Đề thi thử Đại học - Cao đẳng môn: Toán (Đề 6)

Tr
ng THPT Thanh Bình 1  THI TH H – C NM HC 2014 – 2015. 
 Môn : Toán 
 06 Thi gian: 180 phút (không k
 thi gian phát ) 
12cb5 
Câu 1. (2,0 i
m). Cho hàm s 
2 1
1
x
y
x
+
=
+
 có  th (H). 
a) Kho sát s	 bi
n thiên và v  th (H) ca hàm s. 
b) Vi
t ph
ng trình ti
p tuy
n bi
t ti
p tuy
n cách u 2 i
m , (2,4) ( 4, 2 .)A B − − 
Câu 2. (1,0 i
m). 
a. Cho góc α tha mãn 
 α = . Tính 
 

	 	
 	
	 	

α − α + α
=
α − α
b. Cho s phc z tha mãn (1 2 ) 1- 2+ =i z i . Tính 2 (1 2 )= + −iz i zω 
Câu 3. (0,5 i
m). Gii ph
ng trình 
   

  
    
  
  =
 
 
 
Câu 4. (1,0 i
m). Gii h ph
ng trình 
2 2
2
2 2 4 2
6 11 10 4 2 0

 + − = − − −

− − + − − =
x x y y
x y x x
Câu 5. (1,0 i
m). Tính tích phân: 
2
1
( 1 ln )= + −I x x x dx 
Câu 6. (1,0 i
m). Cho hình chóp . S ABCD có áy ABCD là hình thoi cnh .a Góc 
 060 ,BAC = 
hình chi
u vuông góc ca S trên mt ( )ABCD trùng vi trng tâm ca tam giác .ABC∆ Mt phng 
( )SAC hp vi mt phng ( )ABCD góc 060 . Tính th
 tích khi chóp .S ABCD và khong cách t B 

n ( )SCD theo .a 
Câu 7. (1,0 i
m). Trong mt phng Oxy, cho tam giác nhn ABC. 
ng trung tuy
n k t nh A 
và 
ng thng BC ln l
t có ph
ng trình 3 5 8 0, 4 0.x y x y+ − = − − = 
ng thng qua A và 
vuông góc vi 
ng thng BC ct 
ng tròn ngoi ti
p tam giác ABC ti i
m th hai là (4, 2).D − 
Vi
t ph
ng trình 
ng thng AB, bi
t hoành  i
m B không ln hn 3. 
Câu 8. (1,0 i
m). Trong không gian Oxyz, cho mt phng ( ) : 1 0P x y z− + − = và i
m (1, 1,2)A − . 
Vi
t ph
ng trình 
ng thng ∆ i qua A và vuông góc vi ( )P . Tính bán kính ca mt cu (S) có 
tâm thuc 
ng thng ∆ , i qua A và ti
p xúc vi ( )P . 
Câu 9. (0,5 i
m). Trong cm thi 
 xét công nh n tt nghip THPT thí sinh phi thi 4 môn trong ó 
có 3 môn bt buc là Toán, V!n, Ngoi ng" và 1 môn do thí sinh t	 chn trong s các môn: V t lí, 
Hóa hc, Sinh hc, Lch s# và a lí. Tr
ng X có 40 hc sinh !ng kí d	 thi, trong ó 10 hc sinh 
chn môn V t lí và 20 hc sinh chn môn Hóa hc. L$y ng%u nhiên 3 hc sinh b$t k& ca tr
ng X. 
Tính xác su$t 
 trong 3 hc sinh ó luôn có hc sinh chn môn V t lí và hc sinh chn môn Hóa hc. 
Câu 10. (1,0 i
m). Cho x là s th	c thuc on 
5
[ 1, ]
4
− . Tìm giá tr ln nh$t, giá tr nh nh$t ca 
5 4 1
5 4 2 1 6
x x
P
x x
− − +
=
− + + +
------H	T------ 
H
NG DN CH
M 
(H
ng dn chm có 05 trang) 
I. H
ng dn chung 
1/ Hc sinh tr li theo cách riêng nh
ng áp ng 
c yêu cu c bn nh
 trong h
ng d%n ch$m, thì 
v%n cho  i
m nh
 h
ng d%n quy nh. 
2/ Vic chi ti
t hóa i
m s (n
u có) so vi bi
u i
m phi m bo không sai lch vi h
ng d%n 
ch$m và 
c thng nh$t trong t' ch$m ki
m tra. 
3/ Sau khi cng i
m toàn bài, làm tròn 
n 1 ch" s th p phân. i
m toàn bài ti a là 10,0 i
m. 
II. áp án và thang im 
Câu áp án im 
Câu 1 
(2 im) 
Cho hàm s 
2 1
1
x
y
x
+
=
+
 có  th (H). 
a) Kho sát s	 bi
n thiên và v  th (H) ca hàm s. 
- T p xác nh: { }\ 1D = − 
- S	 bi
n thiên: 
( )
2' 1
1
0,
1
xy
x
< ∀
+
≠ −= . 
0,25 
+ Hàm s ng bi
n trên m(i khong ( ; 1)−∞ − và ( 1; )− +∞ . 
+ Hàm s không có c	c tr 
+ Gii hn: 
 * lim 2;lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= = 
ng thng y=2 là tim c n ngang ca  th hàm s. 
 *
1 1
lim ;lim
x x
y y
− +
→− →−
= +∞ = −∞ 
ng thng x = - 1 là tim c n ng  th hàm s. 
0,25 
+ Bng bi
n thiên: 
0,25 
V  th 
0,25 
b. Vi
t ph
ng trình ti
p tuy
n bi
t ti
p tuy
n cách u 2 i
m , (2,4) ( 4, 2 .)A B − − 
Gi 0x là hoành  ca ti
p i
m. 
Ph
ng trình ti
p tuy
n ca ( )H ti M là ( )
( )
( ) 002
00
1 2 1
:
11
x
d y x x
xx
+
= − +
++
0,25 
Vì ti
p tuy
n d cách u 2 i
m A và B nên ti
p tuy
n i qua trung i
m I ca AB hoc 
song song vi AB 0,25 
* N
u ti
p tuy
n i qua trung i
m I(-1,1) ca AB thì 0 1x = 
V y ph
ng trình ti
p tuy
n là 
1 5
4 4
y x= + 
0,25 
* N
u ti
p tuy
n song song vi 
ng thng AB: 2y x= + 
Ta có 
( )
0
02
00
01
1 ( -1)
21
x
x
xx
=
= ≠  
= −+ 	
Vi 0 0x = , ta có ph
ng trình ti
p tuy
n là: 1y x= + 
Vi 0 2x = − , ta có ph
ng trình ti
p tuy
n là: 5y x= + 
0,25 
Câu 2 
(1 im) 
a. Cho góc α tha mãn 
 α = . Tính 
 

	 	
 	
	 	

α − α + α
=
α − α
b. Cho s phc z tha mãn (1 2 ) 1- 2+ =i z i . Tính 2 (1 2 )= + −iz i zω 
a. 
α − α + α
=
α − α
 

	 	
 	
	 	

3 2
2 3
3 2
2 3
9 2 tan tan
2(1 tan ) tan
9 2.2 2 3
2(1 2 ) 2 2
α α
α α
− +
=
+ −
− + −
= =
+ −
0,25 
0,25 
b. Ta có 
1 2
(1 2 ) 1- 2
1 2
3 4
5 5
i
i z i z
i
i
−
= −=
+
−+ = ⇔ 
Suy ra 2 (1 2 ) 2 (
3 4 3 4
5 5 5 5
) (1 ( )2 )iz i z i i iiω − − −+ − += + − =
13 4
5 5
iω = + 
0,25 
0,25 
Câu 3 
(0.5 im) 
Gii ph
ng trình 
   

  
    
 
  =
 
 
 
iu kin: 0x > 
Ph
ng trình tr) thành: + =
  




 
  
   

 



 
 
2
2 2
5
log log 9 0
2
x x⇔ + − =
2
2
log 2
9
log
2
x
x
=
−
⇔
=



0,25 
Vi 2log 2 4x x= ⇔ = (Tha mãn iu kin) 
Vi 2
9 2
log
2 32
x x= − ⇔ = (Tha mãn iu kin) 
V y ph
ng trình có 2 nghim 
2
4,
32
S

 
 
=  
  
0,25 
Câu 4 
(1 im) 
Gii h ph
ng trình 
2 2
2
2 2 4 2 (1)
6 11 10 4 2 0 (2)
x x y y
x y x x

 + − = − − −

− − + − − =
iu kin: 
2
2
4 2 0
2 4 10 0
y y
x x

 + + ≥

− − + ≥
Áp dng b$t ng thc AM-GM ta có: 
2 2
2 4(10 4 2 ) 14 4 26 11 10 4
2 4
x x x x
y x x x
− − − −
− + = − − = ≤ 
Rút gn ta 
c: 2 24( 6 11) 14 4 2 10 2 15 0y x x x x x y− + ≤ − − ⇔ − + + ≤ (3) 
T
ng t	 ph
ng trình (1) 
2
2 2 2 24 22 2 4 2 2 4 4 3 0
2
y y
x x y y x x y y
− − −
+ − = − − − ≤ ⇔ + + + − ≤ (4) 
0,25 
0,25 
0,25 
Cng v
 vi v
 ca (3) và (4) ta 
c: 
2 2 2 2 13 6 6 12 0 3( 1) ( 3) 0
3
x
x x y y x y
y
=

− + + + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ 
= −
K
t hp vi iu kin  bài, suy ra nghim h ph
ng trình là (1, 3)S = − 
0,25 
Câu 5 
(1 im) Tính tích phân: 
2
1
( 1 ln )= + −I x x x dx 
Ta có 
2 2 2
1 2
1 1 1
( 1 ln ) 1 lnI x x x dx x x dx x xdx I I= + − = + − = +   
Tính 
2
1
1
1I x x dx= + 
t 21 1 2t x t x tdt dx= +  = +  = 
'i c n: 2 3x t=  = 
 1 2x t=  = 
V y 
33 5 3
2
1
2 2
2 8 4
3 2
5 15
2
( 1)2
5 3
t t
I t t tdt

 
= − = − = −
 
 
Tính 
2 22 22 2
1 11 1
3
ln ln 2ln 2 2ln 2
2 2 4 4
x x x
x xdx x dx= − = − = −  
V y 1 2
8 4
3 2
5 15
3
2ln 2
4
I I I − += + = − 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 6 
(1 im) 
Cho hình chóp . S ABCD có áy ABCD là hình thoi cnh .a Góc 
 060 ,BAC = hình 
chiu vuông góc ca S trên mt ( )ABCD trùng vi trng tâm ca tam giác 
.ABC∆ Mt phng ( )SAC h p vi mt phng ( )ABCD góc 060 . Tính th tích khi 
chóp .S ABCD và khong cách t! B n ( )SCD theo .a 
E
S
H O
D
CB
A
Gi O AC BD= ∩ Ta có 

 0, 60OB AC SO AC SOB⊥ ⊥  = 
Xét tam giác SOH vuông ti H: 
0
0
tan 60
3
. tan 60 . 3
6 2
SH
HO
a a
SH OH
=
 = = =
0,25 
Vì tam giác ABC u nên 
2 3
2.
2ABCD ABC
a
S S= = 
V y 
2 3
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 12S ABCD ABCD
a a a
V SH S= = = (vtt) 
0,25 
Tính khong cách t B 
n ( )SCD theo .a 
Trong (SBD) k OE//SH. Khi ó OC,OD,OE ôi mt vuông góc và 
3 3
, ,
2 2 8
a a a
OC OD OE= = = 
Áp dng công thc
2 2 2 2
1 1 1 1 3
( ,( )) 112
a
d
d O SCD OC OD OE
= + +  = 
Mà 
6
( ,( )) 2 ( ,( ))
112
a
d B SCD d O SCD= = 
0,25 
0,25 
Câu 7 
(1 im) 
Trong mt phng Oxy, cho tam giác nhn ABC. 
ng trung tuyn k" t! #nh A 
và 
ng thng BC l$n l
 t có ph
ng trình 3 5 8 0, 4 0.x y x y+ − = − − = 
ng 
thng qua A và vuông góc vi 
ng thng BC c%t 
ng tròn ngoi tip tam giác 
ABC ti im th hai là (4, 2).D − Vit ph
ng trình 
ng thng AB, bit hoành 
& im B không ln hn 3. 
Gi M là trung i
m BC, H là tr	c tâm tam 
giác ABC, K là giao i
m ca BC và AD, 
E là giao i
m ca BH và AC. Do M là 
giao i
m ca AM và BC nên M tha mãn: 
7
3 5 8 0 7 12 ( , )
4 0 1 2 2
2
x
x y
M
x y
y


=+ − =
 
⇔  − 
− − =  = −

0,25 
 Do AD BC⊥ nên AD có VTPT (1,1)n =

 và AD qua D nên ph
ng trình AD: 
2 0x y+ − = 
Do A là giao i
m ca AD và AM nên A tha mãn 
1
(1,
3 5 8 0
4 0
1)
1
x
A
x
x y
y
y
=
 

⇔  
= 
+ − =
− − =
Gi K là giao i
m BC và AD. Suy ra (3, 1)K − 
T giác HKCE ni ti
p nên 
 

 
,BHK KCE KCE BDA= = (ni ti
p chn cung AB). 
Suy ra 
 
BHK BDK= , V y K là trung i
m ca HD nên H(2,4) 
Do B thuc BC nên ( , 4)B t t − . Và M là trung i
m BC nên (7 ,3 )C t t− − 
( 2, 8), (6 ,2 )HB t t AC t t= − − = − −
 
H là tr	c tâm tam giác ABC nên . ( 2)(6 ) ( 8)(2 ) 0 2, 7HB AC t t t t t t= − − + − − = ⇔ = =
 
Do hoành  ca B không ln hn 3 nên t = 2 
Suy ra (2, 2), (5,1)B C− 
Ph
ng trình 
ng thng AB qua A và có VTPT (3,1)n =

 có dng: 3 4 0x y+ − = 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 8 
(1 im) 
Trong không gian Oxyz, cho mt phng ( ) : 1 0P x y z− + − = và im (1, 1,2)A − . 
Vit ph
ng trình 
ng thng ∆ i qua A và vuông góc vi ( )P . Tính bán kính 
ca mt c$u (S) có tâm thu&c 
ng thng ∆ , i qua A và tip xúc vi ( )P . 
 Do ∆ vuông góc vi ( )P nên ∆ có VTPT (1, 1,1)
P
u n= = −
 
Ph
ng trình 
ng thng ∆ qua (1, 1,2)A − là: 
1
1
2
x t
y t
z t
= +


= − −
 = +
Gi tâm (1 , 1 ,2 )I I t t t∈∆ + − − + . Lúc ó 
2 3 3 1( ,( )) 3
23
t
R IA d I P t t
+
= = ⇔ = ⇔ = − 
V y 
3
2
R = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 9 
(1 im) 
Trong c'm thi  xét công nh(n tt nghip THPT thí sinh phi thi 4 môn trong ó 
có 3 môn b%t bu&c là Toán, V)n, Ngoi ng* và 1 môn do thí sinh t+ chn trong s 
các môn: V(t lí, Hóa hc, Sinh hc, Lch s, và a lí. Tr
ng X có 40 hc sinh )ng 
kí d+ thi, trong ó 10 hc sinh chn môn V(t lí và 20 hc sinh chn môn Hóa hc. 
L-y ngu nhiên 3 hc sinh b-t k. ca tr
ng X. Tính xác su-t  trong 3 hc sinh 
ó luôn có hc sinh chn môn V(t lí và hc sinh chn môn Hóa hc. 
 S phn t# ca không gian m%u là 340n CΩ = 
Gi A là bi
n c “3 hc sinh 
c chn luôn có hc sinh chn môn V t lý và hc sinh 
chn môn Hóa hc” 
S phn t# ca bi
n c A là 1 2 2 1 1 1 110 20 10 20 20 10 10. . . .An C C C C C C C= + + 
0,25 
0,25 
V y xác su$t 
 xy ra bi
n c A là 
120
247
A
A
n
P
n
Ω
= = 
Câu 10 
(1 im) Cho x là s th+c thu&c on 
5
[ 1, ]
4
− . Tìm giá tr ln nh-t, giá tr nh nh-t ca 
5 4 1
5 4 2 1 6
x x
P
x x
− − +
=
− + + +
t 5 4 , 1a x b x= − = + thì 2 24 9,a b+ = vi , 0a b ≥ 
Do ó t [0, ]
2
pi
α∈ vi a=3sin ,2b=3cosα α . Khi ó: 
3
3sin cos 2sin cos2
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4
a b
P
a b
α α
α α
α α α α
−
− −
= = =
+ + + + + +
0,25 
Xét hàm s 
2sin cos
( )
2sin 2cos 4
x x
f x
x x
−
=
+ +
 vi [0, ]
2
x
pi
∈ 
Ta có /
2
6 4sin 8cos
( ) 0, [0, ]
(2sin 2cos 4) 2
x x
f x x
x x
pi+ +
= > ∀ ∈
+ +
0,25 
Suy ra hàm s f(x) luôn luôn ng bi
n trên [0, ]
2
pi
Do ó: 
[0, ] [0, ]
2 2
1 1
min ( ) (0) ;max ( ) ( )
6 2 3
x x
f x f f x f
pi pi
pi
∈ ∈
= = − = = 
0,25 
V y 
1 5
min 
6 4
P khi x
−
= = 
1
 1
3
Max P khi x= = − 
0,25