Bộ đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề số 82

TRƯỜNG THPT CHUYấN 
NGUYỄN HUỆ 
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ BA 
NĂM HỌC 2014 – 2015 
ĐỀ THI MễN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phỳt 
Cõu 1(2 điểm)  Cho hàm số  4 2 y x 2x 1 = - -  cú đồ thị là (C). 
1.  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số. 
2.  Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0; 1). - 
Cõu 2(1 điểm) 
1.  Giải phương trỡnh:  sinx( 3 sinx) cosx(1 cosx) 0 - - + =  . 
2.  Tỡm số phức z thỏa món: 
2 (1 2i) z z 4i 20 + + = -  . 
Cõu 3(1 điểm) 
1.  Một hộp đựng 5 viờn bi đỏ, 6 viờn bi trắng và 7 viờn bi vàng. Chọn ngẫu nhiờn 4 viờn bi từ 
hộp đú. Tớnh xỏc suất để trong số bi được chọn khụng cú đủ cả ba màu? 
2.  Giải phương trỡnh sau: x x x + + - = 8 4 8 2 
1 1 log ( 3) log ( 1) 3log (4 ) 
2 4 
. 
Cõu 4(1 điểm)  Tớnh : 
1 
2 
ln 
e 
I x xdx 
x 
ổ ử = + ỗ ữ 
ố ứ ũ  . 
Cõu 5(1 điểm)  Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):  2 6 0 x y z - + - = 
và điểm M(1, ư1, 2). 
a)Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua M và vuụng gúc với mặt phẳng (P) 
b)Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm nằm trờn trục Ox và tiếp xỳc với mặt phẳng (P) tại điểm M. 
Cõu 6(1 điểm)  Cho hỡnh  chúp S.ABCD cú  đỏy ABCD là  hỡnh  vuụng  cạnh  bằng a, đường 
cao SH với H thỏa món  HN 3HM = - 
uuur uuuur 
trong đú M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Tớnh thể 
tớch khối chúp S.ABCD và diện tớch mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD biết gúc giữa (SAB) và (ABCD) 
bằng 60 0 . 
Cõu 7(1 điểm)  Cho  đường  trũn  (C)  cú  phương  trỡnh  :  2 2 x y 2x 4y 1 0 + - - + =  và P(2,1). 
Một đường thẳng d đi qua P cắt đường trũn tại A và B. Tiếp tuyến tại A và B của đường trũn cắt 
nhau tại M. Tỡm tọa độ của M biết M thuộc đường trũn  2 2 x y 6x 4y 11 0 + - - + =  . 
Cõu 8(1 điểm)  Giải hệ phương trỡnh: 
2 
x y 2y 1 x y 5 
y 2 xy y 
ỡ + + - + - = ù 
ớ 
+ = + ù ợ 
. 
Cõu 9(1 điểm)  với a, b, c là cỏc số thực thỏa món  2 2 2 a b c 3 + + =  . Tỡm giỏ trị lớn nhất của 
biểu thức  4 4 4 P a b c 3(ab bc ca) = + + + + +  . 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYấN 
NGUYỄN HUỆ 
KỲ THI THỬ ĐẠI  HỌC LẦN THỨ BA 
NĂM HỌC 2014 – 2015 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MễN: TOÁN 
Cõu  í  Nội dung  Điểm 
1 
(2điểm) 
1  4 2 2 1 y x x = - -  TXĐ: R 
3 ' 4 4 y x x = -  . 
0 
' 0 
1 
x 
y 
x 
= ộ 
= Û ờ = ± ở 
0,25 
Giới hạn:  ; lim lim 
x x 
y y 
đ+Ơ đ-Ơ 
= +Ơ = -Ơ 
bảng biến thiờn 
X  ư∞  ư1  0  1  +∞ 
y’  ư  0       +  0  ư  0        + 
Y 
Hàm số đồng biến trờn (ư1;0); (1; +∞). Hàm số nghịch biến trờn  (ư∞;ư1);(0;1) 
Hàm số đạt cực đại tại  0 1 x y = ị = -  . 
Hàm số đạt cực tiểu tại 
1 1 
2 2 
1 2 
1 2 
x y 
x y 
= - ị = - ỡ 
ớ = ị = - ợ 
0, 5 
Đồ thị 
đồ thị hàm số nhận Oy làm tõm đối xứng. 
0,25 
2  Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại tiếp điểm N(  4 2 ; 2 1 a a a - -  ) là: 
3 4 2 (4 4 )( ) 2 1 y a a x a a a = - - + - -  0,25 
Tiếp tuyến đi qua M nờn :  3 4 2 1 (4 4 )(0 ) 2 1 a a a a a - = - - + - -  0,25 
4 2 3 2 0 
0 
2 
3 
a a 
a 
a 
Û - = 
= ộ 
ờ Û ờ = ± ờ ở 
0,25 
Với  0 a =  phương trỡnh tiếp tuyến là :  1 y = -  0,25 
+∞  +∞ ư1 
ư2  ư2
Với 
2 
3 
a =  phương trỡnh tiếp tuyến là :  4 2 5 
3 3 9 
y x = - - 
Với 
2 
3 
a = -  phương trỡnh tiếp tuyến là :  4 2  1 
3 3 
y x = - 
2 
(1điểm) 
1 
2 
Phương trỡnh tương đương  2 2 3 sin x cos x sin x cos x 3 sin x cos x 1 - = + Û - =  0,25 
x k2 3 1 1 
sin x cos x sin(x ) sin (k Z) 3 
2 2 2 6 6 
x k2 
p ộ = + p p p ờ Û - = Û - = Û ẻ 
ờ 
= p + p ở 
0,25 
Đặt  , ( , ) z a bi a b R z a bi = + ẻ ị = -  . Suy ra: 
2 (1 2 ) ( ) 4 20 ( 2 4 ) (4 4 ) 4 20 i a bi a bi i a b a b i i + + + - = - Û - - + - = -  0,25 
10 4 
1 3 
a b a 
a b b 
+ = = ỡ ỡ 
Û Û ớ ớ - = = ợ ợ 
. Vậy  4 3 z i = +  0,25 
3 
(1điểm) 
1  Số cỏch chọn ngẫu nhiờn 4 bi từ số bi trong hộp là:  4 18  3060 C = 
Số cỏch chọn 4 bi đủ 3 màu từ số bi trong hộp là:  2 1 1 1 2 1 1 1 2 5 6 7 5 6 7 5 6 7 + + C C C C C C C C C 
0,25 
Số cỏch chọn 4 viờn bi để khụng cú đủ 3 màu là:  4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 18 5 6 7 5 6 7 5 6 7 ( ) 1485 - + + = C C C C C C C C C C 
Vậy xỏc suất để trong số bi được chọn khụng cú đủ 3 màu là: 
4 2 1 1 1 2 1 1 1 2 
18 5 6 7 5 6 7 5 6 7 
4 
18 
( )  33 
48,53% 
68 
C C C C C C C C C C 
C 
- + + 
= ằ 
0,25 
2  ĐK:  0; 1 x x > ạ 
Phương trỡnh tương đương với: x x x + + - = 2 2 2 log ( 3) log 1 log (4 ) 
x x x ộ ự Û + - = ở ỷ 2 2 log ( 3) 1 log (4 ) x x x Û + - = ( 3) 1 4  (1) 
0,25 
TH1: 0 1 x < <  , suy ra: x x x x x x 
x loai) 
ộ = - + + - = Û + - = Û ờ 
= - - ở 
2 3 2 3 ( 3)(1 ) 4 6 3 0 
3 2 3( 
TH2:  1 x >  , suy ra: x x x x x x 
x loai 
ộ = + - = Û - - = Û ờ = - ở 
2 3 ( 3)( 1) 4 2 3 0 
1( ) 
0,25 
4 
(1điểm)  Ta cú : 
1 1 1 
2 ln 
ln ln 2 
e e e  x 
I x xdx x xdx dx 
x x 
ổ ử = + = + ỗ ữ 
ố ứ ũ ũ ũ  .  0,25 
2 
2 2 2 2 
1 
1 1 1 1 
1 1 1 1 
ln ln ( ) ln (ln ) ( ln ) 
1 1 2 2 2 4 
e e e e e e  e 
I x xdx xd x x x x d x x x xdx 
ộ ự + 
= = = - = - = ờ ỳ 
ở ỷ 
ũ ũ ũ ũ  0,25 
2 
2 
1 1 
ln 
2 2 ln (ln ) (ln ) 1 
1 
e e  e x 
I dx xd x x 
x 
= = = = ũ ũ  0,25 
Suy ra:  2 1 2 
1 
( 5) 
4 
I I I e = + = + 
0,25 
5 
(1điểm) 
Đường thẳng d đi qua M và vuụng gúc với mặt phẳng (P) cú VTCP  u(1, 1,2) - 
r 
0,25 
Đường thẳng d cú phương trỡnh 
x 1 y 1 z 2 
1 1 2 
- + - 
= = 
- 
0,25
Mặt cầu (S) tiếp xỳc với mặt phẳng (P) tại điểm M nờn cú tõm I thuộc d 
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 
x 1 y 1 z 2 
1 1 2 
y 0 
z 0 
- + - ỡ = = ù - ù 
= ớ 
ù = ù 
ợ 
Suy ra  (S) cú tõm O(0,0,0)  0,25 
Bỏn kớnh mặt cầu (S): R=OM 6 = 
Mặt cầu (S) cú phương trỡnh:  2 2 2 x y z 6 + + = 
0,25 
6 
(1điểm) 
Do  ( ) 
MN AB 
AB SMH 
SH AB 
^ ỹ 
ị ^ ý ^ ỵ 
ị gúc giữa (SAB) và (ABCD) là gúc giữa SM và 
MH. Vậy  60 SMH é = ° . 
0,25 
Do đú: 
3 3 1 3 
.tan 60 . 
4 3 12 SABCD ABCD 
a a SH MH V MH S = ° = ị = =  0,25 
Gọi I là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD, suy ra  ( ) IO ABCD ^  . 
Đặt IO x =  . Từ:  2 2 2 2 = + = R OI OA SI  , suy ra: 
2 2 
2 2 3 3 ( ) 
2 4 16 6 
+ = + + Û = a a a a x x x 
Do đú: 
2 
2 2  21 7 
6 3 mc 
a a R x OA S p = + = ị = 
0,5 
7 
(1điểm) 
Đường trũn ( ) C  cú tõm I(1,2),R=2 
Gọi M(a,b). Do  2 2 1 ( ) 6 4 11 0(1) M C a b a b ẻ ị + - - + =  0,25 
Phương trỡnh đường trũn đường kớnh IM:  2 2  ( 1) ( 2) 2 0 x y a x b y a b + - + - + + + =  0,25 
Suy ra phương trỡnh đường thẳng d: ( 1) ( 2) 1 2 0 a x b y a b - + - + - - = 
Do  3 0(2) P d a b ẻ ị - - =  0,25 
Từ (1) và (2) suy ra: 
4 
(4;1) 
1 
a 
M 
b 
= ỡ 
ị ớ = ợ 
0,25 
8 
(1điểm)  Điều kiện 
1 
x y 
2 
³ ³ 
Đặt  a 2y 1 0, b x y 0 = - ³ = - ³ 
0,25 
Phương trỡnh thứ nhất trở thành  2 2 a b a b 4(3) + + + = 
Phương trỡnh thứ hai trở thành  2 2 2 2 a b a b 3(4) + + = 
0,25 
H O  M N 
D 
C  B 
A 
S 
I
Giải hệ (3), (4) đặt  ( , 0) 
. 
S a b 
S P 
P a b 
= + ỡ 
³ ớ = ợ 
ta được : 
2 
2 2 
2 4 (5) 
2 3 (6) 
S S P 
P S P 
ỡ + - = ù 
ớ 
+ - = ù ợ 
Trừ (5) cho (6) ta được  2 2 1 1 S P S P - = ị = + 
Thay vào (6):  2 4 2 2 1 2 3 P P P P + + + - =  3 2 ( 1)( 4 2) 0 P P P P Û - + + + = 
3 2 
1 
4 2 0 
P 
P P P 
= ộ 
Û ờ + + + = ở 
Kết hợp điều kiờn  0 P ³  ta được P=1; S=2 
0,25 
Giải hệ P=1; S=2 ta thu được a = b =1 
Suy ra hệ cú nghiệm duy nhất  (x 2; y 1) = =  0,25 
9 
(1điểm) 
Do ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 3 3 P a b c ab bc ca a b c a b b c c a = + + + + + Ê + + + + + 
nờn ta cú thể coi  , , 0 ³ a b c  .giả sử  1 3 = ị Ê Ê ax{a,b,c} a m a 
0,25 
Do đú ( ) 
2 2 2 
4 2 3 3 2 3 2. 3 3 
2 2 
a a P a a a 
ổ ử ổ ử - - 
Ê + + - + ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Hay ( ) 4 2 2 3 9  9 3 2 3 
2 2 
P a a a a Ê + + + - 
0,25 
Xột hàm số ( ) ( ) 4 2 3 6 2 2 3 f a a a a a = - + + -  trờn  0; 3 ộ ự ở ỷ 
( ) ( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
2 
3 2 
2 
2 
3 
2 
2 
2 
4 
' 4 6 2 2 3 
2 3 
12 8 
4 6 
2 3 
2 
4 6 
2 3 
a f a a a a 
a 
a a a 
a 
a a 
a 
= - + - - 
- 
- 
= - + 
- 
ổ ử 
ỗ ữ = - - 
ỗ ữ ỗ ữ - ố ứ 
( ) 
( ) 
2 
2 
3 
4 6 0  2 
2 ' 0 1 0 
2 3  2 
a a 
f a a a 
a a 
ộ 
= ờ ộ - = 
ờ ờ 
ờ = Û Û = ờ - = ờ ờ - = ờ ở 
ờ ở 
(do  0 a ³  ) 
Ta cú bảng biến thiờn 
a 
1 
3 
2 
2  3 
f’  0  ư  0  +          0  ư 
f 
( ) 
0; 3 
1 
8 
2 
ax 
a 
M f a 
a ộ ự ở ỷ 
= ộ 
ị = Û ờ 
= ở 
0,25 
( ) 
1 
3  2 12 
2  1 
2 
axP=12 
a b c 
a P f a M 
b c 
= = = ộ 
ờ 
ỡ = ờ ị Ê Ê ị Û ùờ ớ
ờ = = ùờợ ở 
0,25 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl 
6 
8  8