Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2008-2009 (Có đáp án)

PHềNG GD&ĐT
Đề thi khảo sát hsg lớp 7
Môn : Toán
Thời gian: 120phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày:./
Bài 1: (1,5 điểm)
a/ (0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ:
	3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10
b/ (1 điểm) Cho:	A = 
	B = 
Tớnh: 
Bài 2: (1,5 điểm)
a/ (0,75 điểm) Tỡm x và y, biết rằng: 
b/ (0,75 điểm) Tỡm a Z sao cho M = nhận giỏ trị nguyờn
Bài 3: (2 điểm)
a/ (1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 +...+ 101x2 – 101x + 25. Tớnh f (100)
b/ (1 điểm) Cho hai đa thức
	 f(x) = (x – 2)2008 + (2x – 3)2007 + 2006x và g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007
Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tỡm được tổng tất cả cỏc hệ số của nú là s.
Hóy tớnh s và tớnh giỏ trị của g(s)
Bài 4: (2 điểm) 
Tỡm một số cú ba chữ số, biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ với 1: 2: 3.
Bài 5: (3 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng cõn với đỏy BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH CM tại H. Kẻ HE AB tại E. Chứng minh rằng:
	a/ Tam giỏc ABH cõn
	b/ HM là phõn giỏc của gúc BHE
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 7
Năm học 2008 - 2009
Bài 1: (1,5 đ)
a/ (0,5 đ)
3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = (3n+2 + 3n) – (2n+2 + 2n) = 3n(32 + 1) – 2n(22 + 1)
	 = 3n . 10 – 2n. 5 	(0,25 đ)
	3n.10 10 ; 2n. 5 10 => 3n .10 – 2n. 5 10 
Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 	(0,25 đ)
b/ (1 đ) 
	Tỏch 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau: 
B = 	(0,25 đ)
 = 	(0,25 đ)
 = 	(0,25 đ)
=> 	(0,25 đ)
Bài 2: (1,5 đ)
a/ (0,75 đ) 
 Ta cú với A tựy ý
	 (1) 	(0,25 đ)
	Từ đú và theo giả thiết đề bài ta cú:
 	 (2) 	(0,25 đ)
	Từ (1) và (2)
=> khi và 	(0,25đ)
 	Vậy x = 2006 và y = 2007
b/ (0,75 đ)
 	 	(0,25 đ)
 	 	(0,25 đ)
 a – 1 là ước của 4
 	a – 1 = {-4; -2; -1; 1; 2; 4} 	(0,25 đ)
 	a = {-3; -1; 0; 2; 3; 5}
Bài 3: 2 điểm
a/ (1 đ)
 f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 +...+ 101x2 – 101x + 25
 = x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 +...+ 100x2 
 + x2 – 100x – x +25 	(0,25 đ)
 f(x) = x7(x - 100) – x6(x - 100) + x5(x – 100) - ...+ x(x-100) – (x - 25) 	(0,25 đ)
 f(100) = 1007.(100 -100) – 1006(100 -100) + ...+ 100.(100-100) – (100-25) (0,25 đ)
 f(100) = -75 	(0,25 đ)
b/ (1 đ)
Tổng cỏc hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chớnh là giỏ trị của đa thức f(x) tại x = 1. Ta cú
	s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 	(0,25 đ)
 	= (-1)2008 + (-1)2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 	(0,25 đ)
Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được 
	g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + (s -1).s2007 	(0,25 đ)
 	= s2009 – s2009 – s2008 + s2008 - s2007 = - s2007 = -20062007 	(0,25 đ)
Vậy s = 2006 và g(s) = -20062007
Bài 4: (2 điểm)
Gọi cỏc số cần tỡm là a; b; c (a; b; c N* và ) 	(0,25 đ)
Vỡ số cần tỡm chia hết cho 18 => số đú chia hết 9 và 2 
=> (a + b + c) 9 và số cần tỡm là số chẵn 	(0,25 đ)
Vỡ => 	(0,25 đ)
 Từ 3 đến 27 cú cỏc số 9; 18; 27 9
Vậy a + b +c = {9; 18; 27} (1) 	(0,25 đ)
Theo bài ra ta cú: 	(0,25 đ) 
	Vỡ a; b; c N* => a + b + c 6 (2)
Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 	(0,25 đ)
a = 3; b = 6; c =9 	(0,25 đ)
Số cần tỡm chia hết cho 2 nờn chữ số hàng đơn vị là số chẵn.
Vậy số cần tỡm là: 396 và 936 	(0,25 đ)
A
B
C
H
Q
E
M
K
Bài 5: (3 điểm)
Vẽ hỡnh đỳng 0,5 đ
 N
a/ Từ A kẻ AK MC tại K và AQ HN tại Q
 Xột vuụng MAK và vuụng NCH cú:
 MA = NC (=AB), MAK = NCH (cựng phụ với gúc AMC) 	(0,5 đ)
 => MAK = NCH (cạnh huyền –gúc nhọn)
 => AK = HC (1)
 Xột BAK và ACH cú: 
 AB = AC (gt); BAK = ACH; AK = HC (cm trờn) 	(0,25 đ)
 => BAK = ACH (c-g-c)
 => BKA = AHC
 Xột vuụng AQN và vuụng CHN cú:
 AN = NC; ANQ = CNH (đối đỉnh) 	(0,25 đ)
 => AQN = CHN (cạnh huyền – gúc nhọn) 
 => AQ = CH (2)
Từ (1) và (2) => AK = AQ 	(0,25 đ)
=> HA là tia phõn giỏc của gúc KHQ
 =>AHQ = 450 
=> AHC =1350 => BKA = 1350 	(0,25 đ)
Từ BKA + BKH + AKH = 3600 => BKH = 1350
 AKH cú KHA = 450 nờn nú vuụng cõn tại K => KA =KH 	(0,25 đ)
 Xột BKA và BKH cú:
 BK: chung ; BKA = BKH = 1350; KA =KH 	(0,25 đ)
 => BKA =BKH (c-g-c) 
 => BA =BH hay tam giỏc ABH cõn tại B
b/ Ta cú BKA =BKH => BAK = BHK hay BAK = BHM
 Mà HE // CA (cựng vuụng gúc AB) => MHE = HCA (đồng vị)
 Vỡ BAK = HCA nờn BHM = MHE (0,5 đ)
 hay HM là tia phõn giỏc của gúc BHE