
 >
. 
6.2. Góc giữa hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng 1 1 1 1 0: a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 0: a x b y c∆ + + = . Khi đó 1∆ và 2∆ tạo với 
nhau một góc α thì 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos
a a bb
a b a b
α
+
=
+ +
. 
Đặc biệt 
 
 1∆ song song 2∆ 
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ = ≠ 
 1∆ vuông góc 2∆ 

1 2
1 2
1 2
1.
k k
a a
b b
  ⇔ − − = −  


. 
6.3. Khoảng cách 
6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm 
Khoảng cách giữa hai điểm ( ; )
A A
A x y và ( ; )
B B
B x y là 2 2( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + − . 
6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 
Khoảng cách từ điểm ( ; )
M M
M x y tới 0: ax by c∆ + + = là 
2 2
( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
. 
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI 
1. Tính đơn điệu của hàm số 
Dạng toán 1. Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước 
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 2
1 3 2 1
3
y x mx m x= + + − + đồng biến trên khoảng 
( )1 2; . 
Giải 
Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số 
Yêu cầu bài toán ⇔ ( )2 2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈ 
 ⇔ 2 2 3 2 0 1 2, ;y x mx m x  ′ = + + − ≥ ∀ ∈    (vì y ′ liên tục tại 1x = và 2x = ) 
 ( )
2 2 1 2
2 3
, ;
x
g x m
x
−  ⇔ = ≥ − ∀ ∈   +
 hay ( )
1 2;
min
x
g x m
 ∈  
≥ − . 
Ta có ( )
( )
2
2
2 6 4
2 3
x x
g x
x
+ +
′ =
+
; ( )
1 1 2
0
2 1 2
;
;
x
g x
x
  = − ∉    ′ = ⇔   = ∈   
, và ( )
11
5
g = − , ( )
22
7
g = . 
Do đó ( ) ( )
1 2
11
5
;
min
x
g x g
 ∈  
= = − . Vậy các giá trị của m cần tìm là 
1
5
m ≥ . 
Cách 2. Phương pháp tam thực bậc hai 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
7 
Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( )2 2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . Điều này xảy ra nếu một 
trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn 
i. 2 2 3 2 0y x mx m x′ = + + − ≥ ∀ ∈  , tức là 2 3 2 0 1 2m m m′∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ . 
ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 1x x< ≤ hoặc 1 22 x x≤ < . 
 Trường hợp 1. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2 1x x< ≤ , ta có 
( )
2 3 2 0
1 5 1 0
1
2
m m
af m
S
m
 ′∆ = − + > = − ≥
 = − <
1 2
11 1
55 21
m m
m
m
m
m
    ≤  > −
. 
 Trường hợp 2. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 22 x x< < , ta có 
( )
2 3 2 0
2 7 2 0
2
2
m m
af m
S
m
 ′∆ = − + > = + ≥
 = − >
1 2
2
7
2
m m
m m
m
 ⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅
 < −
. 
Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị m cần tìm là 
1
5
m ≥ . 
Bài 2. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2 21 2 1 9 9 23y x m x m m x= + − + − + + đồng biến 
trên khoảng ( )1;−∞ . 
Giải 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )1;−∞ khi và chỉ khi 
( ) ( ) ( )2 22 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ . 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn 
i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈  2
83 5 8 0 1
3
m m m′⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . 
ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 21 x x≤ < , tương đương với 
( )
( )
2
2
8 13 5 8 0 3
1 5 8 0
02 1 1
2
mm m
af m m m
S m
m
   −    = − + ≥ ⇔ ∈ 
     

8
3
m⇔ < − . 
Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị m cần tìm là 1m ≤ . 
Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2
1 2 1 1 2 1
3
y x m x m x m= + − + + + − 
a. đồng biến trên  , 
b. đồng biến trên )1; +∞ , 
c. nghịch biến trên khoảng ( )0 1; . 
Giải 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
8 
Ta có ( ) ( )2 2 2 1 1y f x x m x m′ = = + − + + . 
a. Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi ( )2 2 2 1 1 0y x m x m x′ = + − + + ≥ ∀ ∈  . Khi đó 
( )
2
2 1 1 0 0 5m m m′∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ . 
Vậy các giá trị của m cần tìm là 0 5m≤ ≤ . 
b. Hàm số đã cho đồng biến trên )1; +∞ khi và chỉ khi )0 1;y x ′ ≥ ∀ ∈ +∞ . Điều này tương 
đương với ( ) )
2 2 1
4 1
;
x x
g x m x
x
− + = ≤ ∀ ∈ +∞+
 hay 
)
( )
1;
max
x
g x m
∈ +∞
≤ . 
Ta có ( )
( )
2
2
4 2 2
4 1
x x
g x
x
− − +
′ =
+
; ( )
)
)
1 1
0 1 1
2
;
;
x
g x
x
 = − ∉ +∞ 
′ = ⇔
 = ∉ +∞ 
. 
Bảng biến thiên 
x 1 +∞ 
( )g x′ − 
( )g x 1
5
0 
Ta thấy 
)
( ) ( )
1
11
5;
max
x
g x g
∈ +∞
= = . Do đó ta có 
1
5
m ≥ . Vậy các giá trị m cần tìm là 
1
5
m ≥ . 
c. Yêu cầu bài toán ⇔ ( )0 0 1;y x′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x  ′ ≤ ∀ ∈    (vì y ′ liên tục tại 0x = và 1x = ) 
 ( )
2 2 0 1
4 1
, ;
x x
g x m x
x
− +  ⇔ = ≥ ∀ ∈   +
, tức là ( )
0 1;
min
x
g x m
 ∈  
≥ . 
Ta có ( )
1 0 1
0 1 0 1
2
;
;
x
g x
x
  = − ∉    
′ = ⇔
  = ∈    
; ( )0 0g = ; 
1 1
2 4
g
   =   
 và ( )
11
5
g = . 
Do đó ( ) ( )
0 1
0 0
;
min
x
g x g
 ∈  
= = nên các giá trị m cần tìm là 0m ≤ . 
Bài 4. Tìm các giá trị của m để hàm số 
( )2 2 1 1
2
x m x
y
x
+ + +
=
−
 nghịch biến trên khoảng ( )0 1; . 
Giải 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0 1; khi và chỉ khi 
( )
( )
2
2
4 4 3 0 0 1
2
;
x x m
y x
x
− − −
′ = ≥ ∀ ∈
−
, tương 
đương với ( ) ( )2 4 4 3 0 0 1;g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên tục tại 0x = và tại 1x = nên 
( ) 2 4 4 3 0 0 1;g x x x m x  = − − − ≥ ∀ ∈    hay ( )0 1 0;minx g x ∈  
≥ . 
Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1;g x x x  ′ = − = ⇔ = ∉    ; ( )0 4 3g m= − − và ( )1 4 6g m= − − . 
Suy ra ( ) ( )
0 1
1 4 6
;
min
x
g x g m
 ∈  
= = − − . Do đó các giá trị của m cần tìm là 
3
2
m ≤ − . 
Bài 5. Tìm các giá trị của m để hàm số 
( )2 1 2 1
2
x m x m
y
x m
+ + − +
=
−
 đồng biến trên khoảng 
( )1;+∞ . 
Giải 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
9 
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;+∞ ⇔ 
( )
( )
2 2
2
4 2 1 0 1;x mx my x
x m
− − −
′ = ≥ ∀ ∈ +∞
−
, hay 
( ) ( )2 24 2 1 0 1
1
;g x x mx m x
m
 = − − − ≥ ∀ ∈ +∞

 ≤
 Ta thấy 26 1 0
g
m m′∆ = + > ∀ ∈  nên 
( ) 0,g x x> ∀ ∈  . Do đó các giá trị m cần tìm là 1m ≤ . 
Dạng toán 2. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước 
Bài 6. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2
1 2
3
y x mx mx= + + + có hai cực trị 1 2,x x thỏa mãn 
1 2 4x x− ≥ . 
Giải 
Hàm số đã cho có hai cực trị 1 2,x x 
2 2 3 0y x mx m′⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x 
 2
0
3 0
3
m
m m
m
 ⇔  >
 (1). 
Khi đó ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16 0x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2). 
Theo định lí Viet ta có 1 2
1 2
2
3
x x m
x x m
 + = −

 =
 nên (2) ⇔ 2
1
4 12 16 0
4
m
m m
m
 ≤ −− − ≥ ⇔  ≥
 (3) 
Kết hợp (1) và (3) ta tìm được các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1m ≤ − hoặc 4m ≥ . 
Bài 7. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )3 2
1 1 502 1 1
3 2 9
y x m x x= − − + + có hai cực trị 1 2,x x 
thỏa mãn 1 22x x= . 
Giải 
Hàm số đã cho các hai cực trị ( )2
502 1 0
9
y x m x′⇔ = − − + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x 
 ( )
2 502 1 4 0
9
.m⇔ ∆ = − − >
3 10 2
6
3 10 2
6
m
m
 − <
⇔
 + >

 (1) 
Ta có 1 22x x= nên theo định lí Viet, ta có 1 2 2 1x x m+ = − 2
2 1
3
m
x
−
⇔ = . 
Khi đó 1 2
50
9
x x =
2
2
2
350 2 1 502 2
29 3 9
mm
x
m
  =−   = ⇔ = ⇔    = −  
. 
Hai giá trị vừa tìm được của m đều thỏa mãn (1) nên 3m = và 2m = − thỏa yêu cầu bài toán. 
Bài 8. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( )3 2
1 1 4 2 5 1
3 2
y x m x m x= − + + + + thỏa mãn 
a. có hai cực trị lớn hơn 1− ; 
b. có đúng một cực trị lớn hơn 1− ; 
c. có ít nhất một cực trị lớn hơn 
3
2
; 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
10 
d. có hai cực trị nhỏ hơn 4; 
e. có một cực trong khoảng ( )3 5; ; 
f. không có cực trị. 
Giải 
Ta có ( )2 4 2 5y x m x m′ = − + + + ; 
2 4 50
2
x x
y m
x
− +
′ = ⇔ =
−
. 
Xét hàm số ( )
2 4 5
2
x x
g x
x
− +
=
−
; ( )
( )
2
2
4 3
2
x x
g x
x
− +
′ =
−
; ( )
1
0
3
x
g x
x
 =′ = ⇔  =
. 
Bảng biến thiên 
x −∞ 1− 1 3
2
2 3 4 5 +∞ 
( )g x′ + + − − − + + + 
( )g x
−∞ 
10
3
− 
2− 
5
2
− 
−∞ 
 +∞ 
2 
5
2
10
3
+∞ 
Vì nghiệm của phương trình 0y ′ = cũng chính là hoành độ giao điểm của y m= và ( )y g x= 
nên từ bảng biến thiên của hàm số ( )y g x= ta thấy 
a. Hàm số có hai cực trị lớn hơn 1− 10 2
3
m⇔ − . 
b. Hàm số có đúng một cực trị lớn hơn 1− 10
3
m ≤ − . 
c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn 
3
2
⇔
5
2
m . 
d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4 2m⇔ < − hoặc 52
2
m< < . 
e. Hàm số có một cực trong khoảng ( )3 5;
102
3
m⇔ < < . 
f. Hàm số không có cực trị 2 2m⇔ − ≤ ≤ . 
Bài 9. Tìm các giá trị của m để hàm số ( )4 21 2 1y x m x m= + − + + có ba cực trị. 
Giải 
Hàm số có ba cực trị ( )22 2 1 0y x x m′⇔ = + − = có ba nghiệm phân biệt 
 22 1 0x m⇔ + − = có hai nghiệm phân biệt khác 0 
( )2 1 0
3 0
m
m
 ′∆ = − − >⇔ 
 − ≠
1
3
m
m
 >⇔ 
 ≠
. 
Bài 10. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 
2
4 2 6
2
m
y x mx= + + − có ba điểm cực trị 
, ,A B C (trong đó điểm A thuộc trục tung) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành. 
Giải 
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
 Khảo sát hàm số 
11 
Hàm số đã cho có ba cực trị ( )22 2 0y x x m′⇔ = + = có ba nghiệm phân biệt 
 22 0x m⇔ + = có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 0m⇔ < . 
Với 0x = ta có 
2
6
2
m
y = − nên 
2
0 6
2
;
m
A
  −   
. Hai nghiệm còn lại của 0y ′ = là 
2
m
x
−
= ± . 
Ta đều có 
236
2 4
m m
y
 −  − = −   
 và có thể giả sử 
236
2 4
;
m m
B
 −  − −    
 và 
236
2 4
;
m m
C
 −   −    
. 
Khi đó 
2
2 4
;
m m
BA
  = −    
	
 và 
236
2 4
;
m m
OC
  = − −    
	
. 
Yêu cầu bài toán BA OC⇔ =
	 	
2
2 2
2 2 6 6
36
4 4
m m
m m
m m
 − = −⇔ ⇔ = ⇔ = −
 = −
 (vì 0m⇔ < ) 
Bài 11. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 
2 3 1
2
mx mx
y
x
+ +
=
+
 có hai điểm cực trị nằm về 
hai phía trục tung. 
Giải 
Ta có 
( )
2
2
4 6 1
2
mx mx m
y
x
+ + −
′ =
+
. 
Hàm số đã cho có hai cực trị 2 4 6 1 0mx mx m⇔ + + − = (1) có hai nghiệm phân b