Đề thi học sinh giỏi Toán 9 có đáp án

đề thi học sinh giỏi Toán 9 
Bài 1 ( 4 điểm ) 
Cho biểu thức 
 a) Rút gọn P 
 b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P 
Bài2 (4 điểm) 
a) Cho đường thẳng , , cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.
 b) Tìm trên đường thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn:
y2 – 5y+ 4x = 0.
Bài 3.(3điểm)
a. Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn a + b + c = 4. 
Chứng minh: .
b. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 2010.Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z: BBài 4(5điểm) 
Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O qua B và C. Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O); Gọi I là trung điểm BC ,N là trung điểm EF .
 a. Chứng minh rằng các điểm E, F luôn nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi .
 b. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại K. Chứng minh rằng : EK // AB .
 c. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy trên một đường thẳng cố định khi đường tròn(O) thay đổi.
Bài 5(4 điểm) 
 a.Giải phương trình nghiệm nguyên: (y+2)x2+1=y2
 b. Giải phương trình:
Hướng dẫn chấm:
Bài 1 . a) Điều kiện x ³ 0 (0.25)
 (0.25)
 (0.5)
 (0.5)
 (0.5)
b) Ta có (0.5)
 nên (0.25)
P = 0 Û x = 0 . Vậy min P = 0 ( 0.25)
ã Ta có 
Û x - 2 + 1 ³ 0 
Û x - + 1 ³ , " x ³ 0 (0.5)
Û (0.25)
Û P Ê 1 " x ³ 0 ; P = 1 Û x = 1 . Vậy MaxP = 1 khi x = 1 (0.25)
Tóm lại : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1
 y y= 
 y= 
 2 A B y=2
 x
 0 1 2 3 4 
Bài 2.
a. (0.5)
 Tính A( (0.5)
 Tính (1.0) 
b. Điều kiện: x ³ 0. (0.25)
 Khi đó ta có: y2 – 5y+ 4x = 0 
. (0.5)
 Do đó để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + 1 là điểm thuộc đường thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì ta cần có x0 ³ 0 và:
 . (0.5)
 Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = . (0.25)
Bài 3. a. Do a , b, c > 0 và từ giả thiết ta có :
	a + b (1 )	 0,5 
	Tương tự ta có 	 	 b + c	 < 2 (2) 0.25
	 a + c < 2 (3) 0,25 
Cộng vế với vế của (1) , (2) , và (3) ta có 
	 0.25
hay ( ĐPCM) 	 0,25 
b.
 2010+x2= xy+yz+zx+x2= (x+y)(z+x) 0.25
 2010+y= xy+yz+zx+y2=(x+y)(y+z)	0.25
 2010+z2 = xy+yz+zx+z2=(y+z)(z+x)	0.25
Suy ra: x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx) 0.5
Do đó: P= 2.2010=4020 0.25
Bài 4. 
1. ABFvà AFC đồng dạng (g_g) 0.5
Ta có :AB/ AF=AF/ACAF2=AB.AC 0.5
AF= Mà AE=AF nên AE=AF= không đổi 0.5
Vậy E,F thuộc đường tròn (A;) cố định.
2. Tứ giác AOIF nội tiếp đường tròn
Ta có :AIF =AOF (1) 0.5
AOF = EOF và EKF =EOF
EKF =AOF (2) 0.5
Từ(1) và(2) AIF =EKF 
 Do đó :EK vàAB song song vơí nhau 0.5
3. Cm được A,N,O thẳng hàng và AOEF ;
 Gọi H là giao điểm của BC và EF .
Ta có : ANH và AIO đồng dạng nên 0.5
Suy ra :AH.AI =AN.AO
Lại có :AN .AO=AE2 =AB.AC 0.5
Do đó : AI.AH =AB.AC không đổi . 
Vậy H cố định 0.5
Tứ giác OIHN là tứ giác nội tiếp đường tròn nên đường tròn ngoại tiếp OIN luôn qua I và H ;Do đó tâm đương f tròn này nằm trên đường trung trực của IH 0.5
Bài 5. a. 
 (y+2)x2+1 = y2
 (y+2)x2–(y2-4) = 3 0.5
 (y+2)(x2-y+2) = 3 0.25
Suy ra: 
y + 2
1
3
-1
-3
x2-y+2
3
1
-3
-1
y
-1
1
-3
-1
x
Loại
0
Loại
0
 1 đ
 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (0;1),(0;-1) 0.25
 b. 0.5
 ( x 2009) 0.5
 Suy ra: x+1 = 
 2009-x+
 0.5
 x = 2009 (tm) 0.5