Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Tân Kỳ (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ
 KỲ KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Bài 1:( 4.0 điểm ) 
a. Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = + b - 45.
b. Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số nguyên y = 
Bài 2:( 6.0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có
5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n chia hếtcho 24
Cho các số thực a; b; c; d ; e khác 0 thỏa mãn
Cho hai đa thức f(x) = ax + b; g(x) = x2 – x + 1.
Hãy xác định a; b biết: f(1) = g(2) và f(-2) = g(1)
Bài 3: ( 4.0 điểm )
Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn.
Hãy so sánh
Cho các số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 2016.
Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phải là một số nguyên
A =
Bài 4:( 6.0 điểm ) 
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) ; đường cao AH. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = BA. Từ M kẻ MN vuông góc với AC (N thuộc AC ). Chứng minh rằng:
Tam giác ANH cân.
B
2AC2 – BC2 = CH2 – BH2
Hết.
1. Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
2. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn 
hơn c ba đơn vị
3. Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.
4. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
5. Cho a, b, c > 0 và dãy tỉ số: 
Tính: P = 
6. Cho x, y, z, t Î N. Chứng minh rằng: 
M = có giá trị không phải là số tự nhiên.
7. Cho DABC nhọn với= 600. Chứng minh rằng:
 	 BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
Họ và tên học sinh: .Số báo danh..............
PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN 7
BÀI
Ý
NỘI DUNG 
ĐIỂM
Bài 1: 4.0 điểm
1.a 
2.0 điểm
2x =3y
4y = 5z 
; y = -100; z = -80
0.5
0.5
0.5
0.5
1.b 
2.0 điểm
Biểu thức y = có giá trị nguyên
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2:
6.0điểm
2.a
2.0 điểm
Ta có 5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n = (5n+2 – 5n) + ( 3n+2 – 3n)
= 5n.24 + 3n.8
Vì n nguyên dương nên5n.24 chia hếtcho 24; 3n.8 chia hết cho 24
Vậy5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n chia hếtcho 24 với mọi số nguyên dương n
0.5
0.5
0.5
0.5
2.b
2.0 điểm
Ta có=
=
Vậy
0.5
0.5
0.5
0.5
2.c
2.0 điểm
Ta có f(1) = g(2)
f(-2) = g(1)
Từ (1) và (2) suyra
0.5
0.5
1.0
Bài 3:
4.0điểm
3.a
2.0 điểm
Vì a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn nên ad < bc (1)
Mặt khác : (2)
 (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra
0.5
0.5
0.5
0.5
3.b
2.0 điểm
A =
Ta có : 
Mặt khác: 
 Bài 4:( 6.0 điểm ) 
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) ; đường cao AH. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = BA. Từ M kẻ MN vuông góc với AC (N thuộc AC ). Chứng minh rằng:
Tam giác ANH cân.
B
2AC2 – BC2 = CH2 – BH2
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4:
6.0 điểm
0.5
4.a
2.0
điểm
0.5
0.5
0.5
0.5
4.b
2.0 điểm
Ta có BC – AB = BC – BM = MC
AC – AH = AC – AN = NC 
Tam giác MNC vuôngtại N nên MC >NC .Suyra
BC – AB > AC – AHBC + AH > AB + AC
0.5
0.5
0.5
0.5
4.c
1.5 điểm
Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông ABH ; ACH ; ABC ta có : 
CH2 – BH2 = ( AC2 – AH2 ) – ( AB2 – AH2 ) 
= AC2 – AB2
= AC2 – ( BC2 – AC2) = 2AC2 - BC2
0.5
0.5
0.5
Chú ý :Nếu thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa