Đề thi olympic các môn văn hóa lớp 6, 7, 8 - Năm học 2015-2016 đề thi môn: Toán học 7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ỨNG HÒA
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 6, 7, 8 - NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 7
 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
 Thực hiện phép tính:
Câu 2. (5,0 điểm)
 a) Tìm x để biểu thức P = đạt giá trị lớn nhất.
 b) Tìm giá trị của x biết: |2x – 1| = 2.
 c) Cho 4 số a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời . Chứng minh bốn số đó lập thành tỉ lệ thức.
Câu 3. (4,0 điểm)
 Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử. Trong đó số học sinh của nhóm I bằng số học sinh của nhóm II và bằng số học sinh của nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm.
Câu 4. (6,0 điểm).
 Cho ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC BE
Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA=NM. Chứng minh: AB = ME và ABC =EMA. 
Chứng minh: MABC.
Câu 5. (1,0 điểm)
 Một số chính phương có dạng . Biết . Hãy tìm số .
Họ và tên thí sinh: SBD:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ỨNG HÒA
KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 6, 7, 8 - NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 7
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,0 đ)
a/ (2đ)
Thực hiện phép tính
Ta có: 
 5A = 5 + 52 + 53 + 54 + + 52015+ 52016
 A = 1 + 5 + 52 + 53 + 54 + + 52015
Trừ theo vế : 5A – A = 52016 – 1
 Vậy : A = 
1,0 đ
0,5đ
0,5đ
b/ (2 đ). Tính B 
0,5đ
0,5 đ
0,5đ
0,5 đ
Câu 2
(5 đ)
a. Tìm x để biểu thức P = đạt giá trị lớn nhất.
Để P đạt giá trị lớn nhất khi đạt GTLN khi và chỉ khi 
3+ |x – 5| đạt GTNN mà |x – 5| 0 dấu “=” khi x = 5
Vậy GTLN của P = 4 khi x = 5
b. Tìm giá trị của x biết : | 2x – 1| = 2.
TH1: Xét với 2x – 1 0 => x 0,5 ta có:
 | 2x – 1| = 2 => 2x – 1 = 2 => x = 1,5 (thỏa mãn đk)
TH2: Xét với 2x – 1 x < 0,5 ta có
 |2x – 1| = 2 => -2x + 1 = 2 => x = -0,5 (thỏa mãn đk)
Vậy có hai giá trị phù hợp : x = 1,5; x = -0,5
c. Cho 4 số a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời . Chứng minh bốn số đó lập thành tỉ lệ thức.
Vì nên 2b = a + c
Mặt khác : 	 hay 2bd = bc + cd
 hay ad + cd = bc + cd do đó ad = bc hay bốn số lập thành tỉ lệ thức	 
1,5 đ
1,0 đ
1,0đ
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 3
(4đ)
Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương)
Theo đề bài ta có:
 chia các tỉ số trên cho BCNN(2,4,8)=8 ta được
Mặt khác : y + z – x =18 
Áp dụng tính chất dãy các tỉ số bằng nhau:
Vậy số học sinh: Nhóm I là 24; nhóm II là 22, nhóm III là 20
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Câu 4 (6đ)
Vẽ hình đúng đến câu a
a/ Chứng minh đượcDAC =BAE(c.g.c )
 => DC = BE
XétAIE và TIC có :
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( doDAC =BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Chứng minh đượcMNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt) 
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) =>ABC = EMA(đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phía với góc PAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC =EPA (g.c.g)
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
1,0đ
Câu 5
(1đ)
Ta có a, b, c, d là các số nguyên từ 0 đến 9; a, c khác 0
Là số chính phương nên = n2 và 
Hay n2 = = 100
Suy ra n2 – 100 = (n – 10)(n + 10) = 101, n2 là số có 4 chữ số vậy n<100 do đó n + 10 = 101 suy ra n = 91 và n2 = = 912 = 8281
1,0 đ
Ghi chú: Bài giải bằng cách khác vận dụng kiến thức đã được học, hợp logic và trình bày hợp lý vẫn cho điểm tối đa.