Đề thi sát hạch kiến thức chuyên môn tuyển dụng viên chức ngành giáo dục và đào tạo năm học 2016 - 2017 môn Toán - cấp thcs

Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn 
ubnd tỉnh lai châu 
hội đồng tuyển dụng 
cộng hoà x hội chủ nghĩa việt nam 
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc 
ĐỀ THI SÁT HẠCH KIẾN THỨC CHUYấN MễN 
TUYỂN DỤNG VIấN CHỨC NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
MễN TOÁN - CẤP THCS 
Thời gian làm bài: 120 phỳt khụng kể thời gian chộp ủề 
 (Đề thi chỉ cú 01 trang) 
Bài 1. (10 ủiểm). Thực hiện phộp tớnh 
 1.1) 3 4 7 4 7 7: :
7 11 11 7 11 11
− −   
+ + +   
   
 1.2) 2 2 2...
11.13 13.15 19.21
+ + + 
Cõu 2. (10 ủiểm) 
 2.1) Chứng minh rằng số tự nhiờn cú dạng abba chia hết cho 11 
 2.2) Tỡm cặp số (x, y) biết: 1 3y 1 5y 1 7y
12 5x 4x
+ + +
= = 
Cõu 3. (10 ủiểm) 
 3.1) Cho a, b, c, d 0≥ . Chứng minh rằng: (a c)(b d) ab cd+ + ≥ + 
 3.2) Cho a, b, c, d 0≠ , c + d = 1 và c d 1
a b ac bd
+ =
+
. Chứng minh rằng a = b 
Cõu 4 (20 ủiểm) 
 4.1) Giải phương trỡnh sau: x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
− − − −
+ + + = 
 4.2) Giải hệ phương trỡnh: 
3
3
x 2y 1
y 2x 1
 = +

= +
Câu 5. (10 ủiểm) 
 Cho phương trỡnh: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giỏ 
trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 22 2
1 2 1 2
2x x 3
x x 2(x x 1)
+
+ + +
Câu 6. (30 ủiểm) 
 Cho ủường trũn tõm O ủường kớnh AB = 2R. Gọi d và d' lần lượt là cỏc tiếp tuyến với 
ủường trũn tại A và B. Điểm C thuộc ủường thẳng d (C khỏc A), ủường thẳng vuụng gúc với OC tại 
O cắt d và d' thứ tự tại M và D. 
 6.1) Chứng minh tam giỏc CMD cõn và CD là tiếp tuyến của ủường trũn (O); 
 6.2) Chứng minh rằng khi C di chuyển trờn ủường thẳng d thỡ tớch AC.BD khụng ủổi; 
 6.3) Điểm C ở vị trớ nào trờn ủường thẳng d thi diện tớch tứ giỏc ABDC nhỏ nhất? Tớnh giỏ 
trị nhỏ nhất ủú theo R. 
Câu 7. (10 ủiểm) Cho a + b + c = 0, abc 0≠ . Rỳt gọn biểu thức sau: 
 B = 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c b c a c a b
+ +
− − − − − −
 Hết 
 - Thớ sinh khụng ủược sử dụng tài liệu 
- Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm 
đề chính thức 
Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn 
h−ớng dẫn giải 
Chỳ ý: Đỏp ỏn chỉ mang tớnh tham khảo 
Câu 1. (10 ủiểm) 
 1.1) 3 4 7 4 7 7: :
7 11 11 7 11 11
− −   
+ + +   
   
 1.2) 2 2 2...
11.13 13.15 19.21
+ + + 
Giải 
1.1) ( )3 4 7 4 7 7 3 4 4 7 7 11: : : 1 1 . 0
7 11 11 7 11 11 7 11 7 11 11 7
− − − −     
+ + + = + + + = − + =     
     
2.2) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 10... ...
11.13 13.15 19.21 11 13 13 15 19 21 11 21 231
     
+ + + = − + − + + − = − =     
     
Cõu 2. (10 ủiểm) 
 2.1) Chứng minh rằng số tự nhiờn cú dạng abba chia hết cho 11 
 2.2) Tỡm cặp số (x, y) biết: 1 3y 1 5y 1 7y
12 5x 4x
+ + +
= = 
Giải 
2.1) Vỡ abba a.1001 b.110 11.91a 11.10b 11(91a 10b) 11= + = + = + ⋮ 
2.2) ĐKXĐ x ≠ 0. 
- Vỡ x ≠ 0 nờn từ : 1 5y 1 7y
5x 4x
+ +
= ⇒ 4(1 + 5y) = 5(1 + 7y) ⇔ 15y = -1 ⇒ y = 1
15
−
- Từ 1 3y 1 5y
12 5x
+ +
= ⇒ x = 
12(1 5y) 2
5(1 3y)
+
=
+
. Vậy (x, y) = (2; 1
15
− ) 
Cõu 3. (10 ủiểm) 
 3.1) Cho a, b, c, d 0≥ . Chứng minh rằng: (a c)(b d) ab cd+ + ≥ + 
 3.2) Cho a, b, c, d 0≠ , c + d = 1 và c d 1
a b ac bd
+ =
+
. Chứng minh rằng a = b 
Giải 
3.1) (a c)(b d) ab cd (a c)(b d) ab cd 2 ab.cd ad bc 2 ad. bc+ + ≥ + ⇔ + + ≥ + + ⇔ + ≥ 
 ( )2ad bc 0⇔ − ≥ (ủỳng). Từ ủú suy ra ủiều phải chứng minh. 
3.2) Từ c + d = 1 và c d 1
a b ac bd
+ =
+
 ⇒ 
1 d d 1 b bd ad 1
a b a ad bd ab a ad bd
− − +
+ = ⇔ =
− + − +
 ⇒ (b - bd + ad)(a - ad + bd) = ab 
 ⇔ ab - abd + b2d - abd + abd2 - b2d2 + a2d - a2d2 + abd2 - ab = 0 (Chỳ ý d 0≠ ) 
 ⇔ - 2ab + b2 + a2 + 2abd - b2d - a2d = 0 ⇔ (a - b)2 - d(a - b)2 = 0 ⇔ (a - b)2(1 - d) = 0 
 Vỡ c + d = 1 và c 0≠ ⇒ d 1≠ nờn (a - b)2 = 0 ⇒ a = b 
Cõu 4. (20 ủiểm) 
4.1) Giải phương trỡnh sau: x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
− − − −
+ + + = 
4.2) Giải hệ phương trỡnh: 
3
3
x 2y 1
y 2x 1
 = +

= +
Giải 
4.1) x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
− − − −
+ + + = 
 ⇔ 
x 241 x 220 x 195 x 1661 2 3 4 0
17 19 21 23
− − − −       
− + − + − + − =       
       
 ⇔ (x - 258) 1 1 1 1 0 x 258 0 x 258
17 19 21 23
 
+ + + = ⇔ − = ⇔ = 
 
. Vậy x = 258 
Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn 
4.2) 
3
3
x 2y 1
y 2x 1
 = +

= +
⇒ x3 - y3 + 2(x - y) = 0 ⇔ (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0 
 ⇔ 
− =
 ⇔
 + + + =

2
2
x y 0
y 3y
(x ) 2 0
2 4
 x = y. 
Khi ủú ta cú hệ: 3 3 2
x y x y x y
x 2x 1 0 (x 1) 2(x 1) 0 (x 1)(x x 1) 0
= = =  
⇔ ⇔  
− − = + − + = + − − =  
TH1: x = y = -1 
TH2: 2
x y
x y
1 5
x x 1 0 x
2
=
= 
⇔  ±
− − = = 

. 
Vậy x = y =1 hoặc x = y = 1 5
2
±
Cõu 5. (10 ủiểm) Cho phương trỡnh: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương 
trỡnh. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 22 2
1 2 1 2
2x x 3
x x 2(x x 1)
+
+ + +
Giải 
Điều kiện ủể phương trỡnh bậc cú hai nghiệm x1, x2 là: 
∆ ≥ 0 ⇔ m2 - 4m + 4 ≥ 0 ⇔ (m - 2)2 ≥ 0 ủỳng ∀ m. Khi ủú ỏp dụng hệ thức Vi-ẫt ta cú: 
A = 1 2 2 2 2
1 2
2x x 3 2(m 1) 3 2m 1
(x x ) 2 m 2 m 2
+ − + +
= =
+ + + +
+) Tỡm giỏ trị lớn nhất của A: 
 A = 
2 2 2
2 2 2
2m 1 m 2 (m 2m 1) (m 1)1 1
m 2 m 2 m 2
+ + − − + −
= = − ≤
+ + +
. Dấu "=" xảy ra khi m = 1 
 Vậy: Max A = 1 khi m = 1 
+) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A: 
 A = 
2 2 2
2 2
(m 2) (m 4m 4) (m 2) 1 1
2(m 2) 2(m 2) 2 2
− + + + + +
= − ≥ −
+ +
. Dấu "=" xảy ra khi m = -2 
 Vậy: Min A = - 1
2
 khi m = -2 
Cõu 6. (30 ủiểm) 
6.1). Chứng minh ∆CMD cõn và CD là tiếp tuyến của (O) 
+) Xột ∆AOM và ∆BOD cú: 
  0A B 90= = (t/c của tiếp tuyến) 
 OA = OB = R (gt) 
 
1 2O O= (ủối ủỉnh) 
⇒ ∆AOM = ∆BOD (g.c.g) 
⇒ OM = OD mà CO ⊥ MD (gt) 
⇒ ∆CMD cõn tại C 
+) Từ O kẻ OE ⊥ CD tại E CD∈ 
 Xột ∆AOC và ∆EOC cú: 
  0A E 90= = 
 OC - cạnh chung 
 
1 2C C= (t/c ủường cao trong tam giỏc cõn CMD) 
 ⇒ ∆AOC = ∆EOC (cạnh huyền-gúc nhọn) ⇒ OA = OE = R ⇒ CD là tiếp tuyến của (O) 
6.2) Chứng minh AC.BD khụng ủổi 
F1
2
2
1
E
O
M
D
C
BA
Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn 
- Vỡ CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp ủiểm E ⇒ AC = CE, BD = DE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) 
- Áp dụng hệ thức giữa cạnh và ủường cao trong tam giỏc vuụng OCD ta cú: 
 OE2 = EC.ED ⇒ OE2 = AC.BD ⇒ AC.BD = R2 khụng ủổi 
6.3) Tỡm vị trớ của C ủể diện tớch tứ giỏc ABDC nhỏ nhất, tỡm diện tớch nhỏ nhất ủú theo R 
 Gọi F là trung ủiểm của CD ⇒ OF là ủường trung bỡnh của hỡnh thang vuụng ABDC 
Khi ủú: SABDC = 
AC BD 2.OF
.AB 2R 2R.OF
2 2
+
= = ⇒ SABDC nhỏ nhất khi OF nhỏ nhất ⇒ E ≡ F 
⇒ ABDC là hỡnh chữ nhật và AC = R. Vậy Min SABDC = 2R2 khi C cỏch A một khoảng bằng R. 
Câu 7. (10 điểm) 
 Cho a + b + c = 0, abc 0≠ . Rỳt gọn biểu thức sau: 
 B = 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c b c a c a b
+ +
− − − − − −
Giải 
+) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b)3 = -c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3 
 ⇒ a3 + b3 - 3abc = -c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 
+ ) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c ⇒ a2 + b2 + 2ab = c2 ⇒ c2 - a2 - b2 = 2ab 
 Tương tự: a2 - b2 - c2 = 2bc và b2 - c2 - a2 = 2ca 
Khi ủú: B = 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a b c b c a c a b
+ +
− − − − − −
 = 
2 2 2 3 3 3a b c a b c 3abc 3
2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2
+ +
+ + = = =