Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008 – 2009 môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2008 – 2009 
Môn : Toán 
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức .
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
Rút gọn biểu thức A .
Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : .
Bài 3 (3 điểm) 
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
Bài 4 (2 điểm) 
Cho phương trình : .
Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
Giải phương trình .
Bài 5 (6 điểm) 
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB 
Chứng minh đồng dạng với .
Chứng minh .
HẾT 
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
KÌ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2008-2009
Giải
Bài 1 (5 điểm)
Cho biểu thức .
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
Rút gọn biểu thức A .
Điều kiện : 
Bài 2 (4 điểm)
Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 .
Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức : .
Phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 .
Khi đó ta có : Vậy : 
Kết hợp (*) và (**) ta có :
Vậy để phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : thì : và .
Bài 3 (3 điểm) 
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 
x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + 1 + x + y + 2 = 0
(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0
(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = 0 (*)
Nên (*) x + y + 2 = 0 x + y = - 2 
 vì .
Vậy MaxM = -2 x = y = -1 .
Bài 4 (2 điểm) 
Cho phương trình : .
Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa .
Giải phương trình .
điều kiện : 
Đặt = a ; = b ( a ; b 0) .
Vì ab + 4 > 0 nên :
Bài 5 (6 điểm) 
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB 
Chứng minh đồng dạng với .
Chứng minh .
ABCD : AB // CD ; CD > AB ; .
; AG = CE ; BG = DF .
Chứng minh : 
a) ~ .
b) 
Chứng minh : 
a) Ta có AB // CD , mà AG = CE ; BG = DF 
Xét và có : ~ ( c-g-c)
b) Ta có ~ GFCE nội tiếp cùng chắn mà