Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT huyện Gia Lộc (Có đáp án)

PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017
MễN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1 (2,0 điểm)
Thực hiện cỏc phộp tớnh sau: 
 M = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016
 N = (1+2+3+...+90).(12.34 – 6.68) : 
Tỡm x, biết: 
Bài 2 (2,0 điểm)
Tỡm P biết rằng: P =
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
(1) Tỡm a, viết cụng thức hàm số?.
	(2) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Bài 3 (2,0 điểm)
Tỡm ba số tự nhiờn biết bội chung nhỏ nhất của chỳng là 540 và ba số này tỉ lệ nghịch với 5; 6 và 15 
Bài 4 (3,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D.
	a) Chứng minh: DAMC = DABN và BN ^ CM.
	b) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN.
	c) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN.
Bài 5 (1,0 điểm) 
Tỡm x, y ẻ N, biết: 25– y2 = 8(x–2017)2
Họ và tờn học sinh: ............................................................Số bỏo danh: .................................
PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA LỘC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
mÔN: TOÁN 7
(Đỏp ỏn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Cõu
Nội dung
Điểm
1
(2,0đ)
a)
(1)
Ta cú: M = 3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016
 3M = 32 + 33 + 34 +  + 32016 + 32017
0,25
Suy ra: 3M - M = (32 + 33 + 34 +  + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 +  + 32015 + 32016)
 2M = 32017 – 3 
0,25
 M = .
(2)
N = (1+2+3+...+90).(12.34 – 6.68) : 
0,25
 = (1+2+3+...+90).(6.2.34 – 6.68) : 
 = (1+2+3+...+90).(6.68– 6.68) : 
 = (1+2+3+...+90). 0 : = 0
0,25
b)
Ta cú 
 ị 100x ³ 0 ị x ³ 0
0,25
Khi đú ta cú: 
0,25
0,25
 ú 99x + 1 =100x ị x= (thỏa món)
0,25
2
(2,0đ)
a)
P ==
0,5
Nếu a+b+c ạ0 ị A=
0,25
Nếu a+b+c = 0 ị a= –(b+c) ị A=
0,25
b)
(1)
Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nờn cú:
 a2- a = a(a+1) +4.
0,25
ị a2 - a = a2 +a + 4 ị a = -2.
0,25
Vậy a = -2 thỡ đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
(2)
Với a = -2 ta cú hàm số y = f(x) = -2x + 4 
ị f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2.
0,25
Do đú: f(3x- 1) = f(1- 3x) ị -6x + 6 = 6x + 2 ị x = .
0,25
Vậy khi x = thỡ f(3x- 1) = f(1- 3x).
3
(2,0đ)
Gọi 3 số cần tỡm là x, y, z (x, y, z ẻ N*)
Ta cú 3 số tương ứng tỷ lệ nghịch với 5, 6 và 15 nờn:
5x = 6y = 15z 
0,5
0,25
ị x = 6k, y = 5k, z = 2k
0,25
BCNN (x,y,z) = 30k = 540 ị k = 18
0,5
ị x = 18.6 = 108
ị y = 18.5 = 90
ị z = 18.2 = 36
0,5
4
(3,0đ) 
-Vẽ hỡnh, ghi đỳng GT-KL
0,5đ
a)
C/minh được (Cựng bằng 900 +).
0,25
MA = AB (DMAB vuụng cõn tại A)
AC = AN ( tam giỏc NAC vuụng cõn tại A)
ị DAMC = DABN(c-g-c)
0,25
Gọi giao điểm của BN với AC là F.
Chỉ ra được ( 2 gúc đối đỉnh) 
0,25
 ( vỡ DAMC = DABN )
Từ đú suy ra = 900
Do đú: BN ^ CM.
0,25
b)
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng MDN, BDC, MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2.
0,25
Tớnh được MN = cm
0,25
c)
Trờn tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD
CM DAMD = DABE (c-g-c)
0,25
 Suy ra AD = AE ị DADE cõn tại A (1)
DAMD = DABE ịị DADE vuụng tại A (2)
0,25
0,25
Từ (1) và (2) ị 
ị DA là phõn giỏc của 
0,25
5
(1,0đ)
25–y2 = 8(x–2017)2 với x, y ẻ N (1)
Ta cú (1) ú 8(x –2017)2 + y2 = 25 (2)
0,25
Vỡ y2 ³ 0 nờn (x –2017)2 Ê 
ị (x –2017)2 = 0 hoặc (x –2017)2 = 1
0,25
Với (x –2017)2 = 0 thay vào (2) ta cú y2 = 25 ị y = 5 (vỡ y ẻ N ) ị x = 2017 (thỏa món điều kiện)
0,25
Với (x –2017)2 = 1 thay vào (2) ta cú y2 = 17 (loại) 
0,25
Vậy x = 2017 và y = 5
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.