Đề thi học sinh giỏi năm học 2011 – 2012 môn: Toán học 7

ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài: 120 phút
I.Trắc nghiệm: (2đ)
Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1: Rút gọn biểu thức ta được kết quả là:
A) 
B) 
C) 
D) 
Câu 2: Cho hai số biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với ta cĩ bằng:
A) 
B) 
C) 
D) 
Câu 3: Cho vuơng tại C cĩ . Độ dài cạnh BC là:
A) 
B) 20 cm
C) 8 cm 
D) 50 cm
Câu 4: Đồ thị hàm số đi qua điểm khi m bằng:
A) - 3
B) 2
C) 1
D) - 1
II. Tự luận:
Câu 5: (1,5đ) Tìm x biết:
a) 
b) 
c) 
Câu 6: (2đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với x là số nguyên.
 b) Tìm các số biết: và 
Câu 7: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho .
Chứng minh rằng: .
Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của gĩc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh .
Câu 8: (2,5đ) 
a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho . Tính số đo gĩc AMB.
b) Tìm số chính phương cĩ bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
c) Tìm các số tự nhiên cĩ hai chữ số mà số đĩ chia hết cho tích các chữ số của nĩ.
ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn: Tốn lớp 7
I.Trắc nghiệm: (2 điểm mỗi câu đúng cho 0,5 đ)
Câu
1
2
3
4
Đáp án
B
A
B
C
II. Tự luận: (8 điểm)
Câu
Phần
Nội dung cần trình bày
Điểm
5
(1,5đ)
a
x = 4
0,5
b
x = - 1
0,5
c
0,5
6
(2đ)
a
(1đ)
Xét các trường hợp:
-Nếu thì 
-Nếu x = 1 thì C = 1.
-Nếu khi đĩ ta thấy C lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất (vì x là số nguyên dương) suy ra x = 1 khi đĩ C = 3.
So sánh các trường hợp trên ta thấy GTLN của C bằng 3 khi và chỉ khi x = 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1đ)
Ta cĩ 
suy ra x = - 77; y = 136; z = 65.
0,5
0,5
7
(2đ)
Vẽ hình – GT - KL
0,5
a
(0,5)
Ta cĩ AM + AN = AC + (AM + CN) (1)
vì AB = AC (gt) và AM + AN = 2AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = CN
0,25
0,25
b
(0,5)
Gọi I là giao điểm của MN và BC, qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E ta chứng minh được 
0,25
0,25
c
(0,5)
Chứng minh 
Từ đĩ suy ra 
Mà
0,25
0,25
8
(2,5đ)
a
(1đ)
 Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
 Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB, không chứa điểm C. Vẽ tam giác đều MBK.
Khi đó: 
Và => 
 DABK và DCBM có: 
 AB = CB (DABC đều)
 => DABK = DCBM (c.g.c) 
 BK = BM (DMBK đều) 
=> KA = MC = 5a
 DAMK có: KA2 = (5a)2; KM2 + MA2 = (4a)2 + (3a)2 = (5a)2 => KA2 = KM2 + MA2
Theo định lí Pitago đảo, ta có DAMK vuông tại M.
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(0,75)
Gọi số chính phương phải tìm là trong đĩ .
Ta cĩ (1)
để A là số chính phương thì 
Mà thay vào (1)
 là số chính phương
Thử chọn các giá trị của a theo ĐK nêu trên ta cĩ a = 7 thỏa mãn khi đĩ b = 4; Số chính phương cần tìm là 7744
0,25
0,25
0,25 
c
(0,75)
Gọi số cần tìm là với x; y là các số tự nhiên từ 1 đến 9
Theo đề bài ta cĩ với 
 với 
ta cĩ x; kx – 1 là hai số nguyên tố cùng nhau hơn nữa kx – 1 là số dương nên 
Xét các trường hợp tìm được 5 số thỏa mãn đề bài là: 11; 12; 15; 24; 36.
0,25
0,5