Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học: 2013 – 2014. môn Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2013 – 2014.
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1 (4đ). Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh với và .
Câu 2 (4đ). 
a) Cho đường thẳng (d): . Tìm m để (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3. Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với m vừa tìm được.
b) Cho M(a; b) là một điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 3 (4đ). Cho . Tìm GTNN của biểu thức: 
Câu 4 (4đ)
a) Cho cân tại A. Trên đáy BC lấy điểm D sao cho . So sánh số đo và 
b) Từ một điểm A ở ngoài (O) dựng các tiếp tuyến AB, AC với (O). Gọi H là giao điểm của OA với BC. Trên đường trung trực của AH lấy điểm M bất kỳ sao cho M nằm ngoài (O) và dựng tiếp tuyến MF với (O). Chứng minh: .
(B, C, F là các tiếp điểm)
Câu 5 (4đ)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn: 
----------------------------HẾT----------------------------
Câu 1: a) Với 
Vậy: P = với 
b)Cách 1
 xét hiệu: 
Vì nên: và . Do đó: . Vậy ta có điều phải chứng minh:
Cách 2: Ta có : P = = với 
Áp dụng BĐT Co – si cho 2 số dương ta có: 
Vì nên dấu "=" không xảy ra
Suy ra: . Vậy 
Câu 2: 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Xét đường thẳng (d)
Vì d cắt hai hệ trục toạ độ nên m khác 0 và m khác 1
Cho x = 0 suy ra y = (m khác 0) ta được A(0; ) thuộc Oy
Cho y = 0 suy ra x = (m khác 1) ta được B(;0) thuộc Ox
Khi đó: OA = ; OB = 
Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 3 thì:
OA.OB = 6. tức là: giải phương trình ta được m = - 1 ; m = 2
Với m = -1 khi đó AB = Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 
Với m = 2 khi đó AB = Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 
2) Vì M (a;b) là 1 điểm nguyên bất kỳ trên đường thẳng 4x +5y = 7 nên ta có:
 4a + 5b = 7 suy ra . Do đó 3 – b = 4k (k thuộc Z) hay 
từ đó ta tính được a = 5k – 2
Khi đó: 
Lập bảng xét dấu: 
k
5k - 2
 - 0 + + 
3 – 4k
 + + 0 -
Xét TH1: k mà k thuộc Z nên k 0. Ta có Q = (1 – 13 k) 1
TH2: mà nên không tồn tại k
TH3: mà nên . Ta có Q = (13k – 1) 12
Gộp cả 3 trường hợp ta được: Q 1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi k = 0. khi đó 
M(-2;3).
Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1. giá trị ấy đạt được khi M(-2;3).
Câu 3: Ta có = 
Tiếp đó ta dễ dàng chứng minh: . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5
 . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5
Suy ra . Dấu "=" xảy ra khi t = 1,5. Vậy GTNN của A bằng 
Câu 4: 
1)Cách 1:
 Đặt AB=AC=a (a>0)BC =3m (m>0) suy ra: CD=2m,BD=m
Kẻ đường cao AH, phân giác AKcủa góc CAD, ta có DH = 
Ta tính được AH = ;AD = 
Vì AKlà phân giác của góc CAD ta có: suy ra: 
Xét hiệu: DI-DK = m-DK= vì a;m >0 nên 
Từ đó suy ra K nằm giữa Dvà I, hay I nằm giữa Kvà C. Do đó góc AKD > góc AIK mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc ADK. Suy ra ADB > góc AKC 
A
B
D
F
C
E
Vậy: góc BAD < góc DAK. Tức là góc BAD < góc CAD
Cách 2: 
Gọi E là trung điểm của DC, ta có BD = DE = EC
Khi đó tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (c-g-c)
Suy ra góc BAD = góc CAE (1)
Trên tia đối của tia EA lấy điểm F sao cho EF = EA
Ta chứng minh được tam giác CAE = tam giác DEF
(c-g-c)
Từ đó: AC = DF; góc DFE = góc CAE
* Vì góc ADC = gócABD +gócBAD, nên 
ADC >góc ABD mà góc ABD = góc ACD
Suy ra: góc ADC >góc ACD.Do đó AC>AD,
Mà AC = DF suy ra: góc DAE > gócDEF suy ra: DAE+CAE>2DEF
Hay: 1/2DAC>DE F. Vậy BAD<1/2DAC	
Gọi I là trung điểm của AH.
Dễ chứng minh AO là đường trung trực của BC
+ Trong các tam giác: FMO ;OMI,AMI,ABO ta có
Vậy: MF = MA
Câu 5
a) nếu với giới hạn của chương trình hiện tại là hết tuần 16 thì ta nênlàm như sau
+ Ta có : . Rõ ràng x = 2 không thể là nghiệm. nên chia cả hai vế cho x – 2 ta được
Do x, y là số nguyên nên x – 2 là ước của -4 mà 
Ta có bảng: 
x-2
-1
-2
-4
4
2
1
x
1
0
-2
6
4
3
y
0
-3
-6
0
-3
-6
đối chiếu với các điều kiện ở đề bài thì các cặp số sau thoả mãn
(x;y) = 
2)Giả sử (x,y)là nghiệm nguyên dương của phương trình:
Rõ ràng x,y<2012 (1). Không mất tính tổng quát giả sử .
Do 
Suy ra: 
Từ đó ta có hay mà nên (2)
Tương tự ta có: y > 2010 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2010 < x, y < 2012. Từ đó chỉ có thể x = y = 2011
Nhưng cặp số (x, y) này không thoả mãn phương trình đã cho (vì vế phải chia hết cho 4 còn vế trái không chia hết cho 4)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm