Đề thi học sinh giỏi Toán học 7

đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá
Ngày thi : 17/04/2013
Câu 1(4,5 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức : 
b/ Tìm x biết : 
c/ Tìm x, y biết rằng : 
Câu 2 (4,5 điểm)
a/ Tìm đa thức M biết rằng : 
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
c/ Tìm x, y, z biết : và x – y + z = 49
Câu 3 (5,0 điểm)
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết 
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : 
c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương.
Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A : DABD, DACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH.
a/ Chứng minh DM = AH
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB.
-------------------------------- Hết --------------------------------
Lời giải đề thi HSG toán 7 – Huyện hoằng hoá : Thi ngày 17/04/2013
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4,5
a/ 
1,5
b/ .
Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5
1,5
c/ 
Ta có : 
Mà => 
=> . Vậy 
1,5
Câu 2
4,5
a/ 
=> 
1,5
b/ 
B lớn nhất khi nhỏ nhất.
Ta có => nhỏ nhất bằng 2, khi x = y = 0
Khi đó B lớn nhất = 
1,5
c/ => => 
=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84
1,5
Câu 3
5,0
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: (1)
Từ 
Mặt khác : 
=> .
Vậy : 
2,0
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : 
Sử dụng : . Dấu “=” xảy ra khi A,B cùng dấu. (*)
Ta có : 
Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤ 2013
1,5
Nhận xét : 
Nếu số chính phương chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia hết cho a2
Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phương.
- Xét trường hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k 
=> n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002
Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2 => A chia hết cho 4.
Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không chia hết cho 4(loại) 
- Xét trường hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1 
=> A là số chính phương lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia cho 4 dư 1.
Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 dư 3 ( loại)
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương
1,5
Câu 4
4,0
Hình vẽ
a/ Chứng minh DM = AH
Xét DMAD và DHBA có
 (gt) (1)
AD = AB (gt) (2)
 (3)
Từ 1,2,3 => DMAD = DHBA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> DM = AH ( Hai cạnh tương ứng)(ĐPCM) (4)
2,0
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Chứng minh tương tự câu a => EN = AH (5)
Gọi giao điểm của MN và DE là I
C/m được : DMID = DNIE (Cạnh góc vuông – góc nhọn)
ID = IE (Hai cạnh tương ứng)
I là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm I của DE (ĐPCM)
2,0
Câu 5
2,0
Do 
=> Đặt 
=> MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều
AMN => AM = AN = MN = 3a và 
Xét DABN và DACM có
AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2)
(3)
Từ 1,2,3 => DABN = DACM (c.g.c)
=> BN = CN = 5a.
XétD BMN có BN2 = (5a)2 = 25a2
BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2
=> BN2 = BM2 + MN2 => D BMN vuông tại M (đ/l pytago đảo)
=> 
Suy ra : 
2,0
Giáo viên : Nguyễn Đức Tính