Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN VĨNH LỘC
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 11/04/2017
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4,0 điểm). 
a) Tính giá trị biểu thức A = +7,5
b) Rút gọn biểu thức: B = 
c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : .
 Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn .
Bài 2: (4,0 điểm). 
a) Tìm x : 
b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11
c) Tìm x, biết : (Với n là số tự nhiên)
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.
b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2
Bài 4: (6,0 điểm).
 Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của DABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. 
a) Tính 
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm.
c) Chứng minh D IDE cân.
Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng là số vô tỉ.
.............. Hết.............
Giám thị xem thi không giải thích gì thêm!
 Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
 Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN : TOÁN.
Nội dung
Điểm
Bài 1 (4,0đ)
.
Câu a: (1 điểm) 
A = +7,5
 = : + 
= : + 
 = + = + = 
Câu b: ( 1 điểm)
B= 
=
= = 
Câu c: (2 điểm)
=> 
Ta có 
Ta cã : 
Mµ => 
=> . VËy 
Vậy M = + -= - - = 
0.5 đ
0,5đ
0,5đ
0.5
0.5
0,5
0.25
0.5
0.25
2.
(1,0đ)
=
TH1: x+=
 x = - 
TH2: x+= - 
 x = - - = = - 
Vậy x= - ; x = - 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b.
(1,5đ)
Ta có : 2x = 3y suy ra hay 
 4y = 5z suy ra hay 
Vậy 
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
= = =
Suy ra x = 5, y =, z =
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25
c
1,5 điểm
( x +2)n+1 = ( x +2)n+11
( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0
(x+2)n+1=0
TH 1: (x+2)n+1 = 0 suy ra x = -2
TH2: 1 - (x +2)10 = 0
 (x +2)10 = 1
 x + 2 = 1 suy ra x = -1
 x + 2 = -1 suy ra x = -3
Vậy x = -2; x=-1; x=-3
0.25
0.5
0.25
0.5
Bài 3
(4.0đ)
a
(2.0đ)
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0)
Theo bài ra ta có : x +y + z = 13
và 2x= 3y =4z = 2 SABC 
Suy ra 
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau
=
suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3
KL:
0,25 đ
0,75 đ
0,75
0.25
b.
(2,0đ)
2xy – x – y = 2
 4xy - 2x -2y =4
2x(2y-1) - 2y + 1 = 5
(2y -1) ( 2x -1) =5
HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 
( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ)
Vậy ( x,y) = 
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
Bài 4
(6.0đ)
1
(2.0đ)
a/ Ta có ABC = 600 suy ra BAC + BCA = 1200
AD là phân giác của BAC suy ra IAC = BAC
CE là phân giác của ACB suy ra ICA = BCA
Suy ra IAC + ICA = . 1200 = 600
Vây AIC = 1200 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
2
(2đ)
b/ Xét AHP và AHK có 
PAH = KAH ( AH là phân giác của BAC)
AH chung
PHA = KHA = 900
 Suy ra AHP =AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK= 3cm
Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 
AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25
Suy ra AK = 5 cm
0.5 đ
0,5 đ
0.5
0.25
0.25
c
(2.0đ)
Vì AIC = 1200 
Do đó AIE = DIC = 600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE
Xét EAI và FAI có 
AE = AF
EAI = FAI
 AI chung
VậyEAI = FAI (c-g-c) 
suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) 
AIE = AIF = 600 suy ra FIC = AIC - AIF = 600
Xét DIC và FIC có
DIC = FIC = 600
Cạnh IC chung
DIC = FCI 
Suy ra DIC = FIC( g-c-g)
Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I
0,25 đ
0,5 đ
0.25
0.5
0.25
0.25
Bài 5
(2,0đ)
Giả sử là số hữu tỷ
 = ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; (a;b) = 1 )
 = 10 
Suy ra a2 = 10b2 
a 2 a2 4 10b2 4 b2 2 b 2
Vậy ( a;b) 1 
Nên là số vô tỷ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.